Zkrácená 5článková - Truncated 5-cell
![]() 5článková ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Zkrácená 5článková ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Bitrunkováno 5 buněk ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Schlegel diagramy se středem na [3,3] (buňky na protější straně [3,3]) |
v geometrie, a zkrácená 5článková je jednotný 4-polytop (4-rozměrná uniforma polytop ) vytvořený jako zkrácení pravidelné 5článková.
Existují dva stupně zkrácení, včetně a bitruncation.
Zkrácená 5článková
Zkrácená 5článková | ||
---|---|---|
![]() Schlegelův diagram (čtyřstěn buňky viditelné) | ||
Typ | Jednotný 4-polytop | |
Schläfliho symbol | t0,1{3,3,3} t {3,3,3} | |
Coxeterův diagram | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Buňky | 10 | 5 (3.3.3) ![]() 5 (3.6.6) ![]() |
Tváře | 30 | 20 {3} 10 {6} |
Hrany | 40 | |
Vrcholy | 20 | |
Vrcholová postava | ![]() Rovnostranně trojúhelníková pyramida | |
Skupina symetrie | A4, [3,3,3], objednávka 120 | |
Vlastnosti | konvexní, isogonal | |
Jednotný index | 2 3 4 |
The zkrácená 5článková, zkrácený pentachoron nebo zkrácený 4-simplex je omezeno 10 buňky: 5 čtyřstěn a 5 zkrácený čtyřstěn. Každý vrchol je obklopen 3 zkrácenými čtyřstěnmi a jedním čtyřstěnem; the vrchol obrázek je protáhlý čtyřstěn.
Konstrukce
Zkrácená 5článková jednotka může být konstruována z 5článková podle zkrácení jeho vrcholy na 1/3 délky hrany. Tím se transformuje 5 čtyřstěnných buněk na zkrácené čtyřstěny a zavádí se 5 nových čtyřstěnných buněk umístěných poblíž původních vrcholů.
Struktura
Zkrácené čtyřstěny jsou navzájem spojeny na svých šestihranných plochách a na čtyřstěnech na svých trojúhelníkových plochách.
Viděný v konfigurační matice, jsou zobrazeny všechny počty výskytů mezi prvky. Úhlopříčka f-vektor čísla jsou odvozena z Wythoffova konstrukce, rozdělením celé skupinové objednávky podskupinové objednávky odstraněním jednoho zrcadla po druhém.[1]
A4 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | k-tvář | Fk | F0 | F1 | F2 | F3 | k-postava | Poznámky | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
A2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ( ) | F0 | 20 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | {3} v () | A4/A2 = 5!/3! = 20 |
A2A1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | { } | F1 | 2 | 10 | * | 3 | 0 | 3 | 0 | {3} | A4/A2A1 = 5!/3!/2 = 10 |
A1A1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2 | * | 30 | 1 | 2 | 2 | 1 | {} v () | A4/A1A1 = 5!/2/2 = 30 | ||
A2A1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | t {3} | F2 | 6 | 3 | 3 | 10 | * | 2 | 0 | { } | A4/A2A1 = 5!/3!/2 = 10 |
A2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3} | 3 | 0 | 3 | * | 20 | 1 | 1 | A4/A2 = 5!/3! = 20 | ||
A3 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | t {3,3} | F3 | 12 | 6 | 12 | 4 | 4 | 5 | * | ( ) | A4/A3 = 5!/4! = 5 |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {3,3} | 4 | 0 | 6 | 0 | 4 | * | 5 |
Projekce
Čtyřstěn první paralelní projekce zkráceného 5 buněk do trojrozměrného prostoru má následující strukturu:
- Obálka projekce je a zkrácený čtyřstěn.
- Jedna ze zkrácených čtyřbokých buněk vyčnívá na celou obálku.
- Jedna z tetraedrických buněk vyčnívá na čtyřstěn ležící uprostřed obálky.
- Čtyři zploštělé čtyřstěny jsou spojeny s trojúhelníkovými plochami obálky a jsou spojeny s centrálním čtyřstěnem pomocí 4 radiálních hran. Toto jsou obrazy zbývajících 4 čtyřbunkových buněk.
- Mezi centrálním čtyřstěnem a 4 hexagonálními plochami obálky jsou 4 nepravidelné zkrácené čtyřstěnné objemy, které jsou obrazy 4 zbývajících zkrácených čtyřstěnných buněk.
Toto rozložení buněk v projekci je analogické s rozložením ploch v první projekci zkráceného čtyřstěnu do 2-dimenzionálního prostoru. Zkrácená 5-buňka je 4-dimenzionální analog zkráceného čtyřstěnu.
snímky
Ak Coxeterovo letadlo | A4 | A3 | A2 |
---|---|---|---|
Graf | ![]() | ![]() | ![]() |
Dihedrální symetrie | [5] | [4] | [3] |
stereografická projekce
(zaměřeno na zkrácený čtyřstěn )
Alternativní jména
- Zkrácený pentatop
- Zkráceno 4-simplexní
- Zkrácený pentachoron (Zkratka: tip) (Jonathan Bowers)
Souřadnice
The Kartézské souřadnice pro vrcholy zkrácené 5 buňky se středem počátku, které mají délku hrany 2, jsou:
Jednodušší, vrcholy zkrácená 5článková lze postavit na a nadrovina v 5-prostoru jako permutace (0,0,0,1,2) nebo z (0,1,2,2,2). Tyto souřadnice pocházejí z kladných hodnot orthant aspekty zkrácený pentakros a bitruncated penteract resp.
Související polytopy
Konvexní trup komolého 5článku a jeho duální (za předpokladu, že jsou shodné) je nejednotný polychoron složený ze 60 buněk: 10 čtyřstěn, 20 oktaedra (jako trojúhelníkové antiprismy), 30 čtyřstěn (jako tetragonální disfenoidy) a 40 vrcholů. Jeho vrchol je hexakis trojúhelníková kopule.
Bitrunkováno 5 buněk
Bitrunkováno 5 buněk | ||
---|---|---|
![]() Schlegelův diagram se skrytými alternativními buňkami. | ||
Typ | Jednotný 4-polytop | |
Schläfliho symbol | t1,2{3,3,3} 2t {3,3,3} | |
Coxeterův diagram | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() nebo ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Buňky | 10 (3.6.6 ) ![]() | |
Tváře | 40 | 20 {3} 20 {6} |
Hrany | 60 | |
Vrcholy | 30 | |
Vrcholová postava | ![]() ({} v {} ) | |
duální polytop | Disphenoidal 30-cell | |
Skupina symetrie | Aut (A4), [[3,3,3]], objednávka 240 | |
Vlastnosti | konvexní, isogonal, isotoxální, izochorický | |
Jednotný index | 5 6 7 |
The bitruncated 5článková (také nazývaný a bitrunkovaný pentachoron, dekachoron a 10 buněk) je 4-dimenzionální polytop nebo 4-mnohostěn, složený z 10 buňky ve tvaru zkrácený čtyřstěn.
Topologicky existuje pod jeho nejvyšší symetrií [[3,3,3]] pouze jeden geometrický tvar, který obsahuje 10 uniformních zkrácených čtyřstěnů. Šestiúhelníky jsou vždy pravidelné kvůli inverzní symetrii polychoronů, z nichž je pravidelný šestiúhelník jediným případem mezi ditrigony (izogonální šestiúhelník se 3násobnou symetrií).
E. L. Elte identifikoval v roce 1912 jako semiregulární polytop.
Každá šestihranná plocha zkráceného čtyřstěnu je spojena v doplňkové orientaci se sousedním zkráceným čtyřstěnem. Každá hrana je sdílena dvěma šestiúhelníky a jedním trojúhelníkem. Každý vrchol je obklopen 4 zkrácenými čtyřboká buňkami v a tetragonální disphenoid vrchol obrázek.
Bitruncated 5-buněk je průsečík ze dvou pentachora v duální konfiguraci. Jako takový je také křižovatkou a penteract s hyperplánem, který půlí dlouhou úhlopříčku penteractu kolmo. V tomto smyslu se jedná o 4-dimenzionální analog pravidelný osmistěn (průsečík pravidelných čtyřstěnů ve dvojí konfiguraci / tesseract půlení na dlouhé úhlopříčce) a pravidelný šestiúhelník (rovnostranné trojúhelníky / krychle). 5-dimenzionální analog je birectified 5-simplex a -dimenzionální analog je polytop, jehož Coxeter – Dynkinův diagram je lineární s kroužky na prostředním jednom nebo dvou uzlech.
Bitrunkovaná 5článek je jednou ze dvou nepravidelných jednotné 4-polytopes což jsou buněčně tranzitivní. Druhou je bitruncated 24 buněk, který se skládá ze 48 zkrácených kostek.
Symetrie
Tento 4-polytop má vyšší prodlouženou pentachorickou symetrii (2 × A4, [[3,3,3]]), zdvojnásobil na pořadí 240, protože prvek odpovídající kterémukoli prvku podkladové 5článku lze vyměnit za jeden z prvků odpovídajících prvku jeho duální.
Alternativní názvy
- Bitruncated 5-cell (Norman W. Johnson )
- 10 buněk jako a buněčně tranzitivní 4-mnohostěn
- Bitrunkovaný pentachoron
- Bitrunkovaný pentatop
- Bitruncated 4-simplexní
- Decachoron (Zkratka: deca) (Jonathan Bowers)
snímky
Ak Coxeterovo letadlo | A4 | A3 | A2 |
---|---|---|---|
Graf | ![]() | ![]() | ![]() |
Dihedrální symetrie | [[5]] = [10] | [4] | [[3]] = [6] |
![]() stereografická projekce sférického 4-polytopu (se středem na šestiúhelníku) | ![]() Síť (mnohostěn) |
Souřadnice
The Kartézské souřadnice bitrunkovaných 5 buněk se středem původu, které mají délku hrany 2, jsou:
Souřadnice | |
---|---|
Jednodušeji lze vrcholy bitrunkované 5-buňky vytvořit na a nadrovina v 5-prostoru jako permutace (0,0,1,2,2). Ty představují pozitivní orthant aspekty bitruncated pentacross. Další 5prostorová konstrukce zaměřená na počátek je všech 20 permutací (-1, -1,0,1,1).
Související polytopy
The bitruncated 5 buněk lze vidět jako průnik dvou pravidelných 5 buněk ve dvou pozicích. =
∩
.
Ztlumit. | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
název Coxeter | Šestiúhelník![]() ![]() ![]() ![]() t {3} = {6} | Octahedron![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() r {3,3} = {31,1} = {3,4} | Decachoron![]() ![]() ![]() 2t {33} | Dodecateron![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2r {34} = {32,2} | Tetradecapeton![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3t {35} | Hexadekaexon![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3r {36} = {33,3} | Octadecazetton![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4t {37} |
snímky | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
Vrcholová postava | () v () | ![]() { }×{ } | ![]() {} v {} | ![]() {3}×{3} | ![]() {3} v {3} | {3,3} x {3,3} | ![]() {3,3} v {3,3} |
Fazety | {3} ![]() | t {3,3} ![]() | r {3,3,3} ![]() | 2t {3,3,3,3} ![]() | 2r {3,3,3,3,3} ![]() | 3t {3,3,3,3,3,3} ![]() | |
Tak jako protínající se dvojí simplexes | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Související pravidelný zkosený mnohostěn

The pravidelný zkosený mnohostěn, {6,4 | 3}, existuje ve 4-prostoru se 4 hexagonálními kolem každého vrcholu, v cikcakující neplanární figuře vrcholu. Tyto šestihranné tváře lze vidět na bitrunited 5-buňky, pomocí všech 60 hran a 30 vrcholů. 20 trojúhelníkových ploch bitrunované 5-buňky lze považovat za odstraněných. Dvojitý pravidelný zkosený mnohostěn, {4,6 | 3}, je podobně příbuzný čtvercovým plochám runcinated 5-cell.
Disphenoidal 30-cell
Disphenoidal 30-cell | ||
---|---|---|
Typ | perfektní[2] polychoron | |
Symbol | F1,2A4[2] | |
Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Buňky | 30 shodných tetragonální disfenoidy | |
Tváře | 60 shodných rovnoramenný (2 krátké hrany) | |
Hrany | 40 | 20 délky 20 délky |
Vrcholy | 10 | |
Vrcholová postava | ![]() (Triakis čtyřstěn ) | |
Dvojí | Bitrunkováno 5 buněk | |
Skupina coxeterů | Aut (A4), [[3,3,3]], objednávka 240 | |
Orbitový vektor | (1, 2, 1, 1) | |
Vlastnosti | konvexní, izochorický |
The disfenoidní 30 buněk je dvojí z bitruncated 5 buněk. Je to 4-dimenzionální polytop (nebo polychoron ) odvozený z 5článková. Je to konvexní trup dvou 5 buněk v opačných směrech.
Jelikož je duál jednotného polychoronu, je buněčně tranzitivní, skládající se z 30 shodných tetragonální disfenoidy. Kromě toho je vrchol-tranzitivní ve skupině Aut (A4).
Související polytopy
Tyto polytopy jsou ze sady 9 jednotný 4-polytop vyrobeno z [3,3,3] Skupina coxeterů.
název | 5článková | zkrácená 5článková | rektifikovaný 5článkový | cantellated 5-cell | bitruncated 5 buněk | cantitruncated 5-cell | runcinated 5-cell | runcitruncated 5-cell | omnitruncated 5-cell |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli symbol | {3,3,3} 3r {3,3,3} | t {3,3,3} 2t {3,3,3} | r {3,3,3} 2r {3,3,3} | rr {3,3,3} r2r {3,3,3} | 2t {3,3,3} | tr {3,3,3} t2r {3,3,3} | t0,3{3,3,3} | t0,1,3{3,3,3} t0,2,3{3,3,3} | t0,1,2,3{3,3,3} |
Coxeter diagram | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Schlegel diagram | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
A4 Coxeterovo letadlo Graf | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
A3 Coxeterovo letadlo Graf | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
A2 Coxeterovo letadlo Graf | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Reference
- H.S.M. Coxeter:
- H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. vydání, Dover New York, 1973
- Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- Coxeter, Krása geometrie: Dvanáct esejůPublikace Dover, 1999, ISBN 0-486-40919-8 p. 88 (Kapitola 5: Pravidelná šikmá mnohostěna ve třech a čtyřech rozměrech a jejich topologické analogy, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, sv. 43, 1937.)
- Coxeter, H. S. M. Pravidelná šikmá mnohostěna ve třech a čtyřech rozměrech. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
- Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. (1966)
- 1. Konvexní uniformní polychora založená na pentachoronu - Model 3 George Olshevsky.
- Klitzing, Richarde. „4D uniformní polytopes (polychora)“. x3x3o3o - hrot, o3x3x3o - deka
- Charakteristický
- ^ Klitzing, Richarde. „x3x4o3o - tip“.
- ^ A b Na Perfect 4-Polytopes Gabor Gévay Příspěvky k algebře a geometrii, svazek 43 (2002), č. 1, 243-259] Tabulka 2, strana 252