Pickands – Balkema – de Haanova věta - Pickands–Balkema–de Haan theorem - Wikipedia

The Pickands – Balkema – de Haanova věta je často nazýván druhou větou v teorie extrémní hodnoty. Dává to asymptotické rozdělení ocasu a náhodná proměnná  X, když skutečná distribuce F z X není známo. Na rozdíl od první věty ( Věta Fisher – Tippett – Gnedenko ) v teorii extrémních hodnot je zde zájem o hodnoty nad prahovou hodnotou.

Funkce podmíněné nadměrné distribuce

Pokud vezmeme v úvahu neznámou distribuční funkci ${ displaystyle F}$ náhodné proměnné ${ displaystyle X}$, zajímá nás odhad funkce podmíněné distribuce ${ displaystyle F_ {u}}$ proměnné ${ displaystyle X}$ nad určitou prahovou hodnotu ${ displaystyle u}$. Toto je takzvaná funkce podmíněného přebytku distribuce, definovaná jako

${ displaystyle F_ {u} (y) = P (X-u leq y | X> u) = { frac {F (u + y) -F (u)} {1-F (u)}}}$

pro ${ displaystyle 0 leq y leq x_ {F} -u}$, kde ${ displaystyle x_ {F}}$ je konečný nebo nekonečný pravý koncový bod podkladové distribuce ${ displaystyle F}$. Funkce ${ displaystyle F_ {u}}$ popisuje rozdělení nadměrné hodnoty nad prahovou hodnotu ${ displaystyle u}$, vzhledem k překročení prahové hodnoty.

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, ldots)}$ být posloupností nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné a nechte ${ displaystyle F_ {u}}$ být jejich funkcí podmíněného přebytku distribuce. Pickands (1975), Balkema a de Haan (1974) předpokládají, že jde o velkou třídu základních distribučních funkcí ${ displaystyle F}$a velké ${ displaystyle u}$, ${ displaystyle F_ {u}}$ je dobře aproximován zobecněná Paretova distribuce. To je:

${ displaystyle F_ {u} (y) rightarrow G_ {k, sigma} (y), { text {as}} u rightarrow infty}$

kde

• ${ displaystyle G_ {k, sigma} (y) = 1- (1 + ky / sigma) ^ {- 1 / k}}$, pokud ${ displaystyle k neq 0}$
• ${ displaystyle G_ {k, sigma} (y) = 1-e ^ {- y / sigma}}$, pokud ${ displaystyle k = 0.}$

Tady σ > 0 a y ≥ 0, když k ≥ 0 a 0 ≤y ≤ −σ/k když k <0. Protože speciálním případem zobecněné Paretovy distribuce je mocenský zákon, někdy se k ospravedlnění použití mocenského zákona pro modelování extrémních jevů používá Pickands – Balkema – de Haanova věta. Mnoho důležitých distribucí, jako je normální a log-normální distribuce, přesto nemá ocasy extrémní hodnoty, které jsou asymptoticky zákonem moci.

Zvláštní případy zobecněné distribuce Pareto

• Exponenciální rozdělení s znamenat ${ displaystyle sigma}$, pokud k = 0.
• Rovnoměrné rozdělení na ${ displaystyle [0, sigma]}$, pokud k = -1.
• Paretova distribuce, pokud k > 0.

Související předměty

Stabilní distribuce

Reference

• Balkema, A. a de Haan, L. (1974). "Zbytková doba života ve velkém věku", Annals of Probability, 2, 792–804.
• Pickands, J. (1975). "Statistická inference pomocí statistik extrémního řádu", Annals of Statistics, 3, 119–131.