Skupiny bodů ve čtyřech rozměrech - Point groups in four dimensions

Hierarchie skupin 4D polychorických bodů a některých podskupin. Vertikální umístění je seskupeno podle objednávky. Modré, zelené a růžové barvy ukazují reflexní, hybridní a rotační skupiny.

Některé skupiny 4D bodů v Conwayově zápisu

v geometrie, a bodová skupina ve čtyřech rozměrech je izometrická skupina ve čtyřech rozměrech, které ponechávají počátek fixovaný, nebo odpovídajícím způsobem izometrickou skupinu a 3 koule.

Historie čtyřrozměrných skupin

• 1889 Édouard Goursat, Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace„Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 3, 6, (str. 9–102, str. 80–81 čtyřstěn), Goursat čtyřstěn
• 1951, A. C. Hurley, Skupiny konečné rotace a třídy krystalů ve čtyřech rozměrech, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, sv. 47, číslo 04, s. 650^[1]
• 1962 A. L. MacKay Mříže Bravais ve čtyřrozměrném prostoru^[2]
• 1964 Patrick du Val, Homografie, čtveřice a rotace, čtveřice - skupiny 4D bodů
• 1975 Jan Mozrzymas, Andrzej Solecki, Skupiny bodů R4Zprávy o matematické fyzice, svazek 7, číslo 3, s. 363-394 ^[3]
• 1978 H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek a H. Zassenhaus, Krystalografické skupiny čtyřrozměrného prostoru.^[4]
• 1982 N. P. Warner, Skupiny symetrie pravidelných mozaikování S2 a S3 ^[5]
• 1985 E. J. W. Whittaker, Atlas hyperstereogramů čtyřrozměrné třídy krystalů
• 1985 H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, Coxeter notace pro 4D skupiny bodů
• 2003 John Conway a Smith, Na čtveřicích a oktonionech, Dokončeno čtveřice - skupiny 4D bodů
• 2018 N. W. Johnson Geometrie a transformace, Kapitola 11,12,13, Plné polychorické skupiny, str.249, duoprismatické skupiny str.269

Izometrie 4D bodové symetrie

Existují čtyři základní izometrie 4-dimenzionálního bodová symetrie: reflexní symetrie, rotační symetrie, rotační odraz, a dvojitá rotace.

Zápis pro skupiny

Skupiny bodů v tomto článku jsou uvedeny v Coxeterova notace, které jsou založeny na Skupiny coxeterů, se značkami pro rozšířené skupiny a podskupiny.^[6] Coxeterova notace má přímou korespondenci s Coxeterovým diagramem jako [3,3,3], [4,3,3], [3^1,1,1], [3,4,3], [5,3,3] a [p, 2, q]. Tyto skupiny vázaly 3 koule do identických hypersférických čtyřboká domén. Počet domén je pořadí skupiny. Počet zrcadel pro neredukovatelnou skupinu je nh / 2, kde h je skupina Coxeter Číslo coxeteru, n je dimenze (4).^[7]

Pro křížové odkazy jsou zde také uvedeny čtveřice založené notace od Patrick du Val (1964)^[8] a John Conway (2003).^[9] Conwayova notace umožňuje vypočítat pořadí skupiny jako součin prvků s chirálními polyedrickými skupinami: (T = 12, O = 24, I = 60). V Conwayově zápisu je předpona (±) centrální inverze a přípona (.2) implikuje zrcadlovou symetrii. Podobně Du Valova notace má hvězdičkový (*) horní index pro zrcadlovou symetrii.

Involuční skupiny

Je jich pět involuční skupiny: žádná symetrie []⁺, reflexní symetrie [], 2krát rotační symetrie [2]⁺, 2krát rotační odraz [2⁺,2⁺] a centrální bodová symetrie [2⁺,2⁺,2⁺] jako dvojnásobek dvojitá rotace.

4. místo Coxeter skupiny

A polychorická skupina je jedním z pěti skupiny symetrie 4-dimenzionální běžné polytopy. Existují také tři mnohostěnné hranolové skupiny a nekonečná sada duoprismatických skupin. Každá skupina definovaná a Goursat čtyřstěn základní doména ohraničené zrcadlovými rovinami. The vzepětí mezi zrcadly určit pořadí dihedrální symetrie. The Coxeter – Dynkinův diagram je graf, kde uzly představují zrcadlové roviny a hrany se nazývají větve a jsou označeny svým vzepřímým úhlem mezi zrcadly.

Termín polychoron (množný polychora, přídavné jméno polychorický), z řecký kořeny poly ("mnoho") a choros („místnost“ nebo „prostor“) a je zastáncem^[10] podle Norman Johnson a George Olshevsky v kontextu jednotná polychora (4-polytopes) a jejich příbuzné 4-dimenzionální skupiny symetrie.^[11]

4. místo Skupiny coxeterů nechte sadu 4 zrcadel překlenout 4prostor a rozdělte 3 koule do čtyřboká základní domény. Skupiny Coxeterů s nižší hodností mohou pouze svázat hosohedron nebo hosotop základní domény ve 3 sféře.

Jako 3D polyedrické skupiny, názvy 4D polychorických skupin jsou konstruovány podle řeckých předpon počtu buněk odpovídajících pravidelných polytopů s trojúhelníkovými tvářemi.^[12] Rozšířené symetrie existují v uniformních polychora se symetrickými kruhovými vzory uvnitř Coxeterův diagram postavit. Chirální symetrie existují v střídal jednotná polychora.

Coxeterova čísla mají pouze neredukovatelné skupiny, ale duoprismatické skupiny [p, 2, p] lze zdvojnásobit na [[p, 2, p]] přidáním dvojnásobné gyrace k základní doméně, což dává efektivní Coxeterův počet 2p, například [4,2,4] a jeho úplná symetrie B₄„[4,3,3] skupina s Coxeterem číslo 8.

Weyl skupina	Conway Čtveřice	Abstraktní struktura	Coxeter diagram		Coxeter notace	Objednat	Komutátor podskupina	Coxeter číslo (h)	Zrcadla (m)
Plné polychorické skupiny
A4	+1/60 [I × I] .21	S5			[3,3,3]	120	[3,3,3]+	5		10
D4	± 1/3 [T × T] .2	1/2.2S4			[31,1,1]	192	[31,1,1]+	6		12
B4	± 1/6 [O × O] .2	2S4 = S2≀S4			[4,3,3]	384		8	4	12
F4	± 1/2 [O × O] .23	3.2S4			[3,4,3]	1152	[3+,4,3+]	12	12	12
H4	± [I × I] .2	2. (A.5× A5).2			[5,3,3]	14400	[5,3,3]+	30		60
Plné polyedrické hranolové skupiny
A3A1	+1/24 [O × O] .23	S4× D1			[3,3,2] = [3,3]×[ ]	48	[3,3]+	-		6	1
B3A1	± 1/24 [O × O] .2	S4× D1			[4,3,2] = [4,3]×[ ]	96		-	3	6	1
H3A1	± 1/60 [I × I] .2	A5× D1			[5,3,2] = [5,3]×[ ]	240	[5,3]+	-		15	1
Plné duoprismatické skupiny
4A1 = 2D2	± 1/2 [D4× D4]	D14 = D22			[2,2,2] = [ ]4 = [2]2	16	[ ]+	4	1	1	1	1
D2B2	± 1/2 [D4× D8]	D2× D4			[2,2,4] = [2]×[4]	32	[2]+	-	1	1	2	2
D2A2	± 1/2 [D4× D6]	D2× D3			[2,2,3] = [2]×[3]	24	[3]+	-	1	1	3
D2G2	± 1/2 [D4× D12]	D2× D6			[2,2,6] = [2]×[6]	48		-	1	1	3	3
D2H2	± 1/2 [D4× D10]	D2× D5			[2,2,5] = [2]×[5]	40	[5]+	-	1	1	5
2B2	± 1/2 [D8× D8]	D42			[4,2,4] = [4]2	64	[2+,2,2+]	8	2	2	2	2
B2A2	± 1/2 [D8× D6]	D4× D3			[4,2,3] = [4]×[3]	48	[2+,2,3+]	-	2	2	3
B2G2	± 1/2 [D8× D12]	D4× D6			[4,2,6] = [4]×[6]	96		-	2	2	3	3
B2H2	± 1/2 [D8× D10]	D4× D5			[4,2,5] = [4]×[5]	80	[2+,2,5+]	-	2	2	5
2A2	± 1/2 [D6× D6]	D32			[3,2,3] = [3]2	36	[3+,2,3+]	6	3		3
A2G2	± 1/2 [D6× D12]	D3× D6			[3,2,6] = [3]×[6]	72		-	3		3	3
2G2	± 1/2 [D12× D12]	D62			[6,2,6] = [6]2	144		12	3	3	3	3
A2H2	± 1/2 [D6× D10]	D3× D5			[3,2,5] = [3]×[5]	60	[3+,2,5+]	-	3		5
G2H2	± 1/2 [D12× D10]	D6× D5			[6,2,5] = [6]×[5]	120		-	3	3	5
2H2	± 1/2 [D10× D10]	D52			[5,2,5] = [5]2	100	[5+,2,5+]	10	5		5
Obecně platí, p, q = 2,3,4 ...
2I2(2p)	± 1/2 [D4p× D4p]	D2 s2			[2p, 2,2p] = [2p]2	16p2	[str+, 2, s+]	2 s	p	p	p	p
2I2(p)	± 1/2 [D2 s× D2 s]	Dp2			[p, 2, p] = [p]2	4p2		2 s	p		p
Já2(p) já2(q)	± 1/2 [D4p× D4q]	D2 s× D2q			[2p, 2,2q] = [2p] × [2q]	16pq	[str+, 2, q+]	-	p	p	q	q
Já2(p) já2(q)	± 1/2 [D2 s× D2q]	Dp× Dq			[p, 2, q] = [p] × [q]	4pq		-	p		q

Pořadí symetrie se rovná počtu buněk pravidelného polychoronu krát symetrie jeho buněk. Omnitrunovaná duální polychora má buňky, které odpovídají základním doménám skupiny symetrie.

Sítě pro konvexní pravidelné 4-polytopy a všudypřítomné duály

Symetrie	A4	D4	B4	F4	H4
4-mnohostěn	5článková	demitesseract	tesseract	24článková	120 buněk
Buňky	5 {3,3}	16 {3,3}	8 {4,3}	24 {3,4}	120 {5,3}
Symetrie buněk	[3,3], objednávka 24		[4,3], objednávka 48		[5,3], objednávka 120
Coxeterův diagram		=
4-mnohostěn síť
Omnitruncation	omni. 5článková	omni. demitesseract	omni. tesseract	omni. 24článková	omni. 120 buněk
Omnitruncation dvojí síť
Coxeterův diagram
Buňky	5×24 = 120	(16/2)×24 = 192	8×48 = 384	24×48 = 1152	120×120 = 14400

Chirální podskupiny

The 16 buněk hrany promítnuté na a 3 koule představují 6 velké kruhy symetrie B4. 3 kruhy se setkávají u každého vrcholu. Každý kruh představuje osy čtyřnásobné symetrie.

The 24článková hrany promítnuté na 3 koule představují 16 velkých kruhů symetrie F4. U každého vrcholu se setkávají čtyři kruhy. Každý kruh představuje osy trojnásobné symetrie.

The 600 buněk hrany promítnuté na 3 koule představují 72 velkých kruhů symetrie H4. U každého vrcholu se setkává šest kruhů. Každý kruh představuje osy pětinásobné symetrie.

Přímé podskupiny reflexních 4-dimenzionálních skupin bodů jsou:

Coxeter notace		Conway Čtveřice	Struktura	Objednat	Gyrační osy
Polychorické skupiny
	[3,3,3]+	+1/60 [I ×Já]	A5	60			103	102
	[[3,3,3]]+	± 1/60 [I ×Já]	A5× Z.2	120			103	(10+?)2
	[31,1,1]+	± 1/3 [T × T]	1/2.2A4	96			163	182
	[4,3,3]+	± 1/6 [O × O]	2A4 = A2≀A4	192	64		163	362
	[3,4,3]+	± 1/2 [O × O]	3.2A4	576	184	163	163	722
	[3+,4,3+]	± [T × T]		288		163	163	(72+18)2
	[[3+,4,3+]]	± [O × T]		576			323	(72+18+?)2
	[[3,4,3]]+	± [O × O]		1152	184		323	(72+?)2
	[5,3,3]+	± [I × I]	2. (A.5× A5)	7200		725	2003	4502
Mnohostěnné hranolové skupiny
	[3,3,2]+	+1/24[O ×Ó]	A4× Z.2	24		43	43	(6+6)2
	[4,3,2]+	± 1/24 [O × O]	S4× Z.2	96		64	83	(3+6+12)2
	[5,3,2]+	± 1/60 [I × I]	A5× Z.2	240		125	203	(15+30)2
Duoprismatické skupiny
	[2,2,2]+	+1/2 [D4× D4]		8		12	12	42
	[3,2,3]+	+1/2 [D6× D6]		18		13	13	92
	[4,2,4]+	+1/2 [D8× D8]		32		14	14	162
(p, q = 2,3,4 ...), gcd (p, q) = 1
	[p, 2, p]+	+1/2 [D2 s× D2 s]		2 s2		1p	1p	(pp)2
	[p, 2, q]+	+1/2 [D2 s× D2q]		2pq		1p	1q	(pq)2
	[str+, 2, q+]	+ [C.p× C.q]	Zp× Z.q	pq		1p	1q

Pentachorická symetrie

• Pentachorická skupina – A₄, [3,3,3], (), objednávka 120, (Du Val # 51 '(I^†/C₁; I / C₁)^†*, Conway +¹/₆₀[I × I] .2₁), pojmenovaný pro 5článková (pentachoron), daný prstencem Coxeterův diagram . To je také někdy nazýváno hyper-čtyřboká skupina za prodloužení čtyřboká skupina [3,3]. V této skupině je 10 zrcadlových hyperplánů. Je izomorfní s abstraktní symetrická skupina, S.₅.
  • The rozšířená pentachorická skupina, Aut (A₄), [[3,3,3]], (Zdvojení lze naznačit složeným diagramem, ), objednávka 240, (Du Val # 51 (I^†*/C₂; I / C.₂)^†*, Conway ±¹/₆₀[I ×Já] .2). Je izomorfní s přímým produktem abstraktních skupin: S₅× C.₂.
    • The chirální rozšířená pentachorická skupina je [[3,3,3]]⁺, (), objednávka 120, (Du Val # 32 (I^†/C₂; I / C₂)^†, Conway ±¹/₆₀[IXJá]). Tato skupina představuje konstrukci omnisnub 5 buněk, , i když to nemůže být jednotné. Je izomorfní s přímým produktem abstraktních skupin: A₅× C.₂.
  • The chirální pentachorická skupina je [3,3,3]⁺, (), objednávka 60, (Du Val # 32 '(I^†/C₁; I / C₁)^†, Conway +¹/₆₀[I ×Já]). Je izomorfní s abstraktní střídavá skupina, A₅.
    • The rozšířená chirální pentachorická skupina je [[3,3,3]⁺], objednávka 120, (Du Val # 51 "(I.^†/C₁; I / C₁)_–^†*, Conway +¹/₆₀[IX] .2₃). Coxeter spojuje tuto skupinu s abstraktní skupinou (4,6 | 2,3).^[13] Je také izomorfní s abstraktní symetrická skupina, S.₅.

Hexadecachorická symetrie

• Hexadecachorická skupina – B₄, [4,3,3], (), objednávka 384, (Du Val # 47 (O / V; O / V)^*, Conway ±¹/₆[O × O] .2), pojmenovaný pro 16 buněk (hexadekachoron), . V této skupině je 16 zrcadlových hyperplánů, které lze identifikovat ve 2 ortogonálních sadách: 12 z [3^1,1,1] podskupina a 4 z podskupiny [2,2,2]. Také se tomu říká a hyperoktaedrická skupina pro rozšíření 3D oktaedrická skupina [4,3] a tesseractic skupina pro tesseract, .
  • The chirální hexadekachorická skupina je [4,3,3]⁺, (), objednávka 192, (Du Val # 27 (O / V; O / V), Conway ±¹/₆[O × O]). Tato skupina představuje konstrukci omnisnub tesseract, , i když to nemůže být jednotné.
  • The iontová zmenšená hexadekachorická skupina je [4, (3,3)⁺], (), objednávka 192, (Du Val # 41 (T / V; T / V)^*, Conway ±¹/₃[T × T] .2). Tato skupina vede k potlačit 24 buněk se stavbou .
  • The napůl hexadekachorická skupina je [1⁺,4,3,3], ( = ), objednávka 192, a stejné jako # demitesseractic symetry: [3^1,1,1]. Tato skupina je vyjádřena v tesseract střídal výstavba 16 buněk, = .
    • Skupina [1⁺,4,(3,3)⁺], ( = ), objednávka 96 a stejné jako chirální demitesseractic skupina [3^1,1,1]⁺ a také je podskupina komutátoru ze [4,3,3].
  • Reflexní podskupina s vysokým indexem je prizmatická oktaedrická symetrie, [4,3,2] (), objednávka 96, index podskupiny 4, (Du Val # 44 (O / C₂; O / C₂)^*, Conway ±¹/₂₄[O × O] .2). The zkrácený kubický hranol má tuto symetrii s Coxeterovým diagramem a kubický hranol je konstrukce nižší symetrie tesseract, tak jako .
    • Jeho chirální podskupina je [4,3,2]⁺, (), objednávka 48, (Du Val # 26 (O / C₂; O / C₂), Conway ±¹/₂₄[O × O]). Příkladem je potlačit kubický antiprism, , i když to nemůže být jednotné.
    • Iontové podskupiny jsou:
      • [(3,4)⁺,2], (), objednávka 48, (Du Val # 44b '(O / C₁; O / C₁)₋^*, Conway +¹/₂₄[O × O] .2₁). The urážet kubický hranol má tuto symetrii s Coxeterovým diagramem .
        • [(3,4)⁺,2⁺], (), objednávka 24, (Du Val # 44 '(T / C₂; T / C₂)₋^*, Conway +¹/₁₂[T × T] .2₁).
      • [4,3⁺,2], (), objednávka 48, (Du Val # 39 (T / C₂; T / C₂)_C^*, Conway ±¹/₁₂[T × T] .2).
        • [4,3⁺,2,1⁺] = [4,3⁺,1] = [4,3⁺], ( = ), objednávka 24, (Du Val # 44 "(T / C₂; T / C₂)^*, Conway +¹/₁₂[T × T] .2₃). Toto je 3D pyritohedrální skupina, [4,3⁺].
        • [3⁺,4,2⁺], (), objednávka 24, (Du Val # 21 (T / C₂; T / C₂), Conway ±¹/₁₂[T × T]).
      • [3,4,2⁺], (), objednávka 48, (Du Val # 39 '(T / C₂; T / C₂)₋^*, Conway ±¹/₁₂[T ×T].2).
      • [4,(3,2)⁺], (), objednávka 48, (Du Val # 40b '(O / C₁; O / C₁)₋^*, Conway +¹/₂₄[O ×Ó].2₁).
    • Poloviční podskupina [4,3,2,1⁺] = [4,3,1] = [4,3], ( = ), objednávka 48 (Du Val # 44b "(O / C₁; O / C₁)_C^*, Conway +¹/₂₄[O × O] .2₃). Říká se tomu oktaedrická pyramidová skupina a je 3D oktaedrická symetrie, [4,3]. A kubická pyramida může mít tuto symetrii s Schläfliho symbol: ( ) ∨ {4,3}.
      

      [4,3], , oktaedrická pyramidová skupina je izomorfní s 3d oktaedrická symetrie
      • Chirální poloviční podskupina [(4,3)⁺,2,1⁺] = [4,3,1]⁺ = [4,3]⁺, ( = ), objednávka 24 (Du Val # 26b '(O / C₁; O / C₁), Conway +¹/₂₄[O × O]). Toto je 3D chirální oktaedrická skupina, [4,3]⁺. A potlačit kubickou pyramidu může mít tuto symetrii se symbolem Schläfli: () ∨ sr {4,3}.
  • Další reflexní podskupinou s vysokým indexem je prizmatická čtyřboká symetrie, [3,3,2], (), objednávka 48, podskupina index 8, (Du Val # 40b "(O / C₁; O / C₁)^*, Conway +¹/₂₄[O ×Ó].2₃).
    • Chirální podskupina je [3,3,2]⁺, (), objednávka 24, (Du Val # 26b "(O / C₁; O / C₁), Conway +¹/₂₄[O ×Ó]). Příkladem je potlačit čtyřboký protiklad, , i když to nemůže být jednotné.
    • Iontová podskupina je [(3,3)⁺,2], (), objednávka 24, (Du Val # 39b '(T / C₁; T / C₁)_C^*, Conway +¹/₁₂[T ×T].2₃). Příkladem je urážka čtyřboký hranol, .
    • Poloviční podskupina je [3,3,2,1⁺] = [3,3,1] = [3,3], ( = ), objednávka 24, (Du Val # 39b "(T / C₁; T / C₁)₋^*, Conway +¹/₁₂[T ×T].2₁). Říká se tomu čtyřboká pyramidová skupina a je 3D čtyřboká skupina, [3,3]. Pravidelný čtyřboká pyramida může mít tuto symetrii se Schläfliho symbolem: () ∨ {3,3}.
      

      [3,3], , čtyřboká pyramidová skupina je izomorfní s 3d čtyřboká symetrie
      • Chirální poloviční podskupina [(3,3)⁺,2,1⁺] = [3,3]⁺( = ), objednávka 12, (Du Val # 21b '(T / C₁; T / C₁), Conway +¹/₁₂[T × T]). Toto je 3D chirální čtyřboká skupina, [3,3]⁺. A urážka čtyřboká pyramida může mít tuto symetrii se symbolem Schläfli: () ∨ sr {3,3}.
  • Další radiální reflexní podskupina s vysokým indexem je [4, (3,3)^*], index 24, odstraní zrcadla s rozloženými úhly řádu 3 a vytvoří [2,2,2] (), pořadí 16. Ostatní jsou [4,2,4] (), [4,2,2] (), s indexy podskupin 6 a 12, řád 64 a 32. Tyto skupiny jsou nižší symetrie tesseract: (), (), a (). Tyto skupiny jsou #duoprismatic symetry.

Ikositetrachorická symetrie

• Ikositetrachorická skupina – F₄, [3,4,3], (), objednávka 1152, (Du Val # 45 (O / T; O / T)^*, Conway [O × O] .2₃), pojmenovaný pro 24článková (icositetrachoron), . V této symetrii je 24 zrcadlových rovin, které lze rozložit na dvě ortogonální sady 12 zrcadel v demitesseractic symetrie [3^1,1,1] podskupiny, jako [3^*, 4,3] a [3,4,3^*], jako index 6 podskupin.
  • The rozšířená ikositetrachorická skupina, Aut (F₄), [[3,4,3]], () má objednávku 2304, (Du Val # 48 (O / O; O / O)^*, Conway ± [O × O] .2).
    • The chirální rozšířená ikositetrachorická skupina, [[3,4,3]]⁺, () má objednávku 1152, (Du Val # 25 (O / O; O / O), Conway ± [OxO]). Tato skupina představuje konstrukci omnisnub 24 buněk, , i když to nemůže být jednotné.
  • The iontově zmenšené ikositetrachorické skupiny, [3⁺, 4,3] a [3,4,3⁺], ( nebo ), objednejte si 576, (Du Val # 43 (T / T; T / T)^*, Conway ± [T × T] .2). Tato skupina vede k potlačit 24 buněk se stavbou nebo .
    • The zdvojnásobená ikositetrachorická skupina, [3⁺,4,3⁺] (dvojité zmenšení lze zobrazit mezerou ve 4větvém diagramu: ), objednávka 288, (Du Val # 20 (T / T; T / T), Conway ± [T × T]) je podskupina komutátoru z [3,4,3].
      • Lze jej rozšířit jako [[3⁺,4,3⁺]], () objednávka 576, (Du Val # 23 (T / T; O / O), Conway ± [OxT]).
  • The chirální ikositetrachorická skupina je [3,4,3]⁺, (), objednávka 576, (Du Val # 28 (O / T; O / T), Conway ±¹/₂[O × O]).
    • The rozšířená chirální ikositetrachorická skupina, [[3,4,3]⁺] má objednávku 1152, (Du Val # 46 (O / T; O / T)₋^*, Conway ±¹/₂[OxO].2). Coxeter spojuje tuto skupinu s abstraktní skupinou (4,8 | 2,3).^[13]

Demitesseractic symetrie

• Demitesseractic skupina – D₄, [3^1,1,1], [3,3^1,1] nebo [3,3,4,1⁺], ( = ), objednávka 192, (Du Val # 42 (T / V; T / V)₋^*, Conway ±¹/₃[T ×T] .2), pojmenovaný pro (demitesseract) 4-demicube konstrukce 16článkové, nebo . V této skupině symetrie je 12 zrcadel.
  • Přidáním zrcadel existují dva typy rozšířené symetrie: <[3,3^1,1]> který se stane [4,3,3] rozdělením základní domény zrcadlem, se 3 možnými orientacemi; a celá rozšířená skupina [3 [3^1,1,1]] se stává [3,4,3].
  • The chirální demitesseractic skupina je [3^1,1,1]⁺ nebo [1⁺,4,(3,3)⁺], ( = ), objednávka 96, (Du Val # 22 (T / V; T / V), Conway ±¹/₃[T × T]). Tato skupina vede k potlačit 24 buněk se stavbou = .

Hexakosichorická symetrie

[5,3,3]+ 72 řádků 5 objednávek	[5,3,3]+ 200 řádků 3 objednávek
[5,3,3]+ 450 řádků 2 objednávek	[5,3,3]+ všechny pohyby
[5,3], , ikosahedrální pyramidová skupina je izomorfní s 3d ikosahedrální symetrie

• Hexakosichorická skupina – H₄, [5,3,3], (), objednávka 14400, (Du Val # 50 (I / I; I / I)^*, Conway ± [I × I] .2), pojmenovaný pro 600 buněk (hexakosichoron), . To je také někdy nazýváno hyperkosededrální skupina pro rozšíření 3D ikosahedrální skupina [5,3] a hecatonikosachorická skupina nebo dodekacontachorická skupina z 120 buněk, .
  • The chirální hexakosichorická skupina je [5,3,3]⁺, (), objednávka 7200, (Du Val # 30 (I / I; I / I), Conway ± [I × I]). Tato skupina představuje konstrukci potlačit 120 buněk, , i když to nemůže být jednotné.
  • Reflexní podskupina s vysokým indexem je prizmatická dvacetistěnová symetrie, [5,3,2], (), objednávka 240, index podskupiny 60, (Du Val # 49 (I / C₂; I / C.₂)^*, Conway ±¹/₆₀[IxI] .2).
    • Jeho chirální podskupina je [5,3,2]⁺, (), objednávka 120, (Du Val # 31 (I / C₂; I / C.₂), Conway ±¹/₆₀[IxI]). Tato skupina představuje konstrukci urážet dodekahedrální antiprism, , ačkoli to nemůže být jednotné.
    • Iontová podskupina je [(5,3)⁺,2], (), objednat 120, (Du Val # 49 '(I / C₁; I / C₁)^*, Conway +¹/₆₀[IX] .2₁). Tato skupina představuje konstrukci snub dodecahedral hranol, .
    • Poloviční podskupina je [5,3,2,1⁺] = [5,3,1] = [5,3], ( = ), objednávka 120, (Du Val # 49 "(I / C₁; I / C₁)₋^*, Conway +¹/₆₀[IX] .2₃). Říká se tomu ikosahedrální pyramidová skupina a je 3D ikosahedrální skupina, [5,3]. Pravidelný dodekahedrální pyramida může mít tuto symetrii s Schläfliho symbol: ( ) ∨ {5,3}.
      • Chirální poloviční podskupina je [(5,3)⁺,2,1⁺] = [5,3,1]⁺ = [5,3]⁺, ( = ), objednávka 60, (Du Val # 31 '(I / C₁; I / C₁), Conway +¹/₆₀[IxI]). Toto je 3D chirální ikosaedrální skupina, [5,3]⁺. A urážet dodekahedrální pyramidu může mít tuto symetrii s Schläfliho symbol: () ∨ sr {5,3}.

Duoprismatická symetrie

• Duoprismatické skupiny - [p, 2, q], (), objednávka 4pq, existují pro všechny 2 ≤p,q <∞. V této symetrii jsou zrcadla p + q, která se triviálně rozkládají na dvě ortogonální sady zrcadel p a q dihedrální symetrie: [p] a [q].
  • Chirální podskupina je [p, 2, p]⁺,(), objednávka 2pq. Lze jej zdvojnásobit jako [[2p, 2,2p]⁺].
  • Jsou-li p a q stejné, [p, 2, p], (), symetrii lze zdvojnásobit jako [[p, 2, p]], ().
    • Zdvojnásobení: [[str⁺, 2, s⁺]], (), [[2p, 2⁺, 2p]], [[2p⁺,2⁺, 2 s⁺]].
  • [p, 2, ∞], (), představuje a skupiny linek ve 3 prostoru
  • [∞,2,∞], () představuje euklidovskou rovinnou symetrii se dvěma sadami paralelních zrcadel a obdélníkovou doménou (orbifold *2222).
  • Podskupiny zahrnují: [str⁺, 2, q], (), [p, 2, q⁺], (), [str⁺, 2, q⁺], ().
  • A pro sudé hodnoty: [2p, 2⁺, 2q], (), [2p, 2⁺, 2q⁺], (), [(str, 2)⁺, 2q], (), [2p, (2, q)⁺], (), [(str, 2)⁺, 2q⁺], (), [2 s⁺, (2, q)⁺], (), [2 s⁺,2⁺, 2q⁺], () a podskupina komunátora, index 16, [2 s⁺,2⁺, 2q⁺]⁺, ().
• Digonal duoprismatic skupina – [2,2,2], (), objednávka 16.
  • Chirální podskupina je [2,2,2]⁺, (), objednávka 8.
  • Rozšířené [[2,2,2]], (), objednávka 32. The 4-4 duoprism má tuto rozšířenou symetrii, .
    • Chirální rozšířená skupina je [[2,2,2]]⁺, objednávka 16.
    • Rozšířená chirální podskupina je [[2,2,2]⁺], objednávka 16, s rotační odraz generátory. Je izomorfní vůči abstraktní skupině (4,4 | 2,2).
  • Další rozšířené [(3,3) [2,2,2]] = [4,3,3], objednávka 384, # Hexadecachorická symetrie. The tesseract má tuto symetrii, jako nebo .
  • Iontově zmenšené podskupiny jsou [2⁺, 2,2], pořadí 8.
    • Dvojitá zmenšená podskupina je [2⁺,2,2⁺], objednávka 4.
      • Rozšířeno jako [[2⁺,2,2⁺]], objednávka 8.
    • Rotoreflexní podskupiny jsou [2⁺,2⁺,2], [2,2⁺,2⁺], [2⁺,(2,2)⁺], [(2,2)⁺,2⁺] objednávka 4.
    • Trojnásobně zmenšená podskupina je [2⁺,2⁺,2⁺], (), objednávka 2. Je to 2krát dvojitá rotace a 4D centrální inverze.
  • Poloviční podskupina je [1⁺, 2,2,2] = [1,2,2], objednávka 8.
• Trojúhelníková duoprismatická skupina – [3,2,3], , objednávka 36.
  • Chirální podskupina je [3,2,3]⁺, objednávka 18.
  • Rozšířené [[3,2,3]], objednávka 72. The 3-3 duoprism má tuto rozšířenou symetrii, .
    • Chirální rozšířená skupina je [[3,2,3]]⁺, objednávka 36.
    • Rozšířená chirální podskupina je [[3,2,3]⁺], objednávka 36, ​​s rotační odraz generátory. Je izomorfní s abstraktní skupinou (4,4 | 2,3).
  • Další rozšířené [[3], 2,3], [3,2, [3]], řád 72, a jsou izomorfní s [6,2,3] a [3,2,6].
  • A [[3], 2, [3]], řád 144, a je izomorfní s [6,2,6].
  • A [[[[3], 2, [3]]], řád 288, je izomorfní s [[6,2,6]]. The 6–6 duoprism má tuto symetrii, jako nebo .
  • Iontově zmenšené podskupiny jsou [3⁺,2,3], [3,2,3⁺], objednávka 18.
    • Dvojitá zmenšená podskupina je [3⁺,2,3⁺], objednávka 9.
      • Rozšířeno jako [[3⁺,2,3⁺]], objednávka 18.
  • Podskupina s vysokým indexem je [3,2], řád 12, index 3, který je isomorfní s dihedrická symetrie ve třech rozměrech skupina, [3,2], D_3h.
    • [3,2]⁺, objednávka 6
• Čtvercová duoprismatická skupina – [4,2,4], , objednávka 64.
  • Chirální podskupina je [4,2,4]⁺, objednávka 32.
  • Rozšířené [[4,2,4]], objednávka 128. The 4–4 duoprism má tuto rozšířenou symetrii, .
    • Chirální rozšířená skupina je [[4,2,4]]⁺, objednávka 64.
    • Rozšířená chirální podskupina je [[4,2,4]⁺], objednávka 64, s rotační odraz generátory. Je izomorfní s abstraktní skupinou (4,4 | 2,4).
  • Další rozšířené [[4], 2,4], [4,2, [4]], řád 128, a jsou izomorfní s [8,2,4] a [4,2,8]. The 4–8 duoprism má tuto symetrii, jako nebo .
  • A [[4], 2, [4]], řád 256, a je izomorfní s [8,2,8].
  • A [[[[4], 2, [4]]], řád 512, je izomorfní s [[8,2,8]]. The 8–8 duoprism má tuto symetrii, jako nebo .
  • Iontově zmenšené podskupiny jsou [4⁺,2,4], [4,2,4⁺], objednávka 32.
    • Dvojitá zmenšená podskupina je [4⁺,2,4⁺], objednávka 16.
      • Rozšířeno jako [[4⁺,2,4⁺]], objednávka 32.
    • Rotoreflexní podskupiny jsou [4⁺,2⁺,4], [4,2⁺,4⁺], [4⁺,(2,4)⁺], [(4,2)⁺,4⁺], (, , , ) objednávka 16.
    • Trojnásobně zmenšená podskupina je [4⁺,2⁺,4⁺], (), objednávka 8.
  • Poloviční podskupiny jsou [1⁺,4,2,4]=[2,2,4], (), [4,2,4,1⁺]=[4,2,2], (), objednávka 32.
    • [1⁺,4,2,4]⁺=[2,2,4]⁺, (), [4,2,4,1⁺]⁺=[4,2,2]⁺, (), objednávka 16.
  • Polovina opět podskupiny je [1⁺,4,2,4,1⁺]=[2,2,2], (), objednávka 16.
    • [1⁺,4,2,4,1⁺]⁺ = [1⁺,4,2⁺,4,1⁺] = [2,2,2]⁺, () objednávka 8

souhrn

Toto je souhrn 4-dimenzionálního bodové skupiny v Coxeterova notace. 227 z nich jsou krystalografické skupiny bodů (pro konkrétní hodnoty p a q).^[14] (nc) je uveden pro nekrystalografické skupiny. Některé krystalografické skupiny mají své řády indexované (order.index) podle své abstraktní skupinové struktury.^[15]

Konečné skupiny
[ ]: Symbol Objednat [1]+ 1.1 [1] = [ ] 2.1 [2]: Symbol Objednat [1+,2]+ 1.1 [2]+ 2.1 [2] 4.1 [2,2]: Symbol Objednat [2+,2+]+ = [(2+,2+,2+)] 1.1 [2+,2+] 2.1 [2,2]+ 4.1 [2+,2] 4.1 [2,2] 8.1 [2,2,2]: Symbol Objednat [(2+,2+,2+,2+)] = [2+,2+,2+]+ 1.1 [2+,2+,2+] 2.1 [2+,2,2+] 4.1 [(2,2)+,2+] 4 [[2+,2+,2+]] 4 [2,2,2]+ 8 [2+,2,2] 8.1 [(2,2)+,2] 8 [[2+,2,2+]] 8.1 [2,2,2] 16.1 [[2,2,2]]+ 16 [[2,2+,2]] 16 [[2,2,2]] 32	[p]: Symbol Objednat [p]+ p [p] 2 s [str. 2]: Symbol Objednat [p,2]+ 2p [p,2] 4p [2p, 2+]: Symbol Objednat [2p,2+] 4p [2p+,2+] 2p [p,2,2]: Symbol Objednat [p+,2,2+] 2p [(p,2)+,2+] 2p [p,2,2]+ 4p [p,2,2+] 4p [str+,2,2] 4p [(str, 2)+,2] 4p [p, 2,2] 8p [2p,2+,2]: Symbol Objednat [2p+,2+,2+]+ p [2p+,2+,2+] 2p [2p+,2+,2] 4p [2p+,(2,2)+] 4p [2p,(2,2)+] 8p [2p,2+,2] 8p	[p,2,q]: Symbol Objednat [p+,2,q+] pq [p,2,q]+ 2pq [p+,2,q] 2pq [p,2,q] 4pq [(p,2)+,2q]: Symbol Objednat [(p,2)+,2q+] 2pq [(p,2)+,2q] 4pq [2p,2,2q]: Symbol Objednat [2p+,2+,2q+]+= [(2p+,2+,2q+,2+)] pq [2p+,2+,2q+] 2pq [2p,2+,2q+] 4pq [((2p,2)+,(2q,2)+)] 4pq [2p,2+,2q] 8pq [[p,2,p]]: Symbol Objednat [[p+,2,p+]] 2p2 [[p,2,p]]+ 4p2 [[p,2,p]+] 4p2 [[p,2,p]] 8p2 [[2p,2,2p]]: Symbol Objednat [[(2p+,2+,2p+,2+)]] 2p2 [[2p+,2+,2p+]] 4p2 [[((2p,2)+,(2p,2)+)]] 8p2 [[2p,2+,2p]] 16p2	[3,3,2]: Symbol Objednat [(3,3)Δ,2,1+] ≅ [2,2]+ 4 [(3,3)Δ,2] ≅ [2,(2,2)+] 8 [(3,3)⅄,2,1+] ≅ [4,2+] 8 [(3,3)+,2,1+] = [3,3]+ 12.5 [(3,3)⅄,2] ≅ [2,4,2+] 16 [3,3,2,1+] = [3,3] 24 [(3,3)+,2] 24.10 [3,3,2]+ 24.10 [3,3,2] 48.36 [4,3,2]: Symbol Objednat [1+,4,3+,2,1+] = [3,3]+ 12 [3+,4,2+] 24 [(3,4)+,2+] 24 [1+,4,3+,2] = [(3,3)+,2] 24.10 [3+,4,2,1+] = [3+,4] 24.10 [(4,3)+,2,1+] = [4,3]+ 24.15 [1+,4,3,2,1+] = [3,3] 24 [1+,4,(3,2)+] = [3,3,2]+ 24 [3,4,2+] 48 [4,3+,2] 48.22 [4,(3,2)+] 48 [(4,3)+,2] 48.36 [1+,4,3,2] = [3,3,2] 48.36 [4,3,2,1+] = [4,3] 48.36 [4,3,2]+ 48.36 [4,3,2] 96.5 [5,3,2]: Symbol Objednat [(5,3)+,2,1+] = [5,3]+ 60.13 [5,3,2,1+] = [5,3] 120.2 [(5,3)+,2] 120.2 [5,3,2]+ 120.2 [5,3,2] 240 (nc)	[31,1,1]: Symbol Objednat [31,1,1]Δ ≅[[4,2+,4]]+ 32 [31,1,1]⅄ 64 [31,1,1]+ 96.1 [31,1,1] 192.2 <[3,31,1]> = [4,3,3] 384.1 [3[31,1,1]] = [3,4,3] 1152.1 [3,3,3]: Symbol Objednat [3,3,3]+ 60.13 [3,3,3] 120.1 [[3,3,3]]+ 120.2 [[3,3,3]+] 120.1 [[3,3,3]] 240.1 [4,3,3]: Symbol Objednat [1+,4,(3,3)Δ] = [31,1,1]Δ ≅[[4,2+,4]]+ 32 [4,(3,3)Δ] = [2+,4[2,2,2]+] ≅[[4,2+,4]] 64 [1+,4,(3,3)⅄] = [31,1,1]⅄ 64 [1+,4,(3,3)+] = [31,1,1]+ 96.1 [4,(3,3)⅄] ≅ [[4,2,4]] 128 [1+,4,3,3] = [31,1,1] 192.2 [4,(3,3)+] 192.1 [4,3,3]+ 192.3 [4,3,3] 384.1 [3,4,3]: Symbol Objednat [3+,4,3+] 288.1 [3,4,3⅄] = [4,3,3] 384.1 [3,4,3]+ 576.2 [3+,4,3] 576.1 [[3+,4,3+]] 576 (nc) [3,4,3] 1152.1 [[3,4,3]]+ 1152 (nc) [[3,4,3]+] 1152 (nc) [[3,4,3]] 2304 (nc) [5,3,3]: Symbol Objednat [5,3,3]+ 7200 (nc) [5,3,3] 14 400 (nc)

Viz také

• Skupina bodů
• Skupiny bodů ve dvou dimenzích
• Skupiny bodů ve třech dimenzích

Reference

• H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. vydání, Dover New York, 1973
• Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6
  • (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• H.S.M. Coxeter a W. O. J. Moser. Generátory a vztahy pro jednotlivé skupiny 4. vydání, Springer-Verlag. New York. 1980, str. 92, str. 122.
• John .H. Conway a M.J.T. Chlap: Čtyřrozměrné archimédovské polytopySborník kolokvia o konvexitě v Kodani, strana 38 a 39, 1965
• N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
• N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Kapitola 11: Skupiny konečné symetrie, 11.5 Skupiny sférických coxeterů, str. 249
• John H. Conway a Derek A. Smith, Na čtveřicích a oktonionech, 2003, ISBN  978-1-56881-134-5
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie věcí 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Kapitola 26)

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Uniform polychoron“. MathWorld.
• Klitzing, Richarde. „4D uniformní polytopy“.