Rektifikovaná 5článková - Rectified 5-cell

Rektifikovaná 5článková
Schlegelův diagram se zobrazenými 5 čtyřstěnnými buňkami.
Typ	Jednotný 4-polytop
Schläfliho symbol	t₁{3,3,3} nebo r {3,3,3} {3^2,1} = ${ displaystyle left {{ begin {pole} {l} 3 3,3 end {pole}} doprava }}$
Coxeter-Dynkinův diagram
Buňky	10	5 {3,3} 5 3.3.3.3
Tváře	30 {3}
Hrany	30
Vrcholy	10
Vrcholová postava	Trojhranný hranol
Skupina symetrie	A₄, [3,3,3], objednávka 120
Petrie Polygon	Pentagon
Vlastnosti	konvexní, isogonal, isotoxální
Jednotný index	1 2 3

v čtyřrozměrný geometrie, opraveno 5článková je jednotný 4-polytop složený z 5 pravidelných čtyřboků a 5 pravidelných osmistěn buňky. Každá hrana má jeden čtyřstěn a dva osmistěny. Každý vrchol má dva čtyřstěny a tři osmistěny. Celkově má 30 trojúhelníkových ploch, 30 hran a 10 vrcholů. Každý vrchol je obklopen 3 oktaedry a 2 čtyřstěny; the vrchol obrázek je trojúhelníkový hranol.

Topologicky existuje pod jeho nejvyšší symetrií [3,3,3] pouze jeden geometrický tvar, který obsahuje 5 pravidelných čtyřstěnů a 5 usměrněných čtyřstěnů (což je geometricky stejné jako u pravidelného osmistěnu). Je také topologicky identický se segmentochoronem čtyřstěnu a osmistěnu.^{[je zapotřebí objasnění ]}

The vrchol obrázek z rektifikovaný 5článkový je uniforma trojúhelníkový hranol, tvořený třemi oktaedra po stranách a dvě čtyřstěn na opačných koncích.^[1]

Navzdory tomu, že má stejný počet vrcholů jako buňky (10) a stejný počet hran jako plochy (30), usměrněná 5článka není sebe-duální, protože vrcholná postava (jednotný trojúhelníkový hranol) není duálem polychoronovy buňky.

Wythoffova konstrukce

Viděný v konfigurační matice, jsou zobrazeny všechny počty výskytů mezi prvky. Úhlopříčka f-vektor čísla jsou odvozena z Wythoffova konstrukce, rozdělením celé skupinové objednávky podskupinové objednávky odstraněním jednoho zrcadla po druhém.^[2]

A₄	k-tvář	F_k	F₀	F₁	F₂		F₃		k-postava	Poznámky
A₂A₁	( )	F₀	10	6	3	6	3	2	{3} x {}	A₄/A₂A₁ = 5!/3!/2 = 10
A₁A₁	{ }	F₁	2	30	1	2	2	1	{} v ()	A₄/A₁A₁ = 5!/2/2 = 30
A₂A₁	{3}	F₂	3	3	10	*	2	0	{ }	A₄/A₂A₁ = 5!/3!/2 = 10
A₂	{3}	F₂	3	3	*	20	1	1	{ }	A₄/A₂ = 5!/3! = 20
A₃	r {3,3}	F₃	6	12	4	4	5	*	( )	A₄/A₃ = 5!/4! = 5
A₃	{3,3}	F₃	4	6	0	4	*	5	( )	A₄/A₃ = 5!/4! = 5

Struktura

Společně s simplexní a 24článková, tento tvar a jeho dvojí (mnohostěn s deseti vrcholy a deseti trojúhelníkový bipyramid fazety) byl jedním z prvních známých 2-jednoduchých 2-jednoduchých 4-polytopů. To znamená, že všechny jeho dvourozměrné plochy a všechny dvourozměrné plochy jeho duální jsou trojúhelníky. V roce 1997 našel Tom Braden další dvojici příkladů slepením dvou rektifikovaných 5 buněk dohromady; od té doby bylo vytvořeno nekonečně mnoho 2 jednoduchých 2 jednoduchých polytopů.^[3]^[4]

Semiregular polytop

Je to jeden ze tří semiregular 4-polytop vyrobené ze dvou nebo více buněk, které jsou Platonické pevné látky, objeveno uživatelem Thorold Gosset ve svém příspěvku z roku 1900. Nazval to a tetroktaedrický za to, že jsou vyrobeny z čtyřstěn a osmistěn buňky.^[5]

E. L. Elte identifikoval v roce 1912 jako semiregulární polytop a označil jej jako tC₅.

Alternativní jména

Tetroctahedric (Thorold Gosset)
Dispentachoron
Rektifikovaná 5článková (Norman W. Johnson )
Opraveno 4-simplexní
Plně zkrácený 4-simplex
Rektifikovaný pentachoron (Zkratka: rap) (Jonathan Bowers)
Ambopentachoron (Neil Sloane & John Horton Conway )
(5,2)-hypersimplex (konvexní trup pětidimenzionálních (0,1) vektorů s přesně dvěma)

snímky

pravopisné projekce
A_k Coxeterovo letadlo	A₄	A₃	A₂
Graf
Dihedrální symetrie	[5]	[4]	[3]

stereografická projekce (zaměřeno na osmistěn )	Síť (mnohostěn)
	Čtyřstěn -centrovaná perspektivní projekce do 3D prostoru, s nejbližším čtyřstěnem k 4D pohledu vykreslenému červeně a 4 okolními oktaedry zeleně. Buňky ležící na opačné straně polytopu byly z důvodu jasnosti vyřazeny (i když je lze rozeznat od okrajových obrysů). Rotace je pouze 3D projekčního obrazu, aby se zobrazila jeho struktura, nikoli rotace ve 4D prostoru.

Souřadnice

The Kartézské souřadnice vrcholů usměrněného 5článku se středem počátku s délkou hrany 2 jsou:

Souřadnice
${ displaystyle left ({ sqrt { frac {2} {5}}}, { frac {2} { sqrt {6}}}, { frac {2} { sqrt {3} }}, 0 vpravo)}$ ${ displaystyle left ({ sqrt { frac {2} {5}}}, { frac {2} { sqrt {6}}}, { frac {-1} { sqrt {3 }}}, pm 1 vpravo)}$ ${ displaystyle left ({ sqrt { frac {2} {5}}}, { frac {-2} { sqrt {6}}}, { frac {1} { sqrt {3 }}}, pm 1 vpravo)}$ ${ displaystyle left ({ sqrt { frac {2} {5}}}, { frac {-2} { sqrt {6}}}, { frac {-2} { sqrt { 3}}}, 0 vpravo)}$	${ displaystyle left ({ frac {-3} { sqrt {10}}}, { frac {1} { sqrt {6}}}, { frac {1} { sqrt {3 }}}, pm 1 vpravo)}$ ${ displaystyle left ({ frac {-3} { sqrt {10}}}, { frac {1} { sqrt {6}}}, { frac {-2} { sqrt { 3}}}, 0 vpravo)}$ ${ displaystyle left ({ frac {-3} { sqrt {10}}}, - { sqrt { frac {3} {2}}}, 0, 0 right)}$

Jednodušší, vrcholy rektifikovaný 5článkový lze umístit na a nadrovina v 5-prostoru jako permutace (0,0,0,1,1) nebo (0,0,1,1,1). Tyto konstrukce lze považovat za pozitivní orthant aspekty usměrněný pentakros nebo birectified penteract resp.

Související polytopy

Konvexní trup rektifikovaného 5článku a jeho duální (za předpokladu, že jsou shodné) je nejednotný polychoron složený z 30 buněk: 10 čtyřstěn, 20 oktaedra (jako trojúhelníkové antiprismy) a 20 vrcholů. Jeho vrcholná postava je a trojúhelníkové bifrustum.

Související 4-polytopes

Tento mnohostěn je vrchol obrázek z 5-demicube a hrana postava uniformy 2₂₁ polytop.

Je to také jeden z 9 Jednotné 4-polytopy vyrobeno z [3,3,3] Skupina coxeterů.

název	5článková	zkrácená 5článková	rektifikovaný 5článkový	cantellated 5-cell	bitruncated 5 buněk	cantitruncated 5-cell	runcinated 5-cell	runcitruncated 5-cell	omnitruncated 5-cell
Schläfli symbol	{3,3,3} 3r {3,3,3}	t {3,3,3} 2t {3,3,3}	r {3,3,3} 2r {3,3,3}	rr {3,3,3} r2r {3,3,3}	2t {3,3,3}	tr {3,3,3} t2r {3,3,3}	t_0,3{3,3,3}	t_0,1,3{3,3,3} t_0,2,3{3,3,3}	t_0,1,2,3{3,3,3}
Coxeter diagram
Schlegel diagram
A₄ Coxeterovo letadlo Graf
A₃ Coxeterovo letadlo Graf
A₂ Coxeterovo letadlo Graf

Související polytopy a voštiny

Usměrněný 5článek je druhý v rozměrové sérii semiregular polytopes. Každý progresivní jednotný polytop je konstruován jako vrchol obrázek předchozího mnohostoru. Thorold Gosset identifikoval tuto sérii v roce 1900 jako obsahující všechny běžný mnohostěn fazety, obsahující všechny simplexes a ortoplexy (čtyřstěny a osmistěnů v případě usměrněného 5článku). The Coxeter symbol pro rektifikovaný 5článek je 0₂₁.

k₂₁ čísla v n dimenzionální
Prostor	Konečný						Euklidovský	Hyperbolický
E_n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter skupina	E₃= A₂A₁	E₄= A₄	E₅= D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = ${ displaystyle { tilde {E}} _ {8}}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${ displaystyle { bar {T}} _ {8}}$ = E₈⁺⁺
Coxeter diagram
Symetrie	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[3^1,2,1]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Objednat	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
Graf							-	-
název	−1₂₁	0₂₁	1₂₁	2₂₁	3₂₁	4₂₁	5₂₁	6₂₁

Izotopové polytopy

Izotopová uniforma zkrácena jednoduchosti
Ztlumit.	2	3	4	5	6	7	8
název Coxeter	Šestiúhelník = t {3} = {6}	Octahedron = r {3,3} = {3^1,1} = {3,4} ${ displaystyle left {{ begin {pole} {l} 3 3 konec {pole}} doprava }}$	Decachoron 2t {3³}	Dodecateron 2r {3⁴} = {3^2,2} ${ displaystyle left {{ begin {pole} {l} 3,3 3,3 end {pole}} doprava }}$	Tetradecapeton 3t {3⁵}	Hexadekaexon 3r {3⁶} = {3^3,3} ${ displaystyle left {{ begin {pole} {l} 3,3,3 3,3,3 end {pole}} doprava }}$	Octadecazetton 4t {3⁷}
snímky
Vrcholová postava	() v ()	{ }×{ }	{} v {}	{3}×{3}	{3} v {3}	{3,3} x {3,3}	{3,3} v {3,3}
Fazety		{3}	t {3,3}	r {3,3,3}	2t {3,3,3,3}	2r {3,3,3,3,3}	3t {3,3,3,3,3,3}
Tak jako protínající se dvojí simplexes	∩	∩	∩	∩	∩	∩	∩

Viz také

Semiregularní polytop typu 21

Poznámky

^ Conway, 2008
^ Klitzing, Richarde. „o3x4o3o - rap“.
^ Eppstein, David; Kuperberg, Greg; Ziegler, Günter M. (2003), „Fat 4-polytopes and fatter 3-spheres“, Bezdek, Andras (ed.), Diskrétní geometrie: Na počest 60. narozenin W. KuperbergaČistá a aplikovaná matematika, 253, str. 239–265, arXiv:math.CO/0204007.
^ Paffenholz, Andreas; Ziegler, Günter M. (2004), „The E_t-stavba pro mříže, koule a polytopy ", Diskrétní a výpočetní geometrie, 32 (4): 601–621, arXiv:math.MG/0304492, doi:10.1007 / s00454-004-1140-4, PAN 2096750, S2CID 7603863.
^ Gosset, 1900

Reference

T. Gosset: Na regulárních a polopravidelných obrázcích v prostoru n dimenzí, Posel matematiky, Macmillan, 1900
J.H. Conway a M.J.T. Chlap: Čtyřrozměrné archimédovské polytopy, Sborník kolokvia o konvexitě v Kodani, strany 38 a 39, 1965
H.S.M. Coxeter:
- H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. vydání, Dover New York, 1973
- Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. (1966)
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Symetrie věcí 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 26)

externí odkazy

Rektifikovaná 5článková - data a obrázky
- 1. Konvexní uniformní polychora založená na pentachoronu - Model 2 George Olshevsky.
Klitzing, Richarde. „4D uniformní polytopy (polychora) x3o3o3o - rap“.

Zásadní konvexní pravidelný a jednotné polytopy v rozměrech 2–10
Rodina	A_n	B_n	Já₂(p) / D_n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H_n
Pravidelný mnohoúhelník	Trojúhelník	Náměstí	p-gon	Šestiúhelník	Pentagon
Jednotný mnohostěn	Čtyřstěn	Octahedron • Krychle	Demicube		Dodecahedron • Dvacetistěnu
Jednotný 4-polytop	5článková	16 buněk • Tesseract	Demitesseract	24článková	120 buněk • 600 buněk
Jednotný 5-mnohostěn	5-simplexní	5-orthoplex • 5 kostek	5-demicube
Jednotný 6-polytop	6-simplexní	6-orthoplex • 6 kostek	6-demicube	1₂₂ • 2₂₁
Jednotný 7-polytop	7-simplexní	7-orthoplex • 7 kostek	7-demicube	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Jednotný 8-polytop	8-simplexní	8-orthoplex • 8 kostek	8-demicube	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Jednotný 9-polytop	9-simplexní	9-orthoplex • 9 kostek	9-demicube
Jednotný 10-polytop	10-simplexní	10-orthoplex • 10 kostek	10-demicube
Jednotný n-polytop	n-simplexní	n-orthoplex • n-krychle	n-demicube	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-pětiúhelníkový mnohostěn
Témata: Polytopové rodiny • Pravidelný mnohostěn • Seznam běžných polytopů a sloučenin

[1] Conway, 2008

[2] Klitzing, Richarde. „o3x4o3o - rap“.

[3] Eppstein, David; Kuperberg, Greg; Ziegler, Günter M. (2003), „Fat 4-polytopes and fatter 3-spheres“, Bezdek, Andras (ed.), Diskrétní geometrie: Na počest 60. narozenin W. KuperbergaČistá a aplikovaná matematika, 253, str. 239–265, arXiv:math.CO/0204007.

[4] Paffenholz, Andreas; Ziegler, Günter M. (2004), „The E_t-stavba pro mříže, koule a polytopy ", Diskrétní a výpočetní geometrie, 32 (4): 601–621, arXiv:math.MG/0304492, doi:10.1007 / s00454-004-1140-4, PAN 2096750, S2CID 7603863.

[5] Gosset, 1900

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]