Polylogaritmus - Polylogarithm - Wikipedia

v matematika, polylogaritmus (také známý jako Funkce Jonquière, pro Alfreda Jonquièra) je a speciální funkce Li_s(z) objednávky s a argument z. Pouze pro speciální hodnoty s redukuje polylogaritmus na základní funkce tak jako přirozený logaritmus nebo racionální funkce. v kvantová statistika, funkce polylogaritmu se objeví jako uzavřená forma integrály z Distribuce Fermi – Dirac a Distribuce Bose – Einstein, a je také známý jako Fermi – Diracův integrál nebo Bose – Einsteinův integrál. v kvantová elektrodynamika, polylogaritmy kladné celé číslo řádu vznikají při výpočtu procesů představovaných vyšším řádem Feynmanovy diagramy.

Funkce polylogaritmu je ekvivalentní s Funkce Hurwitz zeta - buď funkce lze vyjádřit z hlediska ostatních - a obě funkce jsou zvláštními případy Lerch transcendentní. Polylogaritmy by neměly být zaměňovány s polylogaritmické funkce ani s offset logaritmický integrál který má stejný zápis, ale s jednou proměnnou.

• Různé polylogaritmické funkce v komplexní rovině
• 

  Li₋₃(z)

• 

  Li₋₂(z)

• 

  Li₋₁(z)

• 

  Li₀(z)

• 

  Li₁(z)

• 

  Li₂(z)

• 

  Li₃(z)

Funkce polylogaritmu je definována a výkonová řada v z, což je také a Dirichletova řada v s:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = součet _ {k = 1} ^ { infty} {z ^ {k} nad k ^ {s}} = z + {z ^ {2 } přes 2 ^ {s}} + {z ^ {3} přes 3 ^ {s}} + cdots}$

Tato definice je platná pro libovolné komplex objednat s a pro všechny složité argumenty z s |z| <1; lze ji rozšířit na |z| ≥ 1 procesem analytické pokračování. Zvláštní případ s = 1 zahrnuje obyčejné přirozený logaritmus, Li₁(z) = -Ln (1−.)z), zatímco zvláštní případy s = 2 a s = 3 se nazývají dilogaritmus (také označovaná jako Spenceova funkce) respektive trilogaritmus. Název funkce pochází ze skutečnosti, že může být také definován jako opakovaný integrální ze sebe:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s + 1} (z) = int _ {0} ^ {z} { frac { operatorname {Li} _ {s} (t)} {t}} dt }$

tedy dilogaritmus je integrál funkce zahrnující logaritmus atd. Pro nepozitivní celočíselné objednávky s, polylogaritmus je a racionální funkce.

Vlastnosti

V případě, že polylogaritmus pořadí ${ displaystyle s}$ je celé číslo, bude představováno ${ displaystyle n}$ (nebo ${ displaystyle -n}$ když negativní). Často je vhodné definovat ${ displaystyle mu = ln (z)}$ kde ${ displaystyle ln (z)}$ je hlavní větev z komplexní logaritmus ${ displaystyle operatorname {Ln} (z)}$ aby ${ displaystyle - pi < operatorname {Im} ( mu) leq pi.}$ Předpokládá se také, že veškerá umocňování bude mít jednu hodnotu: ${ displaystyle z ^ {s} = exp (s ln (z)).}$

Podle objednávky ${ displaystyle s}$, polylogaritmus může mít více hodnot. The hlavní větev z ${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z)}$ je považován za daný ${ displaystyle | z | <1}$ podle definice výše uvedené řady a je považována za spojitou s výjimkou kladné reálné osy, ze které je řez vytvořen ${ displaystyle z = 1}$ na ${ displaystyle infty}$ tak, že osa je umístěna na spodní polovině roviny ${ displaystyle z}$. Ve smyslu ${ displaystyle mu}$, to činí ${ displaystyle - pi < operatorname {arg} (- mu) leq pi}$. Nespojitost polylogaritmu v závislosti na ${ displaystyle mu}$ může být někdy matoucí.

Pro skutečnou hádku ${ displaystyle z}$, polylogaritmus skutečného řádu ${ displaystyle s}$ je skutečné, pokud ${ displaystyle z <1}$a jeho imaginární část pro ${ displaystyle z geq 1}$ je (Dřevo 1992, § 3):

${ displaystyle operatorname {Im} left ( operatorname {Li} _ {s} (z) right) = - {{ pi mu ^ {s-1}} over { Gamma (s)} }.}$

Jít přes řez, pokud ε je nekonečně malé kladné reálné číslo, pak:

${ displaystyle operatorname {Im} left ( operatorname {Li} _ {s} (z + i epsilon) right) = {{ pi mu ^ {s-1}} over { Gamma ( s)}}.}$

Obojí lze vyvodit z rozšíření série (viz. níže ) Li_s(E^µ) o µ = 0.

Deriváty polylogaritmu vyplývají z určující mocenské řady:

${ displaystyle z { částečné operatorname {Li} _ {s} (z) nad částečné z} = operatorname {Li} _ {s-1} (z)}$

${ displaystyle { částečné operatorname {Li} _ {s} (e ^ { mu}) nad částečné mu} = operatorname {Li} _ {s-1} (e ^ { mu}) .}$

Vzorec čtverce je patrný z definice řady a souvisí s duplikační vzorec (viz také Clunie (1954), Schrödinger (1952) ):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (- z) + operatorname {Li} _ {s} (z) = 2 ^ {1-s} operatorname {Li} _ {s} (z ^ { 2}).}$

Kummerova funkce řídí se velmi podobným vzorcem duplikace. Toto je zvláštní případ multiplikační vzorec, pro jakékoli kladné celé číslo str:

${ displaystyle sum _ {m = 0} ^ {p-1} operatorname {Li} _ {s} (ze ^ {2 pi im / p}) = p ^ {1-s} operatorname {Li } _ {s} (z ^ {p}),}$

což lze dokázat pomocí definice řady polylogaritmu a ortogonality exponenciálních členů (viz např. diskrétní Fourierova transformace ).

Další důležitá vlastnost, inverzní vzorec, zahrnuje Funkce Hurwitz zeta nebo Bernoulliho polynomy a nachází se pod vztah k ostatním funkcím níže.

Zvláštní hodnoty

V konkrétních případech může být polylogaritmus vyjádřen jinými funkcemi (viz. níže ). Konkrétní hodnoty pro polylogaritmus lze tedy také najít jako konkrétní hodnoty těchto dalších funkcí.

1. Pro celočíselné hodnoty řádu polylogaritmu jsou následující explicitní výrazy získány opakovanou aplikací z·∂/∂z Li₁(z):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {1} (z) = - ln (1-z)}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {0} (z) = {z nad 1-z}}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {- 1} (z) = {z nad (1-z) ^ {2}}}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {- 2} (z) = {z (1 + z) nad (1-z) ^ {3}}}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {- 3} (z) = {z (1 + 4z + z ^ {2}) nad (1-z) ^ {4}}}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {- 4} (z) = {z (1 + z) (1 + 10z + z ^ {2}) over (1-z) ^ {5}}.}$

V souladu s tím se polylogaritmus snižuje na poměr polynomů v z, a je tedy a racionální funkce z z, pro všechny kladné celočíselné objednávky. Obecný případ lze vyjádřit jako konečný součet:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {- n} (z) = vlevo (z { částečné nad částečné z} pravé) ^ {n} {z nad {1-z}} = součet _ {k = 0} ^ {n} k! S (n + 1, k + 1) left ({z over {1-z}} right) ^ {k + 1} qquad (n = 0 , 1,2, ldots),}$

kde S(n,k) jsou Stirlingova čísla druhého druhu. Ekvivalentní vzorce použitelné na objednávky se záporným celým číslem jsou (Dřevo 1992, § 6):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {- n} (z) = (- 1) ^ {n + 1} součet _ {k = 0} ^ {n} k! S (n + 1, k + 1 ) left ({{- 1} over {1-z}} right) ^ {k + 1} qquad (n = 1,2,3, ldots),}$

a:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {- n} (z) = {1 nad (1-z) ^ {n + 1}} součet _ {k = 0} ^ {n-1} vlevo jazyk {n atop k} right rangle z ^ {nk} qquad (n = 1,2,3, ldots),}$

kde ${ displaystyle scriptstyle left langle {n na vrcholu k} right rangle}$ jsou Euleriánská čísla. Všechny kořeny Li_−n(z) jsou odlišné a skutečné; obsahují z = 0, zatímco zbytek je záporný a soustředěný kolem z = -1 v logaritmickém měřítku. Tak jako n se zvětšuje, numerické hodnocení těchto racionálních výrazů stále více trpí zrušením (Dřevo 1992, § 6); plné přesnosti lze dosáhnout výpočtem Li_−n(z) prostřednictvím obecného vztahu s funkcí Hurwitz zeta (viz. níže ).

2. Některé konkrétní výrazy pro celočíselné hodnoty argumentu z jsou:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {1} ({ tfrac {1} {2}}) = ln 2}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} ({ tfrac {1} {2}}) = { tfrac {1} {12}} pi ^ {2} - { tfrac {1} {2 }} ( ln 2) ^ {2}}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {3} ({ tfrac {1} {2}}) = { tfrac {1} {6}} ( ln 2) ^ {3} - { tfrac {1 } {12}} pi ^ {2} ln 2 + { tfrac {7} {8}} zeta (3),}$

kde ζ je Funkce Riemann zeta. U vyšších celočíselných objednávek nejsou známy žádné vzorce tohoto typu (Lewin 1991, str. 2), ale jeden má například (Borwein, Borwein & Girgensohn 1995 ):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {4} ({ tfrac {1} {2}}) = { tfrac {1} {360}} pi ^ {4} - { tfrac {1} {24 }} ( ln 2) ^ {4} + { tfrac {1} {24}} pi ^ {2} ( ln 2) ^ {2} - { tfrac {1} {2}} zeta ({ bar {3}}, { bar {1}}),}$

což zahrnuje střídavý dvojitý součet

${ displaystyle zeta ({ bar {3}}, { bar {1}}) = sum _ {m> n> 0} (- 1) ^ {m + n} m ^ {- 3} n ^ {- 1}.}$

Obecně platí, že platí pro celočíselné objednávky n ≥ 2 (Broadhurst 1996, str. 9):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {n} ({ tfrac {1} {2}}) = - zeta ({ bar {1}}, { bar {1}}, left {1 right } ^ {n-2}),}$

kde ζ(s₁, ..., s_k) je funkce více zeta; například:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {5} ({ tfrac {1} {2}}) = - zeta ({ bar {1}}, { bar {1}}, 1,1,1 ).}$

3. Jako přímý důsledek definice řady byly hodnoty polylogaritmu na strth komplex kořeny jednoty jsou dány Fourierova suma:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (e ^ {2 pi im / p}) = p ^ {- s} sum _ {k = 1} ^ {p} e ^ {2 pi imk / p} zeta (s, { tfrac {k} {p}}) qquad (m = 1,2, dots, p-1),}$

kde ζ je Funkce Hurwitz zeta. Pro Re (s)> 1, kde Li_s(1) je konečný, vztah platí také pro m = 0 nebo m = str. I když tento vzorec není tak jednoduchý, jak vyplývá z obecnějšího vztahu s funkcí Hurwitz zeta uvedenou níže vztah k ostatním funkcím níže má tu výhodu, že se použije na nezáporné celočíselné hodnoty s také. Jako obvykle může být vztah obrácen, aby vyjádřil ζ (s, ^m⁄_str) pro všechny m = 1, ..., str jako Fourierova suma Li_s(exp (2πi ^k⁄_str)) přes k = 1, ..., str.

Vztah k ostatním funkcím

• Pro z = 1 se polylogaritmus redukuje na Funkce Riemann zeta

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (1) = zeta (s) qquad ( operatorname {Re} (s)> 1).}$

• Polylogaritmus souvisí s Funkce Dirichlet eta a Funkce Dirichlet beta:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (- 1) = - eta (s),}$

kde η(s) je funkce Dirichlet eta. Pro čisté imaginární argumenty máme:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} ( pm i) = - 2 ^ {- s} eta (s) pm i beta (s),}$

kde β(s) je Dirichletova beta funkce.

• Polylogaritmus souvisí s kompletní Fermi – Dirac integrál tak jako:

${ displaystyle F_ {s} ( mu) = - operatorname {Li} _ {s + 1} (- e ^ { mu}).}$

• Polylogaritmus je zvláštním případem neúplný polylogaritmus funkce

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = operatorname {Li} _ {s} (0, z).}$

• Polylogaritmus je zvláštním případem Lerch transcendentní (Erdélyi a kol. 1981, § 1.11-14)

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = z Phi (z, s, 1).}$

• Polylogaritmus souvisí s Funkce Hurwitz zeta podle:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = { Gamma (1-s) nad (2 pi) ^ {1-s}} vlevo [i ^ {1-s} zeta left (1-s, { frac {1} {2}} + { ln (-z) přes {2 pi i}} right) + i ^ {s-1} ~ zeta left (1 s, { frac {1} {2}} - { ln (-z) přes {2 pi i}} doprava) doprava],}$

který vztah je však neplatný při kladném celém čísle s podle póly z funkce gama Γ (1−s) a na s = 0 pólem obou funkcí zeta; derivace tohoto vzorce je uvedena pod série reprezentace níže. S malou pomocí funkční rovnice pro funkci Hurwitz zeta je polylogaritmus následně také spojen s touto funkcí pomocí (Jonquière 1889 ):

${ displaystyle i ^ {- s} operatorname {Li} _ {s} (e ^ {2 pi ix}) + i ^ {s} operatorname {Li} _ {s} (e ^ {- 2 pi ix}) = {(2 pi) ^ {s} nad gama (y)} zeta (1-s, x),}$

který vztah platí pro 0 ≤ Re (X) <1 pokud Im (X) ≥ 0 a pro 0 X) ≤ 1 pokud Im (X) <0. Ekvivalentně, pro všechny složité s a komplexně z ∉] 0; 1], přečte vzorec inverze

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) + (- 1) ^ {s} operatorname {Li} _ {s} (1 / z) = {(2 pi i) ^ {s} over Gamma (s)} ~ zeta left (1-s, ~ { frac {1} {2}} + { ln (-z) over {2 pi i}} right), }$

a pro všechny složité s a komplexně z ∉ ]1;∞[

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) + (- 1) ^ {s} operatorname {Li} _ {s} (1 / z) = {(2 pi i) ^ {s} over Gamma (s)} ~ zeta left (1 s, ~ { frac {1} {2}} - { ln (-1 / z) over {2 pi i}} vpravo ).}$

Pro z ∉] 0; ∞ [jeden má ln (-z) = −ln (-¹⁄_z) a oba výrazy souhlasí. Tyto vztahy poskytují analytické pokračování polylogaritmu za kruhem konvergence |z| = 1 z definující výkonové řady. (Odpovídající rovnice Jonquière (1889 ekv. 5) a Erdélyi a kol. (1981, § 1.11-16) není správné, pokud se předpokládá, že hlavní větve polylogaritmu a logaritmus jsou používány současně.) Zjednodušený vzorec viz následující položka, když s je celé číslo.

• Pro kladné celočíselné objednávky polylogaritmu s, funkce Hurwitz zeta ζ (1−s, X) snižuje na Bernoulliho polynomy, ζ (1−n, X) = −B_n(X) / na Jonquiereho inverzní vzorec pro n = 1, 2, 3, ... se stává:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {n} (e ^ {2 pi ix}) + (- 1) ^ {n} operatorname {Li} _ {n} (e ^ {- 2 pi ix} ) = - {(2 pi i) ^ {n} nad n!} B_ {n} (x),}$

kde opět 0 ≤ Re (X) <1 pokud Im (X) ≥ 0 a 0 X) ≤ 1 pokud Im (X) <0. Po omezení argumentu polylogaritmu na jednotkový kruh, Im (X) = 0, levá strana tohoto vzorce zjednodušuje na 2 Re (Li_n(E^2πix)) pokud n je sudé a na 2i Im (Li_n(E^2πix)) pokud n je zvláštní. U záporných celočíselných příkazů je naopak divergence Γ (s) znamená pro všechny z že (Erdélyi a kol. 1981, § 1.11-17):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {- n} (z) + (- 1) ^ {n} operatorname {Li} _ {- n} (1 / z) = 0 qquad (n = 1,2 , 3, ldots).}$

Obecněji jeden má pro n = 0, ±1, ±2, ±3, ... :

${ displaystyle operatorname {Li} _ {n} (z) + (- 1) ^ {n} operatorname {Li} _ {n} (1 / z) = - { frac {(2 pi i) ^ {n}} {n!}} B_ {n} left ({ frac {1} {2}} + { ln (-z) over {2 pi i}} right) qquad ( z not in] 0; 1]),}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {n} (z) + (- 1) ^ {n} operatorname {Li} _ {n} (1 / z) = - { frac {(2 pi i) ^ {n}} {n!}} B_ {n} left ({ frac {1} {2}} - { ln (-1 / z) přes {2 pi i}} right) qquad (z not in ~] 1; infty [),}$

kde oba výrazy souhlasí z ∉] 0; ∞ [. (Odpovídající rovnice Jonquière (1889 ekv. 1) a Erdélyi a kol. (1981, § 1.11-18) opět není správný.)

• Polylogaritmus s čistě imaginárním μ mohou být vyjádřeny v Clausenovy funkce Ci_s(θ) a Si_s(θ) a naopak (Lewin 1958, Ch. VII § 1.4; Abramowitz a Stegun 1972, § 27.8):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (e ^ { pm i theta}) = Ci_ {s} ( theta) pm iSi_ {s} ( theta).}$

• The inverzní tangensový integrál Ti_s(z) (Lewin 1958, Ch. VII § 1.2) lze vyjádřit polylogaritmy:

${ displaystyle operatorname {Ti} _ {s} (z) = {1 nad 2i} left [ operatorname {Li} _ {s} (iz) - operatorname {Li} _ {s} (- iz )že jo].}$

Z tohoto vztahu vyplývá zejména:

${ displaystyle operatorname {Ti} _ {0} (z) = {z nad 1 + z ^ {2}}, quad operatorname {Ti} _ {1} (z) = arctan z, quad operatorname {Ti} _ {2} (z) = int _ {0} ^ {z} { arctan t over t} dt, quad ldots ~ quad operatorname {Ti} _ {n + 1 } (z) = int _ {0} ^ {z} { frac { operatorname {Ti} _ {n} (t)} {t}} dt,}$

což vysvětluje název funkce.

• The Legendre chi funkce χ_s(z) (Lewin 1958, Ch. VII § 1.1; Boersma & Dempsey 1992 ) lze vyjádřit pomocí polylogaritmů:

${ displaystyle chi _ {s} (z) = { tfrac {1} {2}} left [ operatorname {Li} _ {s} (z) - operatorname {Li} _ {s} (- z) vpravo].}$

• Polylogaritmus celočíselného řádu lze vyjádřit jako a generalizovaná hypergeometrická funkce:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {n} (z) = z_ {n + 1} F_ {n} (1,1, tečky, 1; 2,2, tečky, 2; z) qquad ( n = 0,1,2, ldots),}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {- n} (z) = z_ {n} F_ {n-1} (2,2, tečky, 2; 1,1, tečky, 1; z) qquad (n = 1,2,3, ldots) ~.}$

• Z hlediska neúplné funkce zeta nebo „Debye funkce " (Abramowitz a Stegun 1972, § 27.1):

${ displaystyle Z_ {n} (z) = {1 nad (n-1)!} int _ {z} ^ { infty} {t ^ {n-1} nad e ^ {t} -1 } dt qquad (n = 1,2,3, ldots),}$

polylogaritmus Li_n(z) pro kladné celé číslo n lze vyjádřit jako konečný součet (Dřevo 1992, § 16):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {n} (e ^ { mu}) = součet _ {k = 0} ^ {n-1} Z_ {nk} (- mu) { mu ^ {k } přes k!} qquad (n = 1,2,3, ldots).}$

Pozoruhodně podobný výraz souvisí s „funkcemi Debye“ Z_n(z) k polylogaritmu:

${ displaystyle Z_ {n} (z) = součet _ {k = 0} ^ {n-1} operatorname {Li} _ {nk} (e ^ {- z}) {z ^ {k} přes k!} qquad (n = 1,2,3, ldots).}$

Integrální reprezentace

Kterákoli z následujících integrálních reprezentací poskytuje analytické pokračování polylogaritmu za kruhem konvergence |z| = 1 z definující výkonové řady.

1. Polylogaritmus lze vyjádřit z hlediska integrálu Distribuce Bose – Einstein:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = {1 nad Gamma (s)} int _ {0} ^ { infty} {t ^ {s-1} nad e ^ { t} / z-1} dt.}$

To konverguje pro Re (s)> 0 a vše z až na z reálný a ≥ 1. Polylogaritmus v tomto kontextu je někdy označován jako Boseův integrál, ale častěji jako a Bose – Einsteinův integrál.^[1] Podobně lze polylogaritmus vyjádřit jako integrál Distribuce Fermi – Dirac:

${ displaystyle - operatorname {Li} _ {s} (- z) = {1 nad Gamma (s)} int _ {0} ^ { infty} {t ^ {s-1} nad e ^ {t} / z + 1} dt.}$

To konverguje pro Re (s)> 0 a vše z až na z reálné a ≤ −1. Polylogaritmus v této souvislosti je někdy označován jako Fermiho integrál nebo Fermi – Diracův integrál^[2] (GSL 2010 ). Tyto reprezentace snadno ověří Taylorova expanze integrand vzhledem k z a termwise integrace. Články Dingleho obsahují podrobná zkoumání obou typů integrálů.

Polylogaritmus souvisí také s integrálem Maxwell – Boltzmannova distribuce:

${ displaystyle lim _ {z to 0} { frac { operatorname {Li} _ {s} (z)} {z}} = {1 over Gamma (s)} int _ {0} ^ { infty} {t ^ {s-1} e ^ {- t}} dt = 1.}$

To také dává asymptotické chování polylogaritmu v blízkosti původu.

2. Doplňující integrální reprezentace platí pro Re (s) <0 a všem z kromě z reálné a ≥ 0:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = int _ {0} ^ { infty} {t ^ {- s} sin [s pi / 2-t ln (-z) ] přes sinh ( pi t)} dt.}$

Tento integrál vyplývá z obecného vztahu polylogaritmu s Funkce Hurwitz zeta (viz výše ) a jejich známé integrální zastoupení.

3. Polylogaritmus může být obecně představován a Hankelova kontura integrální (Whittaker & Watson 1927, § 12.22, § 13.13), který rozšiřuje zastoupení Bose – Einstein na záporné objednávky s. Pokud t = μ pól integrandu neleží na nezáporné reálné ose, a s ≠ 1, 2, 3, ..., máme:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (e ^ { mu}) = - {{ Gamma (1 s)} nad {2 pi i}} mast _ {H} {{( -t) ^ {s-1}} přes {e ^ {t- mu} -1}} dt}$

kde H představuje Hankelovou konturu. Celé číslo má řez podél skutečné osy od nuly do nekonečna, přičemž osa patří do spodní poloviny roviny t. Integrace začíná na + ∞ v horní polovině roviny (Im (t)> 0), zakrouží počátek, aniž by uzavřel některý z pólů t = µ + 2kπi, a končí na + ∞ ve spodní polovině roviny (Im (t) <0). Pro případ, kdy µ je reálné a nezáporné, můžeme jednoduše odečíst příspěvek uzavřeného t = µ pól:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (e ^ { mu}) = - {{ Gamma (1 s)} nad {2 pi i}} mast _ {H} {{( -t) ^ {s-1}} přes {e ^ {t- mu}} - 1} dt-2 pi iR}$

kde R je zbytek pólu:

${ displaystyle R = {i nad 2 pi} gama (1-s) (- mu) ^ {s-1}.}$

4. Když Abel – Plana vzorec se aplikuje na definující řadu polylogaritmu, a Poustevník -typové výsledky integrální reprezentace, které jsou platné pro všechny složité z a pro všechny složité s:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = { tfrac {1} {2}} z + { gama (1-s, - ln z) over (- ln z) ^ { 1-s}} + 2z int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (s arctan tt ln z)} {(1 + t ^ {2}) ^ {s / 2} (e ^ {2 pi t} -1)}} dt}$

kde Γ je horní neúplná funkce gama. Všechny (ale ne část) ln (z) v tomto výrazu lze nahradit −ln (¹⁄_z). Související reprezentace, která platí také pro všechny složité s,

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = { tfrac {1} {2}} z + z int _ {0} ^ { infty} { frac { sin [s arctan tt ln (-z)]} {(1 + t ^ {2}) ^ {s / 2} sinh ( pi t)}} dt,}$

vyhne se použití neúplné funkce gama, ale tento integrál selže z na kladné reálné ose, pokud Re (s) ≤ 0. Tento výraz se najde zápisem 2^s Li_s(−z) / (−z) = Φ (z², s, ¹⁄₂) − z Φ (z², s, 1), kde Φ je Lerch transcendentní a použití vzorce Abel – Plana na první řadu Φ a doplňkového vzorce zahrnujícího 1 / (E^2πt + 1) místo 1 / (E^2πt - 1) do druhé řady Φ.

5. Jak je uvedeno v,^[3] můžeme vyjádřit integrál pro polylogaritmus integrací obyčejného geometrické řady jinak pro ${ displaystyle s in mathbb {N}}$ tak jako

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s + 1} (z) = { frac {z cdot (-1) ^ {s}} {s!}} int _ {0} ^ {1} { frac { log ^ {s} (t)} {1-tz}} dt.}$

Sériové reprezentace

1. Jak je uvedeno níže integrální reprezentace výše lze Bose-Einsteinovu integrální reprezentaci polylogaritmu rozšířit na záporné řády s pomocí Hankelova kontura integrace:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (e ^ { mu}) = - { Gamma (1 s) nad 2 pi i} mast _ {H} {(- t) ^ { s-1} nad e ^ {t- mu} -1} dt,}$

kde H je Hankelova kontura, s ≠ 1, 2, 3, ... a t = μ pól integrandu neleží na nezáporné reálné ose. The obrys lze upravit tak, že obklopuje póly integrand v t − µ = 2kπia integrál lze vyhodnotit jako součet zbytky (Dřevo 1992, § 12, 13; Gradshteyn a Ryzhik 1980, § 9.553 chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFGradshteynRyzhik1980 (Pomoc)):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (e ^ { mu}) = gama (1 s) součet _ {k = - infty} ^ { infty} (2k pi i- mu) ^ {s-1}.}$

Toto bude platit pro Re (s) <0 a vše μ kromě toho, kde E^μ = 1. Pro 0 µ) ≤ 2π částku lze rozdělit jako:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (e ^ { mu}) = gama (1 s) vlevo [(- 2 pi i) ^ {s-1} součet _ {k = 0} ^ { infty} left (k + { mu over {2 pi i}} right) ^ {s-1} + (2 pi i) ^ {s-1} sum _ {k = 0} ^ { infty} left (k + 1 - { mu over {2 pi i}} right) ^ {s-1} right],}$

kde lze nyní tyto dvě řady identifikovat pomocí Funkce Hurwitz zeta:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (e ^ { mu}) = { Gamma (1 s) nad (2 pi) ^ {1-s}} vlevo [i ^ {1 -s} ~ zeta left (1-s, ~ { mu over {2 pi i}} right) + i ^ {s-1} ~ zeta left (1-s, ~ 1- { mu over {2 pi i}} right) right] qquad (0 < operatorname {Im} ( mu) leq 2 pi).}$

Tento vztah, který již byl uveden pod vztah k ostatním funkcím výše, platí pro všechny složité s ≠ 0, 1, 2, 3, ... a byl poprvé odvozen v (Jonquière 1889 ekv. 6).

2. Aby bylo možné reprezentovat polylogaritmus jako mocninnou řadu o µ = 0, zapíšeme řadu odvozenou od Hankelova konturového integrálu jako:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (e ^ { mu}) = Gamma (1 s) (- mu) ^ {s-1} + Gamma (1 s) součet _ {h = 1} ^ { infty} left [(- 2h pi i- mu) ^ {s-1} + (2h pi i- mu) ^ {s-1} right].}$

Když se binomické síly v součtu rozšíří o µ = 0 a pořadí součtu je obrácené, součet přes h lze vyjádřit v uzavřené formě:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (e ^ { mu}) = gama (1-s) (- mu) ^ {s-1} + součet _ {k = 0} ^ { infty} { zeta (sk) nad k!} mu ^ {k}.}$

Tento výsledek platí pro |µ| < 2π a díky analytickému pokračování poskytovanému funkce zeta, pro všechny s ≠ 1, 2, 3, .... Pokud je pořadí kladné celé číslo, s = n, jak termín s k = n - 1 a funkce gama stanou se nekonečnými, i když jejich součet není. Jeden získá (Dřevo 1992, § 9; Gradshteyn a Ryzhik 1980, § 9.554 chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFGradshteynRyzhik1980 (Pomoc)):

${ displaystyle lim _ {s až k + 1} vlevo [{ zeta (sk) nad k!} mu ^ {k} + gama (1-s) (- mu) ^ {s -1} right] = { mu ^ {k} over k!} Left [ sum _ {h = 1} ^ {k} {1 over h} - ln (- mu) right ],}$

kde součet skončil h zmizí, pokud k = 0. Takže pro kladné celočíselné objednávky a pro |μ| < 2π máme sérii:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {n} (e ^ { mu}) = { mu ^ {n-1} nad (n-1)!} vlevo [H_ {n-1} - ln (- mu) right] + sum _ {k = 0, k neq n-1} ^ { infty} { zeta (nk) over k!} mu ^ {k},}$

kde H_n označuje nth harmonické číslo:

${ displaystyle H_ {n} = součet _ {h = 1} ^ {n} {1 nad h}, qquad H_ {0} = 0.}$

Problémové výrazy nyní obsahují −ln (-μ) který po vynásobení μⁿ⁻¹, bude mít sklon k nule jako μ → 0, kromě n = 1. To odráží skutečnost, že Li_s(z) vykazuje pravdu logaritmická singularita na s = 1 a z = 1 od:

${ displaystyle lim _ { mu to 0} gama (1-s) (- mu) ^ {s-1} = 0 qquad ( operatorname {Re} (s)> 1).}$

Pro s blízké, ale ne rovné kladnému celému číslu, rozdílné výrazy v expanzi o µ = 0 lze očekávat, že způsobí výpočetní potíže (Dřevo 1992, § 9). Erdélyiho odpovídající expanze (Erdélyi a kol. 1981, § 1.11-15) v pravomoci ln (z) není správné, pokud předpokládáme, že hlavní větve polylogaritmu a logaritmu jsou používány současně, protože ln (¹⁄_z) není jednotně rovno −ln (z).

Pro nonpositive integer values ​​of s, funkce zeta ζ (s − k) v expanzi o µ = 0 redukuje na Bernoulliho čísla: ζ (-n − k) = −B_1+n+k / (1 + n + k). Numerické vyhodnocení Li_−n(z) touto řadou netrpí rušivými účinky, které konečné racionální výrazy uvedené pod konkrétní hodnoty výše exponát pro velké n.

3. Použitím identity

${ displaystyle 1 = {1 over Gamma (s)} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} t ^ {s-1} dt qquad ( operatorname {Re} (s )> 0),}$

Bose – Einsteinova integrální reprezentace polylogaritmu (viz výše ) lze odevzdat ve formě:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = { tfrac {1} {2}} z + {z nad 2 gama (y)} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} t ^ {s-1} coth {t- ln z nad 2} dt qquad ( operatorname {Re} (s)> 0).}$

Nahrazení hyperbolického kotangensu bilaterální řadou,

${ displaystyle coth {t- ln z nad 2} = 2 součet _ {k = - infty} ^ { infty} {1 nad 2k pi i + t- ln z},}$

pak obrátit pořadí integrálu a součtu a nakonec identifikovat sčítání s integrálním vyjádřením horní neúplná funkce gama, jeden získá:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = { tfrac {1} {2}} z + sum _ {k = - infty} ^ { infty} { Gamma (1-s, 2k pi i- ln z) over (2k pi i- ln z) ^ {1-s}}.}$

Jak pro bilaterální řadu tohoto výsledku, tak pro hyperbolický kotangens, symetrické částečné součty od -k_max na k_max konvergovat bezpodmínečně jako k_max → ∞. Pokud je součet proveden symetricky, je tato řada pro Li_s(z) tedy platí pro všechny složité s stejně jako všechny složité z.

4. Představujeme explicitní výraz pro Stirlingova čísla druhého druhu do konečného součtu pro polylogaritmus nepozitivního celočíselného řádu (viz výše ) lze napsat:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {- n} (z) = součet _ {k = 0} ^ {n} vlevo ({- z nad 1-z} vpravo) ^ {k + 1} sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j + 1} {k select j} (j + 1) ^ {n} qquad (n = 0,1,2, ldots ).}$

Nekonečná řada získaná jednoduše rozšířením vnějšího součtu na ∞ (Guillera & Sondow 2008, Věta 2.1):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} vlevo ({- z nad 1-z} vpravo) ^ {k + 1} ~ sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j + 1} {k select j} (j + 1) ^ {- s},}$

Ukázalo se, že konverguje k polylogaritmu pro celý komplex s a komplexně z s Re (z) < ¹⁄₂, jak lze ověřit pro |^−z⁄_(1−z)| < ¹⁄₂ obrácením pořadí součtu a použitím:

${ displaystyle sum _ {k = j} ^ { infty} {k vyberte j} left ({- z nad 1-z} right) ^ {k + 1} = left [ left ( {-z nad 1-z} doprava) ^ {- 1} -1 doprava] ^ {- j-1} = (- z) ^ {j + 1}.}$

Vnitřní koeficienty těchto řad lze vyjádřit pomocí Souvisí s Stirlingovým číslem vzorce zahrnující zobecněné harmonická čísla. Například viz generování transformací funkcí najít důkazy (odkazy na důkazy) o následujících totožnostech:

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Li} _ {2} (z) & = sum _ {j geq 1} { frac {(-1) ^ {j-1}} {2} } left (H_ {j} ^ {2} + H_ {j} ^ {(2)} right) { frac {z ^ {j}} {(1-z) ^ {j + 1}}} operatorname {Li} _ {3} (z) & = sum _ {j geq 1} { frac {(-1) ^ {j-1}} {6}} left (H_ {j } ^ {3} + 3H_ {j} H_ {j} ^ {(2)} + 2H_ {j} ^ {(3)} right) { frac {z ^ {j}} {(1-z) ^ {j + 1}}}. end {zarovnáno}}}$

U ostatních argumentů s Re (z) < ¹⁄₂ výsledek následuje analytické pokračování. Tento postup je ekvivalentní použití Eulerova transformace do série v z který definuje polylogaritmus.

Asymptotické expanze

Pro |z| ≫ 1, lze polylogaritmus rozšířit na asymptotická série z hlediska ln (-z):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = { pm i pi over gama (s)} [ ln (-z) pm i pi] ^ {s-1} - sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} (2 pi) ^ {2k} {B_ {2k} over (2k)!} {[ ln (-z) pm i pi] ^ {s-2k} over Gamma (s + 1-2k)},}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} (1-2 ^ {1-2k}) (2 pi) ^ {2k} {B_ {2k} nad (2k)!} {[ ln (-z)] ^ {s-2k} nad Gamma (s + 1-2k)},}$

kde B_2k jsou Bernoulliho čísla. Obě verze platí pro všechny s a pro jakýkoli arg (z). Součet by měl být jako obvykle ukončen, jakmile začnou výrazy narůstat. Pro záporné celé číslo s„expanze úplně zmizí; pro nezáporné celé číslo s, odlomí se po omezeném počtu termínů. Dřevo (1992, § 11) popisuje metodu pro získání těchto řad z Bose-Einsteinova integrálního vyjádření (jeho rovnice 11.2 pro Li_s(E^µ) vyžaduje −2π µ) ≤ 0).

Omezující chování

Následující limity výsledek z různých reprezentací polylogaritmu (Dřevo 1992, § 22):

${ displaystyle lim _ {| z | až 0} operatorname {Li} _ {s} (z) = z}$

${ displaystyle lim _ {| mu | až 0} operatorname {Li} _ {s} (e ^ { mu}) = gama (1-s) (- mu) ^ {s-1 } qquad ( operatorname {Re} (s) <1)}$

${ displaystyle lim _ { operatorname {Re} ( mu) to infty} operatorname {Li} _ {s} (e ^ { mu}) = - { mu ^ {s} přes Gama (s + 1)} qquad (s neq -1, -2, -3, ldots)}$

${ displaystyle lim _ { operatorname {Re} ( mu) to infty} operatorname {Li} _ {- n} (e ^ { mu}) = - (- 1) ^ {n} e ^ {- mu} qquad (n = 1,2,3, ldots)}$

${ displaystyle lim _ { operatorname {Re} (s) to infty} operatorname {Li} _ {s} (z) = z}$

${ displaystyle lim _ { operatorname {Re} (s) to - infty} operatorname {Li} _ {s} (e ^ { mu}) = Gamma (1-s) (- mu ) ^ {s-1} qquad (- pi < operatorname {Im} ( mu) < pi)}$

${ displaystyle lim _ { operatorname {Re} (s) to - infty} operatorname {Li} _ {s} (- e ^ { mu}) = Gamma (1 s) left [ (- mu -i pi) ^ {s-1} + (- mu + i pi) ^ {s-1} right] qquad ( operatorname {Im} ( mu) = 0)}$

Woodův první limit pro Re (µ) → ∞ byl opraven v souladu s jeho rovnicí 11.3. Limit pro Re (s) → −∞ vyplývá z obecného vztahu polylogaritmu s Funkce Hurwitz zeta (viz výše ).

Dilogaritmus

Dilogaritmus je polylogaritmus řádu s = 2. Alternativní integrální výraz dilogaritmu pro libovolný komplexní argument z je (Abramowitz a Stegun 1972, § 27.7):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) = - int _ {0} ^ {z} { ln (1-t) over t} dt = - int _ {0} ^ { 1} { ln (1-zt) přes t} dt.}$

Zdrojem zmatku je, že některé systémy počítačové algebry definovat dilogaritmus jako dilog (z) = Li₂(1−z).

V případě skutečné z ≥ 1 první integrální výraz pro dilogaritmus lze zapsat jako

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) = { frac { pi ^ {2}} {6}} - int _ {1} ^ {z} { ln (t-1) přes t} dt-i pi ln z}$

ze kterého se rozšiřuje ln (t−1) a integraci člen po členu získáme

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) = { frac { pi ^ {2}} {3}} - { frac {1} {2}} ( ln z) ^ {2 } - sum _ {k = 1} ^ { infty} {1 nad k ^ {2} z ^ {k}} - i pi ln z qquad (z geq 1).}$

The Abel identita pro dilogaritmus je dán (Abel 1881 )

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {x} {1-y}} right) + operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {y} { 1-x}} right) - operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {xy} {(1-x) (1-y)}} right) = operatorname {Li} _ {2} (x) + operatorname {Li} _ {2} (y) + ln (1-x) ln (1-y)}$

${ displaystyle ( operatorname {Re} (x) leq { tfrac {1} {2}} klín operatorname {Re} (y) leq { tfrac {1} {2}} vee operatorname {Im} (x)> 0 wedge operatorname {Im} (y)> 0 vee operatorname {Im} (x) <0 wedge operatorname {Im} (y) <0 vee ldots). }$

To je okamžitě vidět, že platí pro oba X = 0 nebo y = 0, a pro obecné argumenty se pak snadno ověří diferenciací ∂ / ∂X ∂/∂y. Pro y = 1−X identita se snižuje na Euler je reflexní vzorec

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left (x right) + operatorname {Li} _ {2} left (1-x right) = { frac {1} {6}} pi ^ {2} - ln (x) ln (1-x),}$

kde Li₂(1) = ζ (2) = ¹⁄₆ π² byl použit a X může mít jakoukoli složitou hodnotu.

Pokud jde o nové proměnné u = X/(1−y), proti = y/(1−X) zní Abel identita

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (u) + operatorname {Li} _ {2} (v) - operatorname {Li} _ {2} (uv) = operatorname {Li} _ {2 } left ({ frac {u-uv} {1-uv}} right) + operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {v-uv} {1-uv}} right ) + ln left ({ frac {1-u} {1-uv}} right) ln left ({ frac {1-v} {1-uv}} right),}$

což odpovídá identita pětiúhelníku uvedeny v (Rogers 1907 ).

Z identity Ábela pro X = y = 1−z a čtvercový vztah, který máme Landen identita

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (1-z) + operatorname {Li} _ {2} left (1 - { frac {1} {z}} right) = - { frac {1} {2}} ( ln z) ^ {2} qquad (z ne v ~] - infty; 0]),}$

a aplikováním odrazového vzorce na každý dilogaritmus najdeme inverzní vzorec

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) + operatorname {Li} _ {2} (1 / z) = - { tfrac {1} {6}} pi ^ {2} - { tfrac {1} {2}} [ ln (-z)] ^ {2} qquad (z ne v [0; 1 [),}$

a doopravdy z ≥ 1 také

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) + operatorname {Li} _ {2} (1 / z) = { tfrac {1} {3}} pi ^ {2} - { tfrac {1} {2}} ( ln z) ^ {2} -i pi ln z.}$

Známá uzavřená forma hodnocení dilogaritmu při zvláštních argumentech jsou shromážděna v tabulce níže. Argumenty v prvním sloupci souvisejí s odrazem X ↔ 1−X nebo inverze X ↔ ¹⁄_X buď X = 0 nebo X = -1; argumenty ve třetím sloupci jsou navzájem propojeny těmito operacemi.

Maximon (2003) pojednává o referencích ze 17. až 19. století. Reflexní vzorec byl již publikován Landenem v roce 1760, předtím, než se objevil v knize Eulera z roku 1768 (Maximon 2003, § 10); ekvivalent k Abelově identitě již publikoval Spence v roce 1809, než Abel napsal svůj rukopis v roce 1826 (Zagier 1989, § 2). Označení bilogaritmická funkce byl představen Carl Johan Danielsson Hill (profesor ve švédském Lundu) v roce 1828 (Maximon 2003, § 10). Don Zagier  (1989 ) poznamenal, že dilogaritmus je jedinou matematickou funkcí, která má smysl pro humor.

Speciální hodnoty dilogaritmu

${ displaystyle x}$	${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (x)}$	${ displaystyle x}$	${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (x)}$
${ displaystyle -1}$	${ displaystyle - { tfrac {1} {12}} pi ^ {2}}$	${ displaystyle - phi}$	${ displaystyle - { tfrac {1} {10}} pi ^ {2} - ln ^ {2} phi}$
${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle -1 / phi}$	${ displaystyle - { tfrac {1} {15}} pi ^ {2} + { tfrac {1} {2}} ln ^ {2} phi}$
${ displaystyle { tfrac {1} {2}}}$	${ displaystyle { tfrac {1} {12}} pi ^ {2} - { tfrac {1} {2}} ln ^ {2} 2}$	${ displaystyle 1 / phi ^ {2}}$	${ displaystyle { tfrac {1} {15}} pi ^ {2} - ln ^ {2} phi}$
${ displaystyle 1}$	${ displaystyle { tfrac {1} {6}} pi ^ {2}}$	${ displaystyle 1 / phi}$	${ displaystyle { tfrac {1} {10}} pi ^ {2} - ln ^ {2} phi}$
${ displaystyle 2}$	${ displaystyle { tfrac {1} {4}} pi ^ {2} - pi i ln 2}$	${ displaystyle phi}$	${ displaystyle { tfrac {11} {15}} pi ^ {2} + { tfrac {1} {2}} ln ^ {2} (- 1 / phi)}$
		${ displaystyle phi ^ {2}}$	${ displaystyle - { tfrac {11} {15}} pi ^ {2} - ln ^ {2} (- phi)}$

Tady ${ displaystyle phi = { tfrac {1} {2}} ({ sqrt {5}} + 1)}$ označuje Zlatý řez.

Polylogaritmické žebříky

Leonard Lewin objevil pozoruhodné a široké zobecnění řady klasických vztahů na polylogaritmu pro speciální hodnoty. Nyní se jim říká polylogaritmické žebříky. Definovat ${ displaystyle rho = { tfrac {1} {2}} ({ sqrt {5}} - 1)}$ jako převrácená částka z Zlatý řez. Pak jsou dva jednoduché příklady žebříků dilogaritmu

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} ( rho ^ {6}) = 4 operatorname {Li} _ {2} ( rho ^ {3}) + 3 operatorname {Li} _ {2} ( rho ^ {2}) - 6 operatorname {Li} _ {2} ( rho) + { tfrac {7} {30}} pi ^ {2}}$

dána Coxeter  (1935 ) a

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} ( rho) = { tfrac {1} {10}} pi ^ {2} - ln ^ {2} rho}$

dána Landen. Polylogaritmické žebříky se vyskytují přirozeně a hluboko uvnitř K-teorie a algebraická geometrie. Polylogaritmické žebříky poskytují základ pro rychlé výpočty různých matematických konstant pomocí Algoritmus BBP (Bailey, Borwein & Plouffe 1997 ).

Monodromy

Polylogaritmus má dva odbočné body; jeden v z = 1 a další v z = 0. Druhý bod větvení v z = 0, není viditelný na hlavním listu polylogaritmu; stane se viditelným pouze v případě, že funkce je analyticky pokračovalo na jeho další listy. The monodromy skupina pro polylogaritmus se skládá z homotopy classes of loops that wind around the two branch points. Denoting these two by m₀ a m₁, the monodromy group has the skupinová prezentace

${displaystyle langle m_{0},m_{1}vert w=m_{0}m_{1}m_{0}^{-1}m_{1}^{-1},wm_{1}=m_{1}w angle .}$

For the special case of the dilogarithm, one also has that wm₀ = m₀w, and the monodromy group becomes the Skupina Heisenberg (identifying m₀, m₁ a w s X, y, z) (Vepstas 2008 ).

Reference

• Abel, N.H. (1881) [1826]. "Všimněte si písma ${displaystyle scriptstyle psi x=x+{frac {x^{2}}{2^{2}}}+{frac {x^{3}}{3^{2}}}+cdots +{frac {x^{n}}{n^{2}}}+cdots }$" (PDF). In Sylow, L.; Lie, S. (eds.). Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II (francouzsky). Christiania [Oslo]: Grøndahl & Søn. 189–193. (this 1826 manuscript was only published posthumously.)
• Abramowitz, M.; Stegun, I.A. (1972). Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. New York: Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0.
• Apostol, T.M. (2010), "Polylogarithm", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Bailey, D.H.; Borwein, P.B.; Plouffe, S. (Duben 1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" (PDF). Matematika výpočtu. 66 (218): 903–913. Bibcode:1997MaCom..66..903B. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
• Bailey, D.H.; Broadhurst, D.J. (June 20, 1999). "A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder". arXiv:math.CA/9906134.
• Berndt, B.C. (1994). Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag. pp. 323–326. ISBN  978-0-387-94109-7.
• Boersma, J.; Dempsey, J.P. (1992). "On the evaluation of Legendre's chi-function". Matematika výpočtu. 59 (199): 157–163. doi:10.2307/2152987. JSTOR  2152987.
• Borwein, D.; Borwein, J.M.; Girgensohn, R. (1995). "Explicit evaluation of Euler sums" (PDF). Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. Řada 2. 38 (2): 277–294. doi:10.1017/S0013091500019088.
• Borwein, J.M .; Bradley, D.M.; Broadhurst, D.J .; Lisonek, P. (2001). "Special Values of Multiple Polylogarithms". Transakce Americké matematické společnosti. 353 (3): 907–941. arXiv:math/9910045. doi:10.1090/S0002-9947-00-02616-7.
• Broadhurst, D.J. (April 21, 1996). "On the enumeration of irreducible k-fold Euler sums and their roles in knot theory and field theory". arXiv:hep-th/9604128.
• Clunie, J. (1954). "On Bose-Einstein functions". Sborník Fyzikální společnosti. Řada A. 67 (7): 632–636. Bibcode:1954PPSA...67..632C. doi:10.1088/0370-1298/67/7/308.
• Cohen, H.; Lewin, L.; Zagier, D. (1992). "A Sixteenth-Order Polylogarithm Ladder" (PS). Experimentální matematika. 1 (1): 25–34.
• Coxeter, H.S.M. (1935). "The functions of Schläfli and Lobatschefsky". Quarterly Journal of Mathematics (Oxford). 6 (1): 13–29. Bibcode:1935QJMat...6...13C. doi:10.1093/qmath/os-6.1.13. JFM  61.0395.02.
• Cvijovic, D.; Klinowski, J. (1997). "Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (9): 2543–2550. doi:10.1090/S0002-9939-97-04102-6.
• Cvijovic, D. (2007). "New integral representations of the polylogarithm function". Sborník královské společnosti A. 463 (2080): 897–905. arXiv:0911.4452. Bibcode:2007RSPSA.463..897C. doi:10.1098/rspa.2006.1794.
• Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, F.G. (1981). Vyšší transcendentní funkce, sv. 1 (PDF). Malabar, FL: R.E. Krieger Publishing. ISBN  978-0-89874-206-0. (this is a reprint of the McGraw–Hill original of 1953.)
• Fornberg, B.; Kölbig, K.S. (1975). "Complex zeros of the Jonquière or polylogarithm function". Matematika výpočtu. 29 (130): 582–599. doi:10.2307/2005579. JSTOR  2005579.
• GNU Scientific Library (2010). "Referenční příručka". Citováno 2010-06-13.
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Jurij Veniaminovič; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. "9.553.". In Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabulka integrálů, sérií a produktů. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. p. 1050. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
• Guillera, J.; Sondow, J. (2008). „Dvojité integrály a nekonečné produkty pro některé klasické konstanty prostřednictvím analytických pokračování Lerchova transcendentu“. The Ramanujan Journal. 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT / 0506319. doi:10.1007 / s11139-007-9102-0.
• Hain, R.M. (March 25, 1992). "Classical polylogarithms". arXiv:alg-geom/9202022.
• Jahnke, E.; Emde, F. (1945). Tables of Functions with Formulae and Curves (4. vydání). New York: Dover Publications.
• Jonquière, A. (1889). "Note sur la série ${displaystyle scriptstyle sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n^{s}}}}$" (PDF). Bulletin de la Société Mathématique de France (francouzsky). 17: 142–152. doi:10.24033/bsmf.392. JFM  21.0246.02.
• Kölbig, K.S.; Mignaco, J.A.; Remiddi, E. (1970). "On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation". BIT. 10: 38–74. doi:10.1007/BF01940890.
• Kirillov, A.N. (1995). "Dilogarithm identities". Průběh doplňku teoretické fyziky. 118: 61–142. arXiv:hep-th/9408113. Bibcode:1995PThPS.118...61K. doi:10.1143/PTPS.118.61.
• Lewin, L. (1958). Dilogarithms and Associated Functions. Londýn: Macdonald. PAN  0105524.
• Lewin, L. (1981). Polylogaritmy a přidružené funkce. New York: Severní Holandsko. ISBN  978-0-444-00550-2.
• Lewin, L., ed. (1991). Strukturální vlastnosti polylogaritmů. Matematické průzkumy a monografie. 37. Providence, RI: Amer. Matematika. Soc. ISBN  978-0-8218-1634-9.
• Markman, B. (1965). "The Riemann Zeta Function". BIT. 5: 138–141.
• Maximon, L.C. (2003). "The Dilogarithm Function for Complex Argument". Sborník královské společnosti A. 459 (2039): 2807–2819. Bibcode:2003RSPSA.459.2807M. doi:10.1098/rspa.2003.1156.
• McDougall, J.; Stoner, E.C. (1938). "The computation of Fermi-Dirac functions". Filozofické transakce královské společnosti A. 237 (773): 67–104. Bibcode:1938RSPTA.237...67M. doi:10.1098/rsta.1938.0004. JFM  64.1500.04.
• Nielsen, N. (1909). "Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen. Eine Monographie". Nova Acta Leopoldina (v němčině). Halle – Leipzig, Germany: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher. XC (3): 121–212. JFM  40.0478.01.
• Prudnikov, A.P.; Marichev, O.I.; Brychkov, Yu.A. (1990). Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach. ISBN  978-2-88124-682-1. (see § 1.2, "The generalized zeta function, Bernoulli polynomials, Euler polynomials, and polylogarithms", p. 23.)
• Robinson, J.E. (1951). "Note on the Bose-Einstein integral functions". Fyzický přehled. Řada 2. 83 (3): 678–679. Bibcode:1951PhRv...83..678R. doi:10.1103/PhysRev.83.678.
• Rogers, L.J. (1907). "On function sum theorems connected with the series ${displaystyle scriptstyle sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n^{2}}}}$". Proceedings of the London Mathematical Society (2). 4 (1): 169–189. doi:10.1112/plms/s2-4.1.169. JFM  37.0428.03.
• Schrödinger, E. (1952). Statistická termodynamika (2. vyd.). Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press.
• Truesdell, C. (1945). "On a function which occurs in the theory of the structure of polymers". Annals of Mathematics. Druhá série. 46 (1): 144–157. doi:10.2307/1969153. JSTOR  1969153.
• Vepstas, L. (2008). "Efektivní algoritmus pro urychlení konvergence oscilačních řad, užitečný pro výpočet funkcí polylogaritmu a Hurwitz zeta". Numerické algoritmy. 47 (3): 211–252. arXiv:math.CA/0702243. Bibcode:2008NuAlg..47..211V. doi:10.1007 / s11075-007-9153-8.
• Whittaker, E.T.; Watson, G.N. (1927). Kurz moderní analýzy (4. vydání). Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. (this edition has been reprinted many times, a 1996 paperback has ISBN  0-521-09189-6.)
• Wirtinger, W. (1905). "Über eine besondere Dirichletsche Reihe". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině). 1905 (129): 214–219. doi:10.1515/crll.1905.129.214. JFM  37.0434.01.
• Wood, D.C. (June 1992). "The Computation of Polylogarithms. Technical Report 15-92*" (PS). Canterbury, UK: University of Kent Computing Laboratory. Citováno 2005-11-01.
• Zagier, D. (1989). "The dilogarithm function in geometry and number theory". Number Theory and Related Topics: papers presented at the Ramanujan Colloquium, Bombay, 1988. Studies in Mathematics. 12. Bombay: Tata Institute of Fundamental Research and Oxford University Press. pp. 231–249. ISBN  0-19-562367-3. (also appeared as "The remarkable dilogarithm" in Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), pp. 131–145, and as Chapter I of (Zagier 2007 ).)
• Zagier, D. (2007). "The Dilogarithm Function" (PDF). In Cartier, P.E.; et al. (eds.). Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II – On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization. Berlín: Springer-Verlag. pp. 3–65. ISBN  978-3-540-30307-7.