Kontinuální stochastický proces - Continuous stochastic process

v teorie pravděpodobnosti, a kontinuální stochastický proces je typ stochastický proces dá se říci, že „kontinuální „jako funkce jeho„ času “nebo parametru indexu. Spojitost je pěkná vlastnost pro (ukázkové cesty) procesu, protože z něj vyplývá, že jsou dobře vychovaný v určitém smyslu, a proto je mnohem snazší jej analyzovat. Je zde implicitní, že index stochastického procesu je spojitá proměnná. Někteří autoři^[1] definovat „spojitý (stochastický) proces“ jako požadavek pouze na to, aby proměnná indexu byla spojitá, bez kontinuity cest vzorků: v nějaké terminologii by to byl kontinuální stochastický proces, souběžně s „procesem diskrétního času“. Vzhledem k možné záměně je nutná opatrnost.^[1]

Definice

Nechť (Ω, Σ,P) být a pravděpodobnostní prostor, nechť T být nějaké interval času a nechť X : T × Ω →S být stochastický proces. Pro zjednodušení bude zbytek tohoto článku stavový prostor S být skutečná linie R, ale definice procházejí mutatis mutandis -li S je Rⁿ, a normovaný vektorový prostor, nebo dokonce generál metrický prostor.

Spojitost s pravděpodobností jedna

Vzhledem k tomu, čas t ∈ T, X se říká, že je kontinuální s pravděpodobností jedna na t -li

${ displaystyle mathbf {P} left ( left { omega in Omega left | lim _ {s to t} { big |} X_ {s} ( omega) -X_ {t } ( omega) { big |} = 0 doprava. doprava } doprava) = 1.}$

Spojitost střední mocniny

Vzhledem k času t ∈ T, X se říká, že je spojitý ve střední čtverci na t -li E[|X_t|²] <+ ∞ a

${ displaystyle lim _ {s to t} mathbf {E} left [{ big |} X_ {s} -X_ {t} { big |} ^ {2} right] = 0.}$

Spojitost v pravděpodobnosti

Vzhledem k času t ∈ T, X se říká, že je kontinuální v pravděpodobnosti na t pokud pro všechny ε > 0,

${ displaystyle lim _ {s to t} mathbf {P} left ( left { omega in Omega left | { big |} X_ {s} ( omega) -X_ {t } ( omega) { big |} geq varepsilon right. right } right) = 0.}$

Ekvivalentně X je spojitá s pravděpodobností v čase t -li

${ displaystyle lim _ {s to t} mathbf {E} left [{ frac {{ big |} X_ {s} -X_ {t} { big |}} {1 + { big |} X_ {s} -X_ {t} { velký |}}} vpravo] = 0.}$

Kontinuita v distribuci

Vzhledem k času t ∈ T, X se říká, že je kontinuální v distribuci na t -li

${ displaystyle lim _ {s to t} F_ {s} (x) = F_ {t} (x)}$

pro všechny body X na kterém F_t je spojitý, kde F_t označuje kumulativní distribuční funkce z náhodná proměnná X_t.

Kontinuita vzorku

X se říká, že je vzorek kontinuální -li X_t(ω) je nepřetržitý v t pro P-téměř všechny ω ∈ Ω. Kontinuita vzorku je vhodný pojem kontinuity pro procesy jako např Jsou to difúze.

Kontinuita kácení

X se říká, že je Fell-kontinuální proces pokud, pro všechny pevné t ∈ T a jakékoli ohraničený, kontinuální a Σ-měřitelná funkce G : S → R, E^X[G(X_t)] závisí nepřetržitě na X. Tady X označuje počáteční stav procesu X, a E^X označuje očekávání podmíněné událostí, která X začíná v X.

Vztahy

Vztahy mezi různými typy kontinuity stochastických procesů jsou podobné vztahům mezi různými typy konvergence náhodných proměnných. Zejména:

• kontinuita s pravděpodobností znamená kontinuitu v pravděpodobnosti;
• spojitost ve střední kvadratuře znamená spojitost v pravděpodobnosti;
• spojitost s pravděpodobností ani nenaznačuje, ani z ní nevyplývá spojitost ve střední kvadratuře;
• kontinuita v pravděpodobnosti implikuje, ale není implikována, kontinuitou v distribuci.

Je lákavé zaměňovat kontinuitu s pravděpodobností s kontinuitou vzorku. Spojitost s pravděpodobností jeden po druhém t znamená, že P(A_t) = 0, kde událost A_t darováno

${ displaystyle A_ {t} = left { omega in Omega left | lim _ {s to t} { big |} X_ {s} ( omega) -X_ {t} ( omega) { big |} neq 0 doprava. doprava },}$

a je dokonale proveditelné zkontrolovat, zda to platí pro každého t ∈ T. Kontinuita vzorku to naopak vyžaduje P(A) = 0, kde

${ displaystyle A = bigcup _ {t in T} A_ {t}.}$

A je nespočet svaz událostí, takže to ve skutečnosti nemusí být událost sama, takže P(A) může být nedefinováno! Ještě horší, i když A je událost, P(A) může být přísně pozitivní, i když P(A_t) = 0 pro každého t ∈ T. To je například případ telegrafní proces.

Poznámky

Reference

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopad 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• Kloeden, Peter E .; Platen, Eckhard (1992). Numerické řešení stochastických diferenciálních rovnic. Aplikace matematiky (New York) 23. Berlin: Springer-Verlag. s. 38–39,. ISBN  3-540-54062-8.CS1 maint: extra interpunkce (odkaz)
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací (Šesté vydání). Berlín: Springer. ISBN  3-540-04758-1. (Viz lemma 8.1.4)