Symetrické rozdělení pravděpodobnosti - Symmetric probability distribution

v statistika, a symetrické rozdělení pravděpodobnosti je rozdělení pravděpodobnosti —Přiřazení pravděpodobností možným událostem — které se nezmění, když je funkce hustoty pravděpodobnosti nebo funkce pravděpodobnostní hmotnosti je odráží kolem svislé čáry při určité hodnotě náhodná proměnná představuje distribuce. Tato svislá čára je čára symetrie distribuce. Pravděpodobnost, že bude jakákoli daná vzdálenost na jedné straně hodnoty, k níž dochází k symetrii, je tedy stejná jako pravděpodobnost, že bude stejná vzdálenost na druhé straně této hodnoty.

Formální definice

O rozdělení pravděpodobnosti se říká, že je symetrické kdyby a jen kdyby existuje hodnota ${ displaystyle x_ {0}}$ takhle

{ displaystyle f (x_ {0} - delta) = f (x_ {0} + delta)}

pro všechna reálná čísla

{ displaystyle delta,}

kde F je funkce hustoty pravděpodobnosti, pokud je rozdělení kontinuální nebo funkce pravděpodobnostní hmotnosti, pokud je rozdělení oddělený.

Vícerozměrné distribuce

Stupeň symetrie ve smyslu zrcadlové symetrie lze kvantitativně vyhodnotit pro vícerozměrné distribuce s chirálním indexem, který nabývá hodnot v intervalu [0; 1] a který je nulový, právě když je distribuce zrcadlově symetrická^[1]Distribuce d-variací je tedy definována jako zrcadlově symetrická, když je její chirální index nulový. Distribuce může být diskrétní nebo spojitá a existence hustoty není nutná, ale setrvačnost musí být konečná a nenulová. v jednorozměrném případě byl tento index navržen jako neparametrický test symetrie^[2].

Pro spojitou symetrickou sférickou sféru dal Mir M. Ali následující definici. Nechat ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ označit třídu sféricky symetrických distribucí absolutně spojitého typu v n-dimenzionálním euklidovském prostoru majícím spojovou hustotu tvaru ${ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}) = g (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + dots + x_ {n } ^ {2})}$ uvnitř koule se středem v počátku s předepsaným poloměrem, který může být konečný nebo nekonečný a jinde nulový.^[3]

Vlastnosti

The medián a znamenat (pokud existuje) symetrického rozdělení se vyskytují v bodě ${ displaystyle x_ {0}}$ o kterém dochází k symetrii.
Pokud je symetrické rozdělení unimodální, režimu se shoduje s mediánem a průměrem.
Všechny zvláštní ústřední momenty symetrického rozdělení rovného nule (pokud existují), protože při výpočtu takových momentů jsou negativní členy vyplývající ze záporných odchylek od ${ displaystyle x_ {0}}$ přesně vyvážit kladné podmínky vyplývající ze stejných kladných odchylek od ${ displaystyle x_ {0}}$ .
Každá míra šikmost se rovná nule pro symetrické rozdělení.

Funkce hustoty pravděpodobnosti

Funkce hustoty pravděpodobnosti symetrického spojitého rozdělení obvykle obsahuje hodnotu indexu ${ displaystyle x}$ pouze v kontextu výrazu ${ displaystyle (x-x_ {0}) ^ {2k}}$ kde ${ displaystyle k}$ je nějaké kladné celé číslo (obvykle 1). Tento kvadratický nebo jiný sudý výraz má stejnou hodnotu pro ${ displaystyle x = x_ {0} - delta}$ pokud jde o ${ displaystyle x = x_ {0} + delta}$ , dávat symetrii o ${ displaystyle x_ {0}}$ . Někdy funkce hustoty obsahuje termín ${ displaystyle | x-x_ {0} |}$ , což také ukazuje symetrii o ${ displaystyle x_ {0}.}$

Unimodální případ

Částečný seznam příkladů

Následující rozdělení jsou symetrická pro všechny parametrizace. (Mnoho dalších distribucí je pro konkrétní parametrizaci symetrických.)

Reference

^ Petitjean, M. (2002). "Chirální směsi" (PDF). Journal of Mathematical Physics. 43 (8): 4147–4157. doi:10.1063/1.1484559.
^ Petitjean, M (2020). „Tabulky kvantil distribuce empirického chirálního indexu v případě jednotného práva a v případě normálního zákona“. arXiv:2005.09960 [stat.ME ].
^ Ali, Mir M. (1980). "Charakterizace normálního rozdělení mezi spojitou symetrickou sférickou třídou". Journal of the Royal Statistical Society. Řada B (metodická). 42 (2): 162–164. doi:10.1111 / j.2517-6161.1980.tb01113.x. JSTOR 2984955.

[1] Petitjean, M. (2002). "Chirální směsi" (PDF). Journal of Mathematical Physics. 43 (8): 4147–4157. doi:10.1063/1.1484559.

[2] Petitjean, M (2020). „Tabulky kvantil distribuce empirického chirálního indexu v případě jednotného práva a v případě normálního zákona“. arXiv:2005.09960 [stat.ME ].

[3] Ali, Mir M. (1980). "Charakterizace normálního rozdělení mezi spojitou symetrickou sférickou třídou". Journal of the Royal Statistical Society. Řada B (metodická). 42 (2): 162–164. doi:10.1111 / j.2517-6161.1980.tb01113.x. JSTOR 2984955.

[1]

[2]

[3]

Pravděpodobnostní rozdělení (Seznam )
Diskrétní univariate s konečnou podporou	Benford Bernoulli beta-binomický binomický kategorický hypergeometrický Poissonův binomický Rademacher soliton diskrétní uniforma Zipf Zipf – Mandelbrot
Diskrétní univariate s nekonečnou podporou	beta negativní binomický Borel Conway – Maxwell – Poisson diskrétní fázový typ Delaporte rozšířený záporný binomický Flory – Schulz Gauss – Kuzmin geometrický logaritmický negativní binomický Panjer parabolický fraktál jed Skellam Yule – Simon zeta
Kontinuální univariate podporováno v omezeném intervalu	arcsine ARGUS Plešatění - Nichols Bates beta beta obdélníkový kontinuální Bernoulli Irwin – Hall Kumaraswamy logit-normální noncentral beta zvýšený kosinus reciproční trojúhelníkový U-kvadratický jednotný Wigner půlkruh
Kontinuální univariate podporováno v poloneomezeném intervalu	Benini Benktander 1. druhu Benktander 2. druhu beta prime Burr chi-kvadrát chi Dagum Davise exponenciálně-logaritmická Erlang exponenciální F složené normální Fréchet gama gama / Gompertz zobecněná gama generalizovaná inverzní Gaussian Gompertz poloviční logistika napůl normální Hotelling's T- naštvaný hyper-Erlang hyperexponenciální hypoexponenciální inverzní chí-kvadrát měřítko inverzní chi-kvadrát inverzní Gaussian inverzní gama Kolmogorov Lévy log-Cauchy log-Laplace log-logistické normální log Lomax matice-exponenciální Maxwell – Boltzmann Maxwell – Jüttner Mittag-Leffler Nakagami necentrální chi-kvadrát necentrální F Pareto fázový typ poly-Weibull Rayleigh relativistický Breit – Wigner Rýže posunul Gompertz zkrácen normální Gumbel typu 2 Weibulle diskrétní Weibull Wilksova lambda
Kontinuální univariate podporováno na celé reálné linii	Cauchy exponenciální síla Fisher z Gaussian q zobecněný normální generalizované hyperbolické geometrický stabilní Gumbel Holtsmark hyperbolický sekans Johnson S_U Landau Laplace asymetrický Laplace logistické necentrální t normální (Gaussian) normálně-inverzní Gaussian zkosení normální rozřezat stabilní Studentské t Gumbel typu 1 Tracy – Widom variance-gama Voigt
Kontinuální univariate s podporou, jejíž typ se liší	generalizovaný chí-kvadrát zobecněná extrémní hodnota zobecněný Pareto Marchenko – Pastur q-exponenciální q-Gaussian q-Weibulle posunutá log-logistika Tukey lambda
Smíšený spojitý-diskrétní univariate	opravený Gaussian
Vícerozměrný (společný)	Oddělený Ewens multinomiální Dirichlet-multinomiální negativní multinomiální Kontinuální Dirichlet zobecněný Dirichlet vícerozměrný Laplace vícerozměrný normální vícerozměrný stabilní vícerozměrný t normální-inverzní-gama normální-gama Maticovou hodnotu inverzní matice gama inverzní Wishart matice normální matice t matice gama normální-inverzní-Wishart normální-Wishart Wishart
Směrový	Univariate (kruhový) směrový Kruhová uniforma univariate von Mises zabalené normální zabalený Cauchy zabalený exponenciál zabalený asymetrický Laplace zabalená Lévy Bivariate (sférické) Kent Bivariate (toroidní) bivariát von Mises Vícerozměrný von Mises – Fisher Bingham
Degenerovat a jednotné číslo	Degenerovat Diracova delta funkce Jednotné číslo Cantor
Rodiny	Oběžník složený Poisson eliptický exponenciální přirozený exponenciál měřítko umístění maximální entropie směs Pearson Tweedie zabalené