Runcinated 5-cell - Runcinated 5-cell
5článková | Runcinated 5-cell |
Runcitruncated 5-cell | Omnitruncated 5-cell (Runcicantitruncated 5-cell) |
Ortogonální projekce v4 Coxeterovo letadlo |
---|
Ve čtyřrozměrném geometrie, a runcinated 5-cell je konvexní jednotný 4-polytop, přičemž runcination (zkrácení 3. řádu, až hoblování obličeje ) pravidelné 5článková.
Existují 3 jedinečné stupně runcinace 5 buněk, včetně permutací, zkrácení a cantellací.
Runcinated 5-cell
Runcinated 5-cell | ||
Schlegelův diagram s polovinou čtyřboká buněk viditelné. | ||
Typ | Jednotný 4-polytop | |
Schläfliho symbol | t0,3{3,3,3} | |
Coxeterův diagram | nebo nebo | |
Buňky | 30 | 10 (3.3.3) 20 (3.4.4) |
Tváře | 70 | 40 {3} 30 {4} |
Hrany | 60 | |
Vrcholy | 20 | |
Vrcholová postava | (Protáhlý rovnostranný-trojúhelníkový antiprism) | |
Skupina symetrie | Aut (A4), [[3,3,3]], objednávka 240 | |
Vlastnosti | konvexní, isogonal isotoxální | |
Jednotný index | 4 5 6 |
The runcinated 5-cell nebo malý prismatodecachoron je postaven uživatelem rozšiřování the buňky a 5článková radiálně a vyplnění mezer trojúhelníkovým hranoly (které jsou hranolovými hranami a hranami) a čtyřstěn (buňky duální 5článkové). Skládá se z 10 čtyřstěnů a 20 trojúhelníkových hranolů. 10 čtyřstěnů odpovídá buňkám 5 buněk a jejich duálním.
Topologicky existuje pod jeho nejvyšší symetrií [[3,3,3]] pouze jeden geometrický tvar, který obsahuje 10 čtyřstěnů a 20 jednotných trojúhelníkových hranolů. Obdélníky jsou vždy čtverce, protože dva páry okrajů odpovídají okrajům dvou sad 5 pravidelných čtyřstěnů, každý v duální orientaci, které jsou v rozšířené symetrii stejné.
E. L. Elte identifikoval v roce 1912 jako semiregulární polytop.
Alternativní názvy
- Runcinated 5článková (Norman Johnson )
- Runcinovaný pentachoron
- Runcinated 4-simplexní
- Rozšířený 5článkový / 4-simplexní / pentachoron
- Malý prismatodecachoron (Zkratka: Spid) (Jonathan Bowers)
Struktura
Dva z deseti čtyřstěnných buněk se setkávají v každém vrcholu. Trojúhelníkové hranoly leží mezi nimi a jsou k nim spojeny jejich trojúhelníkovými plochami a navzájem k sobě hranatými plochami. Každý trojúhelníkový hranol je spojen se sousedními trojúhelníkovými hranoly v proti orientace (tj. pokud jsou hrany A a B ve sdílené čtvercové ploše spojeny s trojúhelníkovými plochami jednoho hranolu, pak jsou to další dvě hrany, které jsou spojeny s trojúhelníkovými plochami druhého hranolu); tedy každý pár sousedních hranolů, pokud jsou otočeny do stejných nadrovina, by vytvořil a gyrobifastigium.
Pitva
The runcinated 5-cell lze pitvat ústřednou cuboctahedron do dvou čtyřboká kupole. Tato pitva je analogická s 3D cuboctahedron rozřezán centrálním šestiúhelníkem na dva trojúhelníková kopule.
snímky
Ak Coxeterovo letadlo | A4 | A3 | A2 |
---|---|---|---|
Graf | |||
Dihedrální symetrie | [[5]] = [10] | [4] | [[3]] = [6] |
Pohled dovnitř projekce 3 koulí Schlegelův diagram se svými 10 čtyřstěnnými buňkami | Síť |
Souřadnice
The Kartézské souřadnice vrcholů runcinované 5-buňky s délkou hrany 2 na střed jsou:
Alternativní jednodušší sadu souřadnic lze vytvořit v 5-prostoru, jako 20 permutací:
- (0,1,1,1,2)
Tato konstrukce existuje jako jedna z 32 orthant fazety z runcinovaný 5-orthoplex.
Druhá stavba v 5prostoru, od středu a rektifikovaný 5-orthoplex je dáno souřadnicovými permutacemi:
- (1,-1,0,0,0)
Kořenové vektory
Jeho 20 vrcholů představuje kořenové vektory jednoduchá Lieova skupina A4. Je to také vrchol obrázek pro 5článkový plástev ve 4-prostoru.
Průřezy
Maximální průřez runcinovanou 5-buňkou s 3-dimenzionálním nadrovina je cuboctahedron. Tento průřez rozděluje runcinovanou 5-buňku na dvě části čtyřboká hypercupolae skládající se z 5 čtyřstěnů a 10 trojúhelníkových hranolů.
Projekce
Nejprve čtyřstěn pravopisná projekce runcinované 5-buňky do 3-dimenzionálního prostoru má a cuboctahedral obálka. Struktura této projekce je následující:
- Kuboktaedrická obálka je vnitřně rozdělena takto:
- Čtyři zploštělé čtyřstěny spojují 4 trojúhelníkové plochy kvádrokedru s centrálním čtyřstěnem. Toto jsou obrazy 5 čtyřbunkových buněk.
- 6 hranatých ploch cuboctahedronu je spojeno s okraji centrálního čtyřstěnu pomocí zkreslených trojúhelníkových hranolů. Toto jsou obrazy 6 trojúhelníkových hranolových buněk.
- Další 4 trojúhelníkové plochy jsou spojeny s centrálním čtyřstěnem pomocí 4 trojúhelníkových hranolů (zkreslených projekcí). Toto jsou obrázky dalších 4 trojúhelníkových hranolových buněk.
- To představuje polovinu runcinovaných 5 buněk (5 čtyřstěnů a 10 trojúhelníkových hranolů), které lze považovat za „severní polokouli“.
- Druhá polovina, „jižní polokoule“, odpovídá izomorfnímu rozdělení cuboctahedronu v dvojí orientaci, ve kterém je centrální čtyřstěn dvojí vůči jednomu v první polovině. Trojúhelníkové plochy cuboctahedronu spojují trojúhelníkové hranoly na jedné polokouli se zploštělým čtyřstěnem na druhé polokouli a naopak. Jižní polokoule tedy obsahuje dalších 5 čtyřstěnů a dalších 10 trojúhelníkových hranolů, což tvoří celkem 10 čtyřstěnů a 20 trojúhelníkových hranolů.
Související šikmý mnohostěn
The pravidelný zkosený mnohostěn, {4,6 | 3}, existuje ve 4-prostoru se 6 čtverci kolem každého vrcholu, v cikcakující neplanární figuře vrcholu. Tyto čtvercové tváře lze vidět na Runcinated 5-buňky, pomocí všech 60 hran a 20 vrcholů. 40 trojúhelníkových ploch runcinované 5-buňky lze považovat za odstraněných. Dvojitý pravidelný zkosený mnohostěn, {6,4 | 3}, je podobně příbuzný šestiúhelníkovým plochám bitruncated 5 buněk.
Runcitruncated 5-cell
Runcitruncated 5-cell | ||
Schlegelův diagram s zobrazeny cuboctahedral buňky | ||
Typ | Jednotný 4-polytop | |
Schläfliho symbol | t0,1,3{3,3,3} | |
Coxeterův diagram | ||
Buňky | 30 | 5 (3.6.6) 10 (4.4.6) 10 (3.4.4) 5 (3.4.3.4) |
Tváře | 120 | 40 {3} 60 {4} 20 {6} |
Hrany | 150 | |
Vrcholy | 60 | |
Vrcholová postava | (Obdélníková pyramida) | |
Skupina coxeterů | A4, [3,3,3], objednávka 120 | |
Vlastnosti | konvexní, isogonal | |
Jednotný index | 7 8 9 |
The runcitruncated 5článková nebo prismatorhombated pentachoron se skládá ze 60 vrcholů, 150 okrajů, 120 ploch a 30 buněk. Buňky jsou: 5 zkrácený čtyřstěn, 10 šestihranné hranoly, 10 trojúhelníkové hranoly a 5 cuboctahedra. Každý vrchol je obklopen pěti buňkami: jedním zkráceným čtyřstěnem, dvěma šestihrannými hranoly, jedním trojúhelníkovým hranolem a jedním cuboctahedronem; the vrchol obrázek je obdélníková pyramida.
Alternativní názvy
- Runcitunový pentachoron
- Runcitruncated 4-simplexní
- Diprismatodispentachoron
- Prismatorhombated pentachoron (Zkratka: prip) (Jonathan Bowers)
snímky
Ak Coxeterovo letadlo | A4 | A3 | A2 |
---|---|---|---|
Graf | |||
Dihedrální symetrie | [5] | [4] | [3] |
Schlegelův diagram se svými 40 modrými trojúhelníkovými plochami a 60 zelenými čtyřhrannými plochami. | Střední část Schlegelova diagramu. |
Souřadnice
The Kartézské souřadnice 5-buněk s centrifugovanou runcitrunkovanou buňkou s délkou hrany 2 jsou:
Souřadnice | ||
---|---|---|
Vrcholy mohou být jednodušší konstruovány na a nadrovina v 5-prostoru, jako obměny z:
- (0,1,1,2,3)
Tato konstrukce je z pozitivního orthant aspekt z runcitruncated 5-orthoplex.
Omnitruncated 5-cell
Omnitruncated 5-cell | ||
Schlegelův diagram s polovinou zkrácených oktaedrických buněk. | ||
Typ | Jednotný 4-polytop | |
Schläfliho symbol | t0,1,2,3{3,3,3} | |
Coxeterův diagram | nebo nebo | |
Buňky | 30 | 10 (4.6.6) 20 (4.4.6) |
Tváře | 150 | 90{4} 60{6} |
Hrany | 240 | |
Vrcholy | 120 | |
Vrcholová postava | Fylický disfenoid | |
Skupina coxeterů | Aut (A4), [[3,3,3]], objednávka 240 | |
Vlastnosti | konvexní, isogonal, zonotop | |
Jednotný index | 8 9 10 |
The omnitruncated 5-cell nebo velký prismatodecachoron se skládá ze 120 vrcholů, 240 hran, 150 ploch (90 čtverce a 60 šestiúhelníky ) a 30 buněk. Buňky jsou: 10 zkrácená oktaédra a 20 šestihranné hranoly. Každý vrchol je obklopen čtyřmi buňkami: dvěma zkrácenými oktaedry a dvěma šestiúhelníkovými hranoly, uspořádanými do dvou fylických disfenoidních vrcholové postavy.
Coxeter volá to Hintonův mnohostěn po C. H. Hinton, který to popsal ve své knize Čtvrtá dimenze v roce 1906. Tvoří a jednotný plástev který volá Coxeter Hintonův plástev.[1]
Alternativní názvy
- Omnitruncated 5článková
- Omnitruncated pentachoron
- Omnitruncated 4-simplexní
- Velký prismatodecachoron (Zkratka: gippid) (Jonathan Bowers)
- Hintonův mnohost (Coxeter )
snímky
Ak Coxeterovo letadlo | A4 | A3 | A2 |
---|---|---|---|
Graf | |||
Dihedrální symetrie | [[5]] = [10] | [4] | [[3]] = [6] |
Omnitruncated 5-cell | Duální až omnitrunované 5článkové |
Perspektivní projekce
Perspektivní Schlegelův diagram Zaměřeno na zkrácený osmistěn | Stereografická projekce |
Permutohedron
Stejně jako zkrácený osmistěn je permutohedron řádu 4 je omnitrunkovaná 5 buněk permutohedronem řádu 5.[2]Omnitruncated 5-cell is a zonotop, Minkowského součet pěti úseček rovnoběžných s pěti úsečkami počátkem a pěti vrcholy 5článku.
Mozaikování
The všestranný 5článkový plástev umí mozaikovat 4-dimenzionální prostor translačními kopiemi této buňky, každá se 3 hypercelly kolem každé tváře. Tento plástev Coxeterův diagram je .[3] Na rozdíl od analogického plástu ve třech rozměrech, bitunovaný kubický plástev který má tři různé Skupina coxeterů Wythoffovy konstrukce, tato voština má pouze jednu takovou konstrukci.[1]
Symetrie
The omnitruncated 5-cell rozšířil pentachorickou symetrii, [[3,3,3]], řád 240. The vrchol obrázek z omnitruncated 5-cell představuje Goursat čtyřstěn z [3,3,3] Skupina coxeterů. Rozšířená symetrie pochází ze 2násobného otočení napříč větví středního řádu-3 a je vyjádřena explicitněji jako [2+[3,3,3]].
Souřadnice
The Kartézské souřadnice z vrcholů všesměrového 5článku se středem počátku, který má délku hrany 2, jsou:
Tyto vrcholy lze jednodušeji získat v 5prostoru jako 120 obměny z (0,1,2,3,4). Tato konstrukce je z pozitivního orthant aspekt z runcicantitruncated 5-orthoplex, t0,1,2,3{3,3,3,4}, .
Související polytopy
Neuniformní varianty se symetrií [3,3,3] a dvěma typy zkráceného oktaedru lze zdvojnásobit umístěním dvou typů zkráceného oktaedru na sebe, aby vznikl nejednotný polychoron s 10 zkrácená oktaédra, dva typy 40 šestihranné hranoly (20 ditrigonal hranoly a 20 ditrigonal trapezoprisms), dva druhy 90 obdélníkové lichoběžníky (30 s D2d symetrie a 60 s C2v symetrie) a 240 vrcholů. Jeho vrchol je nepravidelný trojúhelníkový bipyramid.
Tento polychoron lze poté střídat za vzniku dalšího nejednotného polychoronu s 10 icosahedra, dva typy 40 oktaedra (20 s.) S6 symetrie a 20 s D3 symetrie), tři druhy 210 čtyřstěn (30 tetragonálních disfenoidů, 60 fylických disfenoidů a 120 nepravidelných čtyřstěnů) a 120 vrcholů. Má symetrii [[3,3,3]+], objednávka 120.
Plný tlumič 5 buněk
The plný tlumič 5 buněk nebo omnisnub 5 buněk, definovaný jako střídání omnitruncated 5-cell, cannot be made uniform, but it can be given Coxeter diagram , a symetrie [[3,3,3]]+, objednávka 120, a zkonstruováno z 90 buněk: 10 dvacetistěny, 20 osmistěnů a 60 čtyřstěny vyplňování mezer u odstraněných vrcholů. Má 300 ploch (trojúhelníků), 270 hran a 60 vrcholů.
Topologicky pod nejvyšší symetrií [[3,3,3]]+, 10 icosahedra mají T (chirální čtyřboká) symetrie, zatímco 20 octahedra mají D3 symetrie a 60 čtyřstěnů C2 symetrie[4].
Související polytopy
Tyto polytopy jsou součástí 9členné rodiny Jednotný 4-polytop vyrobeno z [3,3,3] Skupina coxeterů.
název | 5článková | zkrácená 5článková | rektifikovaný 5článkový | cantellated 5-cell | bitruncated 5 buněk | cantitruncated 5-cell | runcinated 5-cell | runcitruncated 5-cell | omnitruncated 5-cell |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli symbol | {3,3,3} 3r {3,3,3} | t {3,3,3} 2t {3,3,3} | r {3,3,3} 2r {3,3,3} | rr {3,3,3} r2r {3,3,3} | 2t {3,3,3} | tr {3,3,3} t2r {3,3,3} | t0,3{3,3,3} | t0,1,3{3,3,3} t0,2,3{3,3,3} | t0,1,2,3{3,3,3} |
Coxeter diagram | |||||||||
Schlegel diagram | |||||||||
A4 Coxeterovo letadlo Graf | |||||||||
A3 Coxeterovo letadlo Graf | |||||||||
A2 Coxeterovo letadlo Graf |
Poznámky
- ^ A b Krása geometrie: Dvanáct esejů (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Klasifikace Zonohededra, strana 73)
- ^ Permutahedron řádu 5
- ^ George Olshevsky, Jednotné panoploidní tetrakomby, rukopis (2006): Vypíše mozaikování jako [140 ze 143] Velký prismatodecachorický tetracomb (Omnitruncated pentachoric 4d honeycomb)
- ^ http://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/s3s3s3s.htm
Reference
- H.S.M. Coxeter:
- H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. vydání, Dover New York, 1973
- Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D.
- 1. Konvexní uniformní polychora založená na pentachoronu - model 5, 8 a 9 George Olshevsky.
- Klitzing, Richarde. „4D uniformní polytopes (polychora)“. o3x3x3o - spid, x3x3o3x - prip, x3x3x3x - gippid