Polytop A4 - A4 polytope

Ortografické projekce
A₄ Coxeterovo letadlo

5článková

Ve 4-dimenzionálním geometrie, je jich tam 9 jednotné polytopy s₄ symetrie. Existuje jedna vlastní dvojitá pravidelná forma, 5článková s 5 vrcholy.

Symetrie

A₄ symetrie, nebo [3,3,3] je řád 120, se čtvercovou notací Conway +¹/₆₀[I ×Já].2₁. Jeho abstraktní struktura je symetrická skupina S₅. Tři formy se symetrickými Coxeterovými diagramy mají rozšířenou symetrii, [[3,3,3]] řádu 240 a Conwayova notace ±¹/₆₀[I ×Já] .2 a abstraktní struktura S₅× C.₂.

Vizualizace

Každý lze vizualizovat jako symetrický pravopisné projekce v Coxeterovy roviny A₄ Skupina Coxeter a další podskupiny. Tři Coxeterovo letadlo 2D projekce jsou uvedeny pro A₄, A₃, A₂ Skupiny coxeterů, ukazující pořadí symetrie 5,4,3, a zdvojnásobil na sudém A_k objednávky na 10,4,6 pro symetrické Coxeterovy diagramy.

3D obrázek je nakreslen jako Schlegelův diagram projekce, vycentrované na buňku v poz. 3, s konzistentní orientací, a 5 buněk v poloze 0 je zobrazeno plných.

Jednotné polytopy s A₄ symetrie

#	název	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Coxeterovo letadlo grafy			Schlegelův diagram		Síť
			A4 [5]	A3 [4]	A2 [3]	Čtyřstěn na střed	Duální čtyřstěn na střed
1	5článková pentachoron	{3,3,3}
2	rektifikovaný 5článkový	r {3,3,3}
3	zkrácená 5článková	t {3,3,3}
4	cantellated 5-cell	rr {3,3,3}
7	cantitruncated 5-cell	tr {3,3,3}
8	runcitruncated 5-cell	t0,1,3{3,3,3}

Jednotné polytopy s prodlouženým A₄ symetrie

#	název	Coxeterův diagram a Schläfli symboly	Coxeterovo letadlo grafy			Schlegelův diagram	Síť
			A4 [[5]] = [10]	A3 [4]	A2 [[3]] = [6]	Čtyřstěn na střed
5	*runcinated 5-cell	t0,3{3,3,3}
6	*bitruncated 5 buněk dekachoron	2t {3,3,3}
9	*omnitruncated 5-cell	t0,1,2,3{3,3,3}

Souřadnice

Souřadnice jednotných 4-polytopů s pentachorickou symetrií lze generovat jako permutace jednoduchých celých čísel v 5 prostoru, vše v hyperplanech s normálním vektorem (1,1,1,1,1). A₄ Skupina coxeterů je palindromický, takže opakované polytopy existují ve dvojicích duálních konfigurací. K dispozici jsou 3 symetrické polohy a 6 párů tvořících celkem 15 permutací jednoho nebo více kruhů. Všech 15 je zde uvedeno v pořadí podle binární aritmetika pro jasnost generování souřadnic z prstenců v každém odpovídajícím Coxeterově diagramu.

Počet vrcholů lze zde odvodit z obměny počtu souřadnic, vrcholících 5 faktoriál pro všesměrový formulář s 5 jedinečnými hodnotami souřadnic.

5článkové zkrácení v 5prostoru:

#	Základní bod	název (symetrický název)	Coxeterův diagram	Vrcholy
1	(0, 0, 0, 0, 1) (1, 1, 1, 1, 0)	5článková Trirectified 5-cell		5	5!/(4!)
2	(0, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 0, 0)	Rektifikovaná 5článková Usměrněná 5 buněk		10	5!/(3!2!)
3	(0, 0, 0, 1, 2) (2, 2, 2, 1, 0)	Zkrácená 5článková Tritruncated 5-buněk		20	5!/(3!)
5	(0, 1, 1, 1, 2)	Runcinated 5-cell		20	5!/(3!)
4	(0, 0, 1, 1, 2) (2, 2, 1, 1, 0)	Kanylovaný 5 buněk Bicantellated 5-cell		30	5!/(2!2!)
6	(0, 0, 1, 2, 2)	Bitrunkováno 5 buněk		30	5!/(2!2!)
7	(0, 0, 1, 2, 3) (3, 3, 2, 1, 0)	Cantitruncated 5 buněk Bicantitruncated 5 buněk		60	5!/2!
8	(0, 1, 1, 2, 3) (3, 2, 2, 1, 0)	Runcitruncated 5-cell Runcicantellated 5-cell		60	5!/2!
9	(0, 1, 2, 3, 4)	Omnitruncated 5-cell		120	5!

Reference

• J.H. Conway a M.J.T. Chlap: Čtyřrozměrné archimédovské polytopy„Sborník kolokvia o konvexitě v Kodani, strana 38 a 39, 1965
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Symetrie věcí 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Kapitola 26)
• H.S.M. Coxeter:
  • H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. vydání, Dover New York, 1973
• Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 Wiley :: Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter
  • (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966

externí odkazy

• Klitzing, Richarde. „4D uniformní 4-polytopes“.
• Jednotné konvexní polytopy ve čtyřech rozměrech:, Marco Möller (v němčině)
  • Möller, Marco (2004). Vierdimensionale Archimedische Polytope (PDF) (Doktorská práce) (v němčině). Univerzita v Hamburku.
• Uniform Polytopes in Four Dimensions George Olshevsky.
  • Konvexní uniformní polychora založená na pentachoronu George Olshevsky.