Nerozložitelná distribuce - Indecomposable distribution

v teorie pravděpodobnosti, an nerozložitelná distribuce je rozdělení pravděpodobnosti které nelze reprezentovat jako rozdělení součtu dvou nebo více nekonstant nezávislý náhodné proměnné: Z ≠ X + Y. Pokud to lze tak vyjádřit, je rozložitelný: Z = X + Y. Pokud to lze dále vyjádřit jako rozdělení součtu dvou nebo více nezávislý identický distribuováno náhodné proměnné, tak to je dělitelný: Z = X₁ + X₂.

Příklady

Nerozložitelný

• Nejjednodušší příklady jsou Bernoulli distribuce: pokud

${displaystyle X = {egin {cases} 1 & {ext {with probability}} p, 0 & {ext {with probability}} 1-p, end {cases}}}$

pak rozdělení pravděpodobnosti X je nerozložitelný.

Důkaz: Vzhledem k nekonstantní distribuci U a PROTI, aby U předpokládá alespoň dvě hodnoty A, b a PROTI předpokládá dvě hodnoty C, d, s A < b a C < d, pak U + PROTI předpokládá alespoň tři odlišné hodnoty: A + C, A + d, b + d (b + C se může rovnat A + d, například pokud jeden používá 0, 1 a 0, 1). Součet nekonstantní distribuce tedy předpokládá alespoň tři hodnoty, takže Bernoulliho distribuce není součtem nekonstantní distribuce.

• Předpokládat A + b + C = 1, A, b, C ≥ 0 a

${displaystyle X = {egin {cases} 2 & {ext {with probability}} a, 1 & {ext {with probability}} b, 0 & {ext {with probability}} c.end {cases}}}$

Toto rozdělení pravděpodobnosti je rozložitelné (jako součet dvou Bernoulliho rozdělení), pokud

${displaystyle {sqrt {a}} + {sqrt {c}} leq 1}$

a jinak nerozložitelný. Chcete-li to vidět, předpokládejme U a PROTI jsou nezávislé náhodné proměnné a U + PROTI má toto rozdělení pravděpodobnosti. Pak musíme mít

${displaystyle {egin {matrix} U = {egin {cases} 1 & {ext {with probability}} p, 0 & {ext {with probability}} 1-p, end {cases}} & {mbox {and}} & V = {egin {cases} 1 & {ext {with probability}} q, 0 & {ext {with probability}} 1-q, end {cases}} end {matrix}}}$

pro některé p, q ∈ [0, 1] podobným uvažováním jako v případě Bernoulli (jinak součet U + PROTI převezme více než tři hodnoty). Z toho vyplývá, že

${displaystyle a = pq ,,}$

${displaystyle c = (1-p) (1-q) ,,}$

${displaystyle b = 1-a-c.,}$

Tento systém dvou kvadratických rovnic ve dvou proměnných p a q má řešení (p, q) ∈ [0, 1]² kdyby a jen kdyby

${displaystyle {sqrt {a}} + {sqrt {c}} leq 1.}$

Tak například diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {0, 1, 2} je nerozložitelný, ale binomická distribuce pro tři pokusy, z nichž každý má pravděpodobnosti 1/2, 1/2, což dává příslušné pravděpodobnosti a, b, c jako 1/4, 1/2, 1/4, je rozložitelný.

• An absolutně kontinuální nerozložitelná distribuce. Je možné ukázat, že rozdělení, jehož funkce hustoty je

${displaystyle f (x) = {1 nad {sqrt {2pi,}}} x ^ {2} e ^ {- x ^ {2} / 2}}$

je nerozložitelný.

Rozložitelné

• Všechno nekonečně dělitelný distribuce jsou tím spíše rozložitelný; zejména to zahrnuje stabilní distribuce, tak jako normální distribuce.
• The rovnoměrné rozdělení na intervalu [0, 1] je rozložitelný, protože je to součet Bernoulliho proměnné, která předpokládá 0 nebo 1/2 se stejnou pravděpodobností a rovnoměrné rozdělení na [0, 1/2]. Iterací tohoto získáme nekonečný rozklad:

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {X_ {n} nad 2 ^ {n}},}$

kde nezávislé náhodné proměnné X_n jsou každý roven 0 nebo 1 se stejnou pravděpodobností - toto je Bernoulliho pokus o každou číslici binární expanze.

• Součet nerozložitelných náhodných proměnných je nutně rozložitelný (protože se jedná o součet) a ve skutečnosti může být tím spíše nekonečně dělitelná distribuce (nejen rozložitelný jako daná suma). Předpokládejme náhodnou proměnnou Y má geometrické rozdělení

${displaystyle Pr (Y = n) = (1-p) ^ {n} p,}$

v {0, 1, 2, ...}. Pro jakékoli kladné celé číslo k, existuje sekvence záporně-binomicky distribuováno náhodné proměnné Y_j, j = 1, ..., k, takový, že Y₁ + ... + Y_k má toto geometrické rozdělení. Proto je toto rozdělení nekonečně dělitelné. Ale teď D_n být nth binární číslice Y, pro n ≥ 0. Pak Djsou nezávislé a

${displaystyle Y = suma _ {n = 1} ^ {infty} {D_ {n} nad 2 ^ {n}},}$

^{[je zapotřebí objasnění ]}

a každý termín v této částce je nerozložitelný.

Související pojmy

Druhým extrémem od nerozložitelnosti je nekonečná dělitelnost.

• Cramérova věta ukazuje, že zatímco normální rozdělení je nekonečně dělitelné, lze jej rozložit pouze na normální rozdělení.
• Cochranova věta ukazuje, že výrazy v rozkladu součtu čtverců normálních náhodných proměnných na součty čtverců lineárních kombinací těchto proměnných mají vždy nezávislé chi-kvadrát distribuce.

Viz také

• Cramérova věta
• Cochranova věta
• Nekonečná dělitelnost (pravděpodobnost)
• Khinchinova věta o faktorizaci distribucí

Reference

• Linnik, Yu. V. a Ostrovskii, I. V. Rozklad náhodných proměnných a vektorů, Amer. Matematika. Soc., Providence RI, 1977.

• Lukacs, Eugene, Charakteristické funkce, New York, Hafner Publishing Company, 1970.