H4 polytop - H4 polytope

120 buněk	600 buněk

Ve 4-dimenzionálním geometrie, je jich tam 15 jednotné polytopy s H.₄ symetrie. Dva z nich, 120 buněk a 600 buněk, jsou pravidelný.

Vizualizace

Každý lze vizualizovat jako symetrický pravopisné projekce v Coxeterovy roviny H.₄ Skupina Coxeter a další podskupiny.

3D obrázek je nakreslen jako Schlegelův diagram projekce, vycentrované na buňku v poz. 3, s konzistentní orientací, a 5 buněk v poloze 0 je zobrazeno plných.

#	název	Coxeterovo letadlo projekce						Schlegel diagramy		Síť
#	název	F4 [12]	[20]	H4 [30]	H3 [10]	A3 [4]	A2 [3]	Dodecahedron na střed	Čtyřstěn na střed	Síť
1	120 buněk {5,3,3}
2	rektifikovaný 120 buněk r {5,3,3}
3	opraveno 600 buněk r {3,3,5}
4	600 buněk {3,3,5}
5	zkrácený 120 buněk t {5,3,3}
6	kanylovaný 120 buněk rr {5,3,3}
7	runcinated 120-cell (taky runcinated 600-cell) t_0,3{5,3,3}
8	bitruncated 120 buněk (taky bitruncated 600 buněk) t_1,2{5,3,3}
9	kanylovaný 600 buněk t_0,2{3,3,5}
10	zkrácený 600 buněk t {3,3,5}
11	cantitruncated 120-cell tr {5,3,3}
12	runcitruncated 120-cell t_0,1,3{5,3,3}
13	runcitruncated 600-cell t_0,1,3{3,3,4}
14	cantitruncated 600-cell tr {3,3,5}
15	omnitruncated 120-cell (také omnitruncated 600-cell) t_0,1,2,3{5,3,3}

Zmenšené formy
#	název	Coxeterovo letadlo projekce						Schlegel diagramy		Síť
#	název	F4 [12]	[20]	H4 [30]	H3 [10]	A3 [4]	A2 [3]	Dodecahedron na střed	Čtyřstěn na střed	Síť
16	20-zmenšený 600 buněk (velký antiprism )
17	24 zmenšených 600 buněk (potlačit 24 buněk )
18 Nejednotný	Bi-24 zmenšený 600 buněk
19 Nejednotný	120 zmenšených opravených 600 buněk

Souřadnice

Souřadnice jednotných polytopů z H₄ rodiny jsou komplikované. Pravidelné lze vyjádřit pomocí Zlatý řez φ = (1 + √5) / 2 a σ = (3√5 + 1) / 2. Coxeter je vyjádřil jako 5-rozměrné souřadnice.^[1]

n	120 buněk	600 buněk
4D	600 vrcholů 120 buněk zahrnuje všechny obměny z:^[2] (0, 0, ±2, ±2) (±1, ±1, ±1, ±√5) (± φ⁻², ± φ, ± φ, ± φ) (± φ⁻¹, ± φ⁻¹, ± φ⁻¹, ± φ²) a všechno dokonce i obměny z (0, ± φ⁻², ± 1, ± φ²) (0, ± φ⁻¹, ± φ, ±√5) (± φ⁻¹, ± 1, ± φ, ± 2)	Vrcholy 600 buněk vycentrovaných na počátek 4prostoru s hranami délky 1 / φ (kde φ = (1+√5) / 2 je Zlatý řez ), lze zadat následovně: 16 vrcholů formuláře:^[3] (±½, ±½, ±½, ±½), a 8 vrcholů získaných z (0, 0, 0, ± 1) permutací souřadnic. Zbývajících 96 vrcholů se získá braním dokonce i obměny z ½ (± φ, ± 1, ± 1 / φ, 0).
5 D	Nulová součtová permutace: (30): (√5,√5,0,-√5,-√5) (10): ±(4,-1,-1,-1,-1) (40): ± (φ⁻¹, φ⁻¹, φ⁻¹, 2, -σ) (40): ± (φ, φ, φ, -2, - (σ-1)) (120): ± (φ√5, 0,0, φ⁻¹√5,-√5) (120): ± (2,2, φ⁻¹√5, -φ, -3) (240): ± (φ², 2φ⁻¹, φ⁻², -1, -2φ)	Nulová součtová permutace: (20): (√5,0,0,0,-√5) (40): ± (φ², φ⁻²,-1,-1,-1) (60): ± (2, φ⁻¹, φ⁻¹, -φ, -φ)

Reference

J.H. Conway a M.J.T. Chlap: Čtyřrozměrné archimédovské polytopy„Sborník kolokvia o konvexitě v Kodani, strana 38 a 39, 1965
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Symetrie věcí 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 26)
H.S.M. Coxeter:
- H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. vydání, Dover New York, 1973
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 Wiley :: Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966

Poznámky

^ Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, Čtyřrozměrné polytopy “, s. 296-298
^ Weisstein, Eric W. „120 buněk“. MathWorld.
^ Weisstein, Eric W. „600 buněk“. MathWorld.

externí odkazy

Klitzing, Richarde. „4D uniformní 4-polytopes“.
Jednotné konvexní polytopy ve čtyřech rozměrech:, Marco Möller (v němčině)
- Möller, Marco (2004). Vierdimensionale Archimedische Polytope (PDF) (Doktorská práce) (v němčině). Univerzita v Hamburku.
Uniform Polytopes in Four Dimensions George Olshevsky.
- Konvexní uniformní polychora na základě 120 buněk / 600 buněk George Olshevsky.
Jednotné polytopy H4 se souřadnicemi: {5,3,3}, {3,3,5}, r {5,3,3},r {3,3,5}, t {3,3,5}, t {5,3,3}, rr {3,3,5}, rr {5,3,3}, tr {3,3,5}, tr {5,3,3}, 2t {5,3,3}, t03 {5,3,3}, t013 {3,3,5}, t013 {5,3,3}, t0123 {5,3,3}, velký antiprism

Zásadní konvexní pravidelný a jednotné polytopy v rozměrech 2–10
Rodina	A_n	B_n	Já₂(p) / D_n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H_n
Pravidelný mnohoúhelník	Trojúhelník	Náměstí	p-gon	Šestiúhelník	Pentagon
Jednotný mnohostěn	Čtyřstěn	Octahedron • Krychle	Demicube		Dodecahedron • Dvacetistěnu
Jednotný 4-polytop	5článková	16 buněk • Tesseract	Demitesseract	24článková	120 buněk • 600 buněk
Jednotný 5-mnohostěn	5-simplexní	5-orthoplex • 5 kostek	5-demicube
Jednotný 6-polytop	6-simplexní	6-orthoplex • 6 kostek	6-demicube	1₂₂ • 2₂₁
Jednotný 7-polytop	7-simplexní	7-orthoplex • 7 kostek	7-demicube	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Jednotný 8-polytop	8-simplexní	8-orthoplex • 8 kostek	8-demicube	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Jednotný 9-polytop	9-simplexní	9-orthoplex • 9 kostek	9-demicube
Jednotný 10-polytop	10-simplexní	10-orthoplex • 10 kostek	10-demicube
Jednotný n-polytop	n-simplexní	n-orthoplex • n-krychle	n-demicube	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-pětiúhelníkový mnohostěn
Témata: Polytopové rodiny • Pravidelný mnohostěn • Seznam běžných polytopů a sloučenin

[1] Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, Čtyřrozměrné polytopy “, s. 296-298

[2] Weisstein, Eric W. „120 buněk“. MathWorld.

[3] Weisstein, Eric W. „600 buněk“. MathWorld.

[1]

[2]

[3]