Lander, Parkin a Selfridge domněnka - Lander, Parkin, and Selfridge conjecture
The Lander, Parkin a Selfridge domněnka se týká celočíselného řešení rovnic, které obsahují součty podobných mocnin. Rovnice jsou zevšeobecněním rovnic uvažovaných v Fermatova poslední věta. Domněnka je, že pokud je součet některých k-tá mocnina se rovná součtu jiných k-tá mocnina, pak celkový počet termínů v obou součtech musí být alespoň k.
Pozadí
Diophantine rovnice, například celočíselná verze rovnice A2 + b2 = C2 který se objeví v Pythagorova věta, byly studovány pro své celé číslo řešení vlastnosti po staletí. Fermatova poslední věta uvádí, že pro pravomoci větší než 2, rovnice Ak + bk = Ck nemá řešení v nenulové celá čísla A, b, C. Rozšíření počtu podmínky na jedné nebo obou stranách a umožňující vyšší mocnosti než 2 vedly k Leonhard Euler navrhnout v roce 1769, že pro všechna celá čísla n a k větší než 1, pokud je součet n kSíla kladných celých čísel je sama o sobě a ktedy moc n je větší nebo rovno k.
V symbolech, pokudkde n > 1 a jsou kladná celá čísla, pak jeho domněnka byla, že n ≥ k.
v 1966, protiklad k Eulerův součet sil dohad byl nalezen uživatelem Leon J. Lander a Thomas R. Parkin pro k = 5:[1]
- 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445.
V následujících letech dále protiklady byly nalezeny, včetně pro k = 4. Ten vyvrátil konkrétnější Eulerova kvartická domněnka a sice to A4 + b4 + C4 = d4 nemá žádná kladná celočíselná řešení. Nejmenší řešení, které bylo nalezeno v roce 1988, je ve skutečnosti
- 4145604 + 2175194 + 958004 = 4224814.
Dohad
V roce 1967 L. J. Lander, T. R. Parkin a John Selfridge domnělý[2] to když , kde Ai ≠ bj jsou kladná celá čísla pro všechny 1 ≤i ≤ n a 1 ≤j ≤ m, pak m+n ≥ k. Rovnocenný součet podobných mocnin se často zkracuje jako (k, m, n).
Malé příklady s (související s zobecněné číslo taxíku ) zahrnout (známé Eulerovi) a (nalezeno K. Subba Rao v roce 1934).
Domněnka implikuje ve zvláštním případě m = 1 že pokud
(za podmínek uvedených výše) n ≥ k − 1.
Pro tento speciální případ m = 1, některá známá řešení splňující navrhované omezení s n ≤ k, kde jsou termíny kladná celá čísla, tedy dává a rozdělit síly do podobných sil, jsou:[3]
- k = 3
- 33 + 43 + 53 = 63.
- k = 4
- 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814(Roger Frye, 1988)
- 304 + 1204 + 2724 + 3154 = 3534(R. Norrie, 1911)
Fermatova poslední věta říká, že pro k = 4 domněnka je pravdivá.
- k = 5
- 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445(Lander, Parkin, 1966)
- 75 + 435 + 575 + 805 + 1005 = 1075, (Sastry, 1934, třetí nejmenší)
- k = 6
- (Není známo. Od roku 2002 neexistují žádná řešení, jejichž konečný termín je ≤ 730000.[4] )
- k = 7
- 1277 + 2587 + 2667 + 4137 + 4307 + 4397 + 5257 = 5687(M. Dodrill, 1999)
- k = 8
- 908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 13248 = 14098(Scott Chase, 2000)
- k ≥ 9
- (Není známo.)
Aktuální stav
Není známo, zda je domněnka pravdivá, nebo zda existují řešení, která by byla protipříklady, jako např Ak + bk = Ck + dk pro k ≥ 5.
Viz také
- Experimentální matematika (protipříklady Eulerova součtu sil dohad, zvláště nejmenší řešení pro k = 4)
- Jacobi – Maddenova rovnice
- Prouhet – Tarry – Escott problém
- Bealova domněnka
- Pytagorova čtyřnásobná
- Seznam nevyřešených úloh z matematiky
- Součty sil, seznam souvisejících dohadů a vět
Reference
- ^ L. J. Lander; T. R. Parkin (1966). „Protiklad Eulerova domněnky o částech podobných sil“. Býk. Amer. Matematika. Soc. 72: 1079. doi:10.1090 / S0002-9904-1966-11654-3.
- ^ L. J. Lander; T. R. Parkin; J. L. Selfridge (1967). „Průzkum rovných částek podobných sil“. Matematika výpočtu. 21 (99): 446–459. doi:10.1090 / S0025-5718-1967-0222008-0. JSTOR 2003249.
- ^ Citováno v Meyrignac, Jean-Charles (14. února 2001). „Výpočet minimálního stejného součtu podobných schopností: Nejznámější řešení“. Citováno 17. července 2017.
- ^ Giovanni Resta a Jean-Charles Meyrignac (2002). Nejmenší řešení diofantické rovnice , Mathematics of Computation, v. 72, str. 1054 (Viz další práce sekce).
- Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel. Problémové knihy z matematiky (3. vydání). New York, NY: Springer-Verlag. D1. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.
externí odkazy
- EulerNet: Výpočet minimálních stejných součtů podobných pravomocí
- Jaroslaw Wroblewski Stejné částky podobných sil
- Tito Piezas III: Sbírka algebraických identit
- Weisstein, Eric W. „Diophantine Equation - 5th Powers“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Diophantine Equation - 6th Powers“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation - 7. Powers". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Diophantine Equation - 8th Powers“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Dohoda Eulerova součtu sil“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Eulerova kvartická domněnka“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation - 4th Powers". MathWorld.
- Eulerova domněnka na library.thinkquest.org
- Jednoduché vysvětlení Eulerova domněnky at Maths is Good For You!
- Matematici najdou nová řešení starodávné hádanky
- Ed Pegg Jr. Mocenské částky Matematické hry