Eulersova domněnka o součtu sil - Eulers sum of powers conjecture - Wikipedia

Eulerova domněnka je vyvrácen dohad v matematika související s Fermatova poslední věta. Navrhl to Leonhard Euler v roce 1769. Uvádí to pro všechny celá čísla n a k větší než 1, pokud je součet n kSíla kladných celých čísel je sama o sobě a ktedy moc n je větší nebo rovno k:

A k
1  + A k
2  + ... + A k
n  = b^k ⇒ n ≥ k

Domněnka představuje pokus o zobecnění Fermatova poslední věta, což je zvláštní případ n = 2: pokud A k
1  + A k
2  = b^k, pak 2 ≥ k.

Ačkoli domněnka platí pro případ k = 3 (což vyplývá z Fermatovy poslední věty pro třetí mocnosti), bylo vyvráceno k = 4 a k = 5. Není známo, zda domněnka selže nebo platí pro jakoukoli hodnotu k ≥ 6.

Pozadí

Euler si byl vědom rovnosti 59⁴ + 158⁴ = 133⁴ + 134⁴ zahrnující součty čtyř čtvrtých mocností; toto však není protiklad protože na jedné straně rovnice není izolován žádný člen. Poskytl také kompletní řešení problému se čtyřmi kostkami jako v Platónovo číslo 3³ + 4³ + 5³ = 6³ nebo číslo taxíku 1729.^[1][2] Obecné řešení rovnice

${ displaystyle x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} = x_ {3} ^ {3} + x_ {4} ^ {3}}$

je

${ displaystyle x_ {1} = 1- (a-3b) (a ^ {2} + 3b ^ {2}), quad x_ {2} = (a + 3b) (a ^ {2} + 3b ^ {2}) - 1}$

${ displaystyle x_ {3} = (a + 3b) - (a ^ {2} + 3b ^ {2}) ^ {2}, quad x_ {4} = (a ^ {2} + 3b ^ {2 }) ^ {2} - (a-3b)}$

kde A a b jsou libovolná celá čísla.

Protiklady

Eulerova domněnka byla vyvrácena L. J. Lander a T. R. Parkin v roce 1966, kdy prostřednictvím přímého počítačového vyhledávání na a CDC 6600, našli protiklad pro k = 5.^[3] Toto bylo zveřejněno v příspěvku obsahujícím pouze dvě věty.^[3] Jsou známy celkem tři primitivní (tj. Ve kterých sčítání nemají všichni společný faktor) protiklady:

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵ (Lander & Parkin, 1966),

(−220)⁵ + 5027⁵ + 6237⁵ + 14068⁵ = 14132⁵ (Scher & Seidl, 1996) a

55⁵ + 3183⁵ + 28969⁵ + 85282⁵ = 85359⁵ (Frye, 2004).

V roce 1986 Noam Elkies našel metodu pro konstrukci nekonečné řady protikladů pro k = 4 případ.^[4] Jeho nejmenší protiklad byl

2682440⁴ + 15365639⁴ + 18796760⁴ = 20615673⁴.

Zvláštní případ řešení Elkies lze omezit na identitu^[5][6]

(85proti² + 484proti − 313)⁴ + (68proti² − 586proti + 10)⁴ + (2u)⁴ = (357proti² − 204proti + 363)⁴

kde

u² = 22030 + 28849proti − 56158proti² + 36941proti³ − 31790proti⁴.

Tohle je eliptická křivka s racionální bod na proti₁ = −31/467. Z tohoto počátečního racionálního bodu lze vypočítat nekonečnou sbírku dalších. Střídání proti₁ do identity a odstranění společných faktorů dává výše uvedený numerický příklad.

V roce 1988 Roger Frye našel nejmenší možný protiklad

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴

pro k = 4 přímým prohledáváním počítače pomocí technik navržených Elkiesem. Toto řešení je jediné s hodnotami proměnných pod 1 000 000.^[7]

Zobecnění

Jedna interpretace Platónova čísla, 3³ + 4³ + 5³ = 6³

V roce 1967 L. J. Lander, T. R. Parkin a John Selfridge domnělý^[8] to když

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = sum _ {j = 1} ^ {m} b_ {j} ^ {k}}$,

kde A_i ≠ b_j jsou kladná celá čísla pro všechny 1 ≤ i ≤ n a 1 ≤ j ≤ m, pak m + n ≥ k. Ve zvláštním případě m = 1, domněnka uvádí, že pokud

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = b ^ {k}}$

(za podmínek uvedených výše) n ≥ k − 1.

Zvláštní případ lze popsat jako problém s a rozdělit dokonalé síly na několik podobných sil. Pro k = 4, 5, 7, 8 a n = k nebo k − 1, existuje mnoho známých řešení. Některé z nich jsou uvedeny níže. Od roku 2002 neexistují žádná řešení pro ${ displaystyle k = 6}$ jejichž konečné funkční období je ≤ 7 500 000.^[9]

k = 3

3³ + 4³ + 5³ = 6³ (Platónovo číslo 216)

Tohle je ten případ A=1, b= 0 z Srinivasa Ramanujan vzorec

${ displaystyle (3a ^ {2} + 5ab-5b ^ {2}) ^ {3} + (4a ^ {2} -4ab + 6b ^ {2}) ^ {3} + (5a ^ {2} - 5ab-3b ^ {2}) ^ {3} = (6a ^ {2} -4ab + 4b ^ {2}) ^ {3}.}$ ^[10]

Kostku jako součet tří kostek lze také parametrizovat jako

${ displaystyle a ^ {3} (a ^ {3} + b ^ {3}) ^ {3} = b ^ {3} (a ^ {3} + b ^ {3}) ^ {3} + a ^ {3} (a ^ {3} -2b ^ {3}) ^ {3} + b ^ {3} (2a ^ {3} -b ^ {3}) ^ {3}}$

nebo jako

${ displaystyle a ^ {3} (a ^ {3} + 2b ^ {3}) ^ {3} = a ^ {3} (a ^ {3} -b ^ {3}) ^ {3} + b ^ {3} (a ^ {3} -b ^ {3}) ^ {3} + b ^ {3} (2a ^ {3} + b ^ {3}) ^ {3}.}$^[10]

Číslo 2 100 000³ lze vyjádřit jako součet tří kostek devíti různými způsoby.^[10]

k = 4

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴ (R. Frye, 1988)^[4]

30⁴ + 120⁴ + 272⁴ + 315⁴ = 353⁴ (R. Norrie, 1911)^[8]

Toto je nejmenší řešení problému R. Norrie.

k = 5

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵ (Lander & Parkin, 1966)^[11]

19⁵ + 43⁵ + 46⁵ + 47⁵ + 67⁵ = 72⁵ (Lander, Parkin, Selfridge, nejmenší, 1967)^[8]

7⁵ + 43⁵ + 57⁵ + 80⁵ + 100⁵ = 107⁵ (Sastry, 1934, třetí nejmenší)^[8]

k = 7

127⁷ + 258⁷ + 266⁷ + 413⁷ + 430⁷ + 439⁷ + 525⁷ = 568⁷ (M. Dodrill, 1999)^{[Citace je zapotřebí ]}

k = 8

90⁸ + 223⁸ + 478⁸ + 524⁸ + 748⁸ + 1088⁸ + 1190⁸ + 1324⁸ = 1409⁸ (S. Chase, 2000)^{[Citace je zapotřebí ]}

Viz také

• Jacobi – Maddenova rovnice
• Prouhet – Tarry – Escott problém
• Bealova domněnka
• Pytagorova čtyřnásobná
• Zobecněné číslo taxíku
• Součty sil, seznam souvisejících dohadů a vět

Reference

externí odkazy

• Tito Piezas III, Sbírka algebraických identit
• Jaroslaw Wroblewski, Stejné částky podobných sil
• Ed Pegg Jr., Matematické hry, moc součty
• James Waldby, Tabulka pátých sil rovnajících se páté moci (2009)
• R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert, Všechna řešení diofantické rovnice A⁶ + b⁶ = C⁶ + d⁶ + E⁶ + F⁶ + G⁶ pro A,b,C,d,E,F,G Nalezeno <250000 s distribuovaným projektem Boinc
• EulerNet: Výpočet minimálních stejných součtů podobných pravomocí
• Weisstein, Eric W. „Dohoda Eulerova součtu sil“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Eulerova kvartická domněnka“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation - 4th Powers". MathWorld.
• Eulerova domněnka na library.thinkquest.org
• Jednoduché vysvětlení Eulerova domněnky at Maths is Good For You!