Goursat čtyřstěn - Goursat tetrahedron
v geometrie, a Goursat čtyřstěn je čtyřboká základní doména a Wythoffova konstrukce. Každá čtyřboká tvář představuje odrazovou nadrovinu na trojrozměrných plochách: 3 koule, Euklidovský 3-prostor a hyperbolický 3-prostor. Coxeter pojmenoval je podle Édouard Goursat kdo se nejprve podíval do těchto domén. Jedná se o rozšíření teorie Schwarzovy trojúhelníky pro Wythoffovy konstrukce na kouli.
Grafické znázornění
A Goursat čtyřstěn může být graficky reprezentován čtyřstěnným grafem, který je ve dvojí konfiguraci čtyřstěnu základní domény. V grafu představuje každý uzel plochu (zrcadlo) čtyřstěnu Goursat. Každá hrana je označena racionální hodnotou odpovídající pořadí odrazů, která je π /vzepětí úhel.
4-uzel Coxeter-Dynkinův diagram představuje tyto čtyřboké grafy se skrytými hranami řádu 2. Pokud je mnoho okrajů řádu 2, pak Skupina coxeterů může být reprezentován a závorka notace.
Existence vyžaduje, aby každý ze tříuzlových podgrafů tohoto grafu (p q r), (p u s), (q t u) a (r s t), musel odpovídat a Schwarzův trojúhelník.
Rozšířená symetrie
 |  |
| Symetrie čtyřstěnu Goursat může být čtyřboká symetrie jakékoli symetrie podskupiny zobrazené v tomto stromu, s podskupinami níže s indexy podskupin označenými na barevných okrajích. | |
Rozšířená symetrie čtyřstěnu Goursat je a polopřímý produkt z Skupina coxeterů symetrie a základní doména symetrie (v těchto případech čtyřstěn Goursat). Coxeterova notace podporuje tuto symetrii, protože dvojité závorky jako [Y [X]] znamenají úplnou symetrii skupiny Coxeter [X], s Y jako symetrie čtyřstěnu Goursat. Li Y je čistá reflexní symetrie, skupina bude představovat další Coxeterovu skupinu zrcadel. Pokud existuje pouze jedna jednoduchá zdvojnásobení symetrie, Y mohou být implicitní jako [[X]] s buď reflexní nebo rotační symetrií v závislosti na kontextu.
Níže je také uvedena rozšířená symetrie každého čtyřstěnu Goursat. Nejvyšší možná symetrie je pravidelnost čtyřstěn jako [3,3], a to se vyskytuje v hranolové bodové skupině [2,2,2] nebo [2[3,3]] a hyperbolická skupina paracompact [3[3,3]].
Vidět Čtyřstěn # Izometrie nepravidelného čtyřstěnu pro 7 izometrií nižší symetrie čtyřstěnu.
Celá řada řešení
V následujících částech jsou uvedena všechna z celkového počtu čtyřstěnných řešení Goursat na 3 sféře, euklidovském 3 prostoru a hyperbolickém 3 prostoru. Je také uvedena rozšířená symetrie každého čtyřstěnu.
Níže uvedené barevné čtyřstěnné diagramy jsou vrcholové postavy pro všudypřítomný polytopes a voštiny z každé rodiny symetrie. Okrajové štítky představují polygonální pořadí tváří, což je dvojnásobek pořadí větví grafu Coxeter. The vzepětí úhel hrany označené 2n je π /n. Žluté hrany označené 4 pocházejí z pravoúhlých (nepřipojených) zrcadlových uzlů v Coxeterově diagramu.
3-sférická (konečná) řešení
Řešení pro 3 koule s hustotou 1 řešení jsou: (Jednotná polychora )
| Skupina coxeterů a diagram | [2,2,2]  | [p, 2,2] | [p, 2, q] | [p, 2, p] | [3,3,2] | [4,3,2] | [5,3,2] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Skupinové pořadí symetrie | 16 | 8p | 4pq | 4p2 | 48 | 96 | 240 |
| Čtyřstěn symetrie | [3,3] (objednávka 24)  | [2] (objednávka 4)  | [2] (objednávka 4) | [2+,4] (objednávka 8)  | [ ] (objednávka 2)  | [ ]+ (objednávka 1)  | [ ]+ (objednávka 1) |
| Rozšířená symetrie | [(3,3)[2,2,2]] =[4,3,3] | [2 [p, 2,2]] = [2p, 2,4]  | [2 [p, 2, q]] = [2p, 2,2q] | [(2+, 4) [p, 2, p]] =[2+[2p, 2,2p]] | [1[3,3,2]] =[4,3,2] | [4,3,2] | [5,3,2] |
| Rozšířené pořadí symetrie | 384 | 32p | 16pq | 32p2 | 96 | 96 | 240 |
| Typ grafu | Lineární | Tridental | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Skupina coxeterů a diagram | Pentachorický [3,3,3] | Hexadekachorický [4,3,3] | Icositetrachoric [3,4,3] | Hexakosichorický [5,3,3] | Demitesseractic [31,1,1]   |
| Vrcholová postava všudypřítomné uniformní polychory | |||||
| Čtyřstěn |  |  |  |  |  |
| Skupinové pořadí symetrie | 120 | 384 | 1152 | 14400 | 192 |
| Čtyřstěn symetrie | [2]+ (objednávka 2)  | [ ]+ (objednávka 1) | [2]+ (objednávka 2) | [ ]+ (objednávka 1) | [3] (objednávka 6)  |
| Rozšířená symetrie | [2+[3,3,3]]   | [4,3,3] | [2+[3,4,3]] | [5,3,3] | [3[31,1,1]] =[3,4,3] |
| Rozšířené pořadí symetrie | 240 | 384 | 2304 | 14400 | 1152 |
Euklidovská (afinní) 3prostorová řešení
Řešení hustoty 1: Konvexní jednotné voštiny:
| Typ grafu | Lineární Orthoschéma | Tri-zubní Plagioscheme | Smyčka Cykloschéma | Hranolové | Degenerovat | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Skupina coxeterů Coxeterův diagram | [4,3,4] | [4,31,1] | [3[4]] | [4,4,2] | [6,3,2] | [3[3],2] | [∞,2,∞] |
| Vrcholová postava omnitrunovaných voštin | |||||||
| Čtyřstěn |  |  |  | ||||
| Čtyřstěn Symetrie | [2]+ (objednávka 2) | [ ] (objednávka 2) | [2+,4] (objednávka 8) | [ ] (objednávka 2) | [ ]+ (objednávka 1) | [3] (objednávka 6) | [2+,4] (objednávka 8) |
| Rozšířená symetrie | [(2+)[4,3,4]]  | [1[4,31,1]] =[4,3,4] | [(2+,4)[3[4]]] =[2+[4,3,4]] | [1[4,4,2]] =[4,4,2] | [6,3,2] | [3[3[3],2]] =[3,6,2] | [(2+,4)[∞,2,∞]] =[1[4,4]] |
Kompaktní hyperbolická 3prostorová řešení
Řešení hustoty 1: (Konvexní jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru ) (Coxeterův diagram # Compact (Lannér simplex groups) )
| Typ grafu | Lineární | Tri-zubní | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Skupina coxeterů Coxeterův diagram | [3,5,3] | [5,3,4] | [5,3,5] | [5,31,1] | |||
| Vrcholové postavy omnitrunovaných voštin | |||||||
| Čtyřstěn |  |  |  |  | |||
| Čtyřstěn Symetrie | [2]+ (objednávka 2) | [ ]+ (objednávka 1) | [2]+ (objednávka 2) | [ ] (objednávka 2) | |||
| Rozšířená symetrie | [2+[3,5,3]] | [5,3,4] | [2+[5,3,5]] | [1[5,31,1]] =[5,3,4] | |||
| Typ grafu | Smyčka | ||||||
| Skupina coxeterů Coxeterův diagram | [(4,3,3,3)] | [(4,3)2] | [(5,3,3,3)] | [(5,3,4,3)] | [(5,3)2] | ||
| Vrcholové postavy omnitrunovaných voštin | |||||||
| Čtyřstěn |  |  |  |  |  | ||
| Čtyřstěn Symetrie | [2]+ (objednávka 2) | [2,2]+ (objednávka 4)  | [2]+ (objednávka 2) | [2]+ (objednávka 2) | [2,2]+ (objednávka 4) | ||
| Rozšířená symetrie | [2+[(4,3,3,3)]] | [(2,2)+[(4,3)2]] | [2+[(5,3,3,3)]] | [2+[(5,3,4,3)]] | [(2,2)+[(5,3)2]] | ||
Parakompaktní hyperbolická 3prostorová řešení
Řešení hustoty 1: (Viz Coxeterův diagram # Paracompact (skupiny Koszul simplex) )
| Typ grafu | Lineární grafy | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Skupina coxeterů a diagram | [6,3,3] | [3,6,3] | [6,3,4] | [6,3,5] | [6,3,6] | [4,4,3] | [4,4,4] | |
| Čtyřstěn symetrie | [ ]+ (objednávka 1) | [2]+ (objednávka 2) | [ ]+ (objednávka 1) | [ ]+ (objednávka 1) | [2]+ (objednávka 2) | [ ]+ (objednávka 1) | [2]+ (objednávka 2) | |
| Rozšířená symetrie | [6,3,3] | [2+[3,6,3]] | [6,3,4] | [6,3,5] | [2+[6,3,6]] | [4,4,3] | [2+[4,4,4]] | |
| Typ grafu | Smyčkové grafy | |||||||
| Skupina coxeterů a diagram | [3[ ]×[ ]] | [(4,4,3,3)] | [(43,3)] | [4[4]] | [(6,33)] | [(6,3,4,3)] | [(6,3,5,3)] | [(6,3)[2]] |
| Čtyřstěn symetrie | [2] (objednávka 4) | [ ] (objednávka 2) | [2]+ (objednávka 2) | [2+,4] (objednávka 8) | [2]+ (objednávka 2) | [2]+ (objednávka 2) | [2]+ (objednávka 2) | [2,2]+ (objednávka 4) |
| Rozšířená symetrie | [2[3[ ]×[ ]]] =[6,3,4] | [1[(4,4,3,3)]] =[3,41,1]   | [2+[(43,3)]] | [(2+,4)[4[4]]] =[2+[4,4,4]] | [2+[(6,33)]] | [2+[(6,3,4,3)]] | [2+[(6,3,5,3)]] | [(2,2)+[(6,3)[2]]] |
| Typ grafu | Tri-zubní | Loop-n-tail | Simplexní | |||||
| Skupina coxeterů a diagram | [6,31,1] | [3,41,1] | [41,1,1] | [3,3[3]] | [4,3[3]] | [5,3[3]] | [6,3[3]] | [3[3,3]] |
| Čtyřstěn symetrie | [ ] (objednávka 2) | [ ] (objednávka 2) | [3] (objednávka 6) | [ ] (objednávka 2) | [ ] (objednávka 2) | [ ] (objednávka 2) | [ ] (objednávka 2) | [3,3] (objednávka 24) |
| Rozšířená symetrie | [1[6,31,1]] =[6,3,4] | [1[3,41,1]] =[3,4,4] | [3[41,1,1]] =[4,4,3] | [1[3,3[3]]] =[3,3,6] | [1[4,3[3]]] =[4,3,6] | [1[5,3[3]]] =[5,3,6] | [1[6,3[3]]] =[6,3,6] | [(3,3)[3[3,3]]] =[6,3,3] |
Racionální řešení
Existují stovky racionálních řešení pro 3 koule, včetně těchto 6 lineárních grafů, které generují Schläfli-Hessova polychora a 11 nelineárních z Coxeteru:
Lineární grafy
| Smyčkové grafy:
|
Viz také
- Skupina bodů pro n-jednodušší řešení na (n-1) - koule.
Reference
- Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8 (strana 280, Goursatův čtyřstěn) [1]
- Norman Johnson Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. (1966) Dokázal, že výčet čtyřstěnů Goursat od Coxetera je úplný
- Goursat, Edouard, Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace„Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 3, 6 (1889), (str. 9–102, str. 80–81 čtyřstěn)
- Klitzing, Richarde. „Dynkinovy diagramy Goursat tetrahedra“.
- Norman Johnson, Geometrie a transformace (2018), kapitoly 11,12,13
- N. W. Johnson, R. Kellerhals J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, Velikost hyperbolického Coxeterova simplexu„Transformation Groups 1999, svazek 4, číslo 4, str. 329–353 [2]