Bhāskara II - Bhāskara II

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte zlepšit to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek případně obsahuje nevhodné nebo nesprávně interpretované citace to ne ověřit text. Prosím pomozte vylepšit tento článek kontrolou nepřesností citací. (Listopad 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Bhāskara II“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Listopad 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Důkaz Pythagorovy věty, Bhaskara.

Bhāskara (c. 1114–1185) také známý jako Bhāskarācārya („Bhāskara, učitel“) a jako Bhāskara II aby nedošlo k záměně s Bhāskara I., byl indický matematik a astronom. Narodil se v Bijapur v Karnataka.^[1]

Bhaskara byl vůdcem kosmické observatoře v Ujjain, hlavní matematické centrum starověku Indie.^[2] Bhāskara a jeho práce představují významný příspěvek k matematickým a astronomickým znalostem ve 12. století. Byl nazýván největším matematikem středověké Indie.^[3] Jeho hlavní dílo Siddhānta-Śiromani, (Sanskrt pro „Crown of Treatises“)^[4] je rozdělen na čtyři části zvané Līlāvatī, Bījagaṇita, Grahagaṇita a Golādhyāya,^[5] které jsou také někdy považovány za čtyři nezávislá díla.^[6] Tyto čtyři části pojednávají o aritmetice, algebře, matematice planet a sférách. Napsal také další pojednání s názvem Karaṇā Kautūhala.^[6]

Bhāskarova práce na počet předchází Newton a Leibniz o více než půl tisíciletí.^[7][8] Známý je zejména v objevu principů diferenciálního počtu a jeho aplikaci na astronomické problémy a výpočty. Zatímco Newton a Leibniz byli připočítáni s diferenciálním a integrálním počtem, existují přesvědčivé důkazy o tom, že Bhāskara byl průkopníkem v některých principech diferenciálního počtu. Byl možná první, kdo vymyslel diferenciální koeficient a diferenciální počet.^[9]

Dne 20. Listopadu 1981 Indická organizace pro vesmírný výzkum (ISRO) zahájila Satelitní satelit Bhaskara II ctít matematika a astronoma.^[10]

Datum, místo a rodina

Bhāskara uvádí své datum narození a datum složení svého významného díla ve verši v Āryā metr:^[6]

rasa-guṇa-porṇa-mahīsama
śhaka-nṛpa samaye 'bhavat mamotpattiḥ /
rasa-guṇa-varṣeṇa mayā
siddhānta-śiromaṇī racitaḥ //

To odhaluje, že se narodil v roce 1036 Éra Shaka (1114 CE ), poblíž Vijjadavida (věřil být Bijjaragi Vijayapur v moderní Karnataka a že složil Siddhānta-Śiromaṇī když mu bylo 36 let.^[6] Napsal také další dílo s názvem Karaṇa-kutūhala když mu bylo 69 let (v roce 1183).^[6] Jeho práce ukazují vliv Brahmagupta, Śrīdhara, Mahávíra, Padmanābha a další předchůdci.^[6]

Bhāskara se říká, že byl hlavou astronomický observatoř v Ujjain, přední matematické centrum středověké Indie. Žil v Sahyadri region (Patnadevi, v okrese Jalgaon, Maharashtra).^[11]

Historie zaznamenává, že jeho pra-pra-pra-dědeček zastával dědičné místo jako dvorní učenec, stejně jako jeho syn a další potomci. Jeho otec Maheśvara^[11] (Maheśvaropādhyāya^[6]) byl matematik, astronom^[6] a astrolog, který ho učil matematiku, kterou později předal svému synovi Loksamudrovi. Syn Loksamudry pomohl v roce 1207 založit školu pro studium Bhāskarových spisů. Zemřel v roce 1185 n. L.

The Siddhānta-Śiromani

Līlāvatī

První část Līlāvatī (také známý jako pāṭīgaṇita nebo aṅkagaṇita), pojmenovaný po jeho dceři, se skládá z 277 veršů.^[6] Pokrývá výpočty, průběhy, měření, permutace a další témata.^[6]

Bijaganita

Druhá část Bījagaṇita(Algebra) má 213 veršů.^[6] Diskutuje nula, nekonečno, kladná a záporná čísla a neurčité rovnice včetně (nyní nazývaných) Pellova rovnice, řešení pomocí a kuṭṭaka metoda.^[6] Zejména také vyřešil ${ displaystyle 61x ^ {2} + 1 = y ^ {2}}$ případ, který měl uniknout Fermat a jeho evropští současníci o staletí později.^[6]

Grahaganita

Ve třetí části GrahagaṇitaPři léčbě pohybu planet uvažoval o jejich okamžitých rychlostech.^[6] Dospěl k aproximaci:^[12] Skládá se ze 451 veršů

${ displaystyle sin y '- sin y přibližně (y'-y) cos y}$ pro ${ displaystyle '$ blízko k ${ displaystyle y}$, nebo v moderní notaci:^[12]

${ displaystyle { frac {d} {dy}} sin y = cos y}$.

Podle jeho slov:^[12]

bimbārdhasya koṭijyā guṇastrijyāhāraḥ phalaṃ dorjyāyorantaram

Tento výsledek také dříve pozoroval Muñjalācārya (nebo Mañjulācārya) mānasam, v kontextu tabulky sinusů.^[12]

Bhāskara také uvedl, že v nejvyšším bodě je okamžitá rychlost planety nulová.^[12]

Matematika

Některé z Bhaskarových příspěvků k matematice zahrnují následující:

• Důkaz o Pythagorova věta výpočtem stejného plocha dvěma různými způsoby a poté zrušením podmínek A² + b² = C².^[13]
• v Lilavatiřešení kvadratický, krychlový a kvartální neurčité rovnice jsou vysvětleny.^[14]
• Řešení neurčitých kvadratických rovnic (typu sekera² + b = y²).
• Celočíselné řešení lineárních a kvadratických neurčitých rovnic (Kuṭṭaka ). Pravidla, která dává, jsou (ve skutečnosti) stejná jako pravidla daná renesance Evropští matematici 17. století
• Cyklický Chakravala metoda pro řešení neurčitých rovnic formy sekera² + bx + C = y. Řešení této rovnice bylo tradičně přisuzováno Williamu Brounckerovi v roce 1657, ačkoli jeho metoda byla obtížnější než chakravala metoda.
• První obecná metoda pro nalezení řešení problému X² − ny² = 1 (tzv. "Pellova rovnice ") dal Bhaskara II.^[15]
• Řešení Diophantine rovnice druhého řádu, například 61X² + 1 = y². Tato rovnice byla v roce 1657 považována za problém francouzština matematik Pierre de Fermat, ale jeho řešení bylo v Evropě neznámé až do roku 2006 Euler v 18. století.^[14]
• Vyřešil kvadratické rovnice s více než jednou neznámou a našel záporný a iracionální řešení.^{[Citace je zapotřebí ]}
• Předběžná koncepce matematická analýza.
• Předběžná koncepce infinitezimální počet, spolu s významnými příspěvky k integrální počet.^[16]
• Počat diferenciální počet, poté, co objevil aproximaci derivát a rozdíl součinitel.
• Stanovený Rolleova věta, speciální případ jedné z nejdůležitějších vět v analýze, věta o střední hodnotě. Stopy věty o obecné střední hodnotě lze nalézt také v jeho pracích.
• Vypočítané deriváty trigonometrických funkcí a vzorců. (Viz část Calculus níže.)
• v Siddhanta-Śiromani, Vyvinul Bhaskara sférická trigonometrie spolu s řadou dalších trigonometrický Výsledek. (Viz část trigonometrie níže.)

Aritmetický

Bhaskara aritmetický text Līlāvatī pokrývá témata definic, aritmetické termíny, výpočet úroků, aritmetické a geometrické průběhy, rovinná geometrie, objemová geometrie stín stínu gnomon, metody řešení neurčitý rovnice a kombinace.

Līlāvatī je rozdělena do 13 kapitol a zahrnuje mnoho oborů matematiky, aritmetiky, algebry, geometrie a malé trigonometrie a měření. Konkrétněji obsah zahrnuje:

• Definice.
• Vlastnosti nula (počítaje v to divize a pravidla provozu s nulou).
• Další rozsáhlá numerická práce, včetně použití záporná čísla a surds.
• Odhad π.
• Aritmetické termíny, metody násobení, a kvadratura.
• Inverzní pravidlo tří a pravidla 3, 5, 7, 9 a 11.
• Problémy spojené zájem a výpočet úroků.
• Neurčité rovnice (Kuṭṭaka ), celočíselná řešení (prvního a druhého řádu). Jeho příspěvky k tomuto tématu jsou obzvláště důležité,^{[Citace je zapotřebí ]} protože pravidla, která dává, jsou (ve skutečnosti) stejná jako pravidla daná renesance Evropští matematici 17. století, ale jeho práce byla z 12. století. Bhaskarova metoda řešení byla zdokonalením metod nalezených v práci Aryabhata a následující matematici.

Jeho práce je vynikající pro svou systematizaci, vylepšené metody a nová témata, která představil. Kromě toho Lilavati obsahoval vynikající problémy a předpokládá se, že Bhaskarovým záměrem mohlo být, aby se student „Lilavati“ zabýval mechanickým použitím metody.^{[Citace je zapotřebí ]}

Algebra

Jeho Bījaganita ("Algebra „) bylo dílem ve dvanácti kapitolách. Byl to první text, který poznal, že kladné číslo má dvě odmocniny (kladná a záporná druhá odmocnina).^[17] Jeho práce Bījaganita je účinně pojednáním o algebře a obsahuje následující témata:

• Pozitivní a záporná čísla.
• „Neznámý“ (zahrnuje určení neznámých množství).
• Určení neznámých veličin.
• Surds (zahrnuje hodnocení surdů).
• Kuṭṭaka (pro řešení neurčité rovnice a Diophantine rovnice ).
• Jednoduché rovnice (neurčité pro druhý, třetí a čtvrtý stupeň).
• Jednoduché rovnice s více než jednou neznámou.
• Neurčitý kvadratické rovnice (typu sekera² + b = y²).
• Řešení neurčitých rovnic druhého, třetího a čtvrtého stupně.
• Kvadratické rovnice.
• Kvadratické rovnice s více než jednou neznámou.
• Operace s produkty několika neznámých.

Bhaskara odvodil cyklický, chakravala metoda pro řešení neurčitých kvadratických rovnic tvarové osy² + bx + c = y.^[17] Bhaskarova metoda pro nalezení řešení problému Nx² + 1 = r² (takzvaný "Pellova rovnice „) má značný význam.^[15]

Trigonometrie

The Siddhānta Shiromani (napsáno v roce 1150) demonstruje Bhaskarovy znalosti trigonometrie, včetně sinusové tabulky a vztahů mezi různými trigonometrickými funkcemi. Také se vyvinul sférická trigonometrie, spolu s dalšími zajímavými trigonometrické Výsledek. Bhaskara se zdálo, že se o trigonometrii zajímá více sám, než jeho předchůdci, kteří ji viděli jen jako nástroj pro výpočet. Mezi mnoha zajímavými výsledky, které Bhaskara uvedl, patří výsledky nalezené v jeho pracích včetně výpočtu sinusů úhlů 18 a 36 stupňů a nyní dobře známých vzorců pro ${ displaystyle sin left (a + b right)}$ a ${ displaystyle sin left (a-b right)}$.

Počet

Jeho práce, Siddhānta Shiromani, je astronomické pojednání a obsahuje mnoho teorií, které nebyly nalezeny v dřívějších pracích.^{[Citace je zapotřebí ]} Předběžné koncepty nekonečně malý počet a matematická analýza, spolu s řadou výsledků v trigonometrie, diferenciální počet a integrální počet které se v práci nacházejí, jsou obzvláště zajímavé.

Důkazy naznačují, že Bhaskara byl obeznámen s některými myšlenkami diferenciálního počtu.^[17] Bhaskara také jde hlouběji do „diferenciálního počtu“ a navrhuje, aby diferenciální koeficient mizel při extrémní hodnotě funkce, což naznačuje znalost pojmu „nekonečně malá čísla '.^[18]

• Existují důkazy o rané formě Rolleova věta ve své práci
  • Li ${ Displaystyle f left (a right) = f left (b right) = 0}$ pak ${ displaystyle f ' left (x right) = 0}$ pro některé ${ displaystyle x}$ s ${ displaystyle a$
• Dal výsledek, že pokud ${ displaystyle x přibližně y}$ pak ${ displaystyle sin (y) - sin (x) přibližně (y-x) cos (y)}$, čímž našel derivaci sinu, i když pojem deriváty nikdy nevyvinul.^[19]
  • Bhaskara používá tento výsledek k výpočtu úhlu polohy ekliptický, množství potřebné k přesné předpovědi času zatmění.
• Při výpočtu okamžitého pohybu planety nebyl časový interval mezi po sobě následujícími polohami planet větší než a truti nebo¹⁄₃₃₇₅₀ vteřiny a jeho míra rychlosti byla vyjádřena v této nekonečně malé jednotce času.
• Byl si vědom, že když proměnná dosáhne maximální hodnoty, je její rozdíl zmizí.
• Ukázal také, že když je planeta nejvzdálenější od Země nebo nejblíže, rovnice středu (míra vzdálenosti planety od polohy, ve které se předpokládá, za předpokladu, že se má pohybovat rovnoměrně) zmizí. Došel tedy k závěru, že pro nějakou mezipolohu je rozdíl rovnice středu roven nule.^{[Citace je zapotřebí ]} V tomto výsledku jsou stopy generála věta o střední hodnotě, jedna z nejdůležitějších vět v analýze, která je dnes obvykle odvozena od Rolleovy věty. Věta o střední hodnotě byla později nalezena Parameshvara v 15. století v Lilavati Bhasya, komentář k Bhaskarovi Lilavati.

Madhava (1340–1425) a Škola Kerala matematici (včetně Parameshvary) od 14. do 16. století rozšířili Bhaskarovu práci a dále pokročili ve vývoji počet v Indii.

Astronomie

Pomocí astronomického modelu vyvinutého společností Brahmagupta v 7. století Bhāskara přesně definoval mnoho astronomických veličin, včetně například délky hvězdný rok, doba potřebná k oběžné dráze Země kolem Slunce, přibližně 365,2588 dnů, což je stejná doba jako v Suryasiddhanta.^{[Citace je zapotřebí ]} Moderní přijímané měření je 365,25636 dnů, rozdíl pouhých 3,5 minuty.^[20]

Jeho matematický astronomický text Siddhanta Shiromani je napsán ve dvou částech: první část o matematické astronomii a druhá část o koule.

Dvanáct kapitol první části se věnuje tématům jako:

• Znamenat zeměpisné délky z planety.
• Skutečné zeměpisné délky planet.
• Strom problémy z denní rotace (Denní pohyb je astronomický termín označující zdánlivý denní pohyb hvězd kolem Země, nebo přesněji kolem dvou nebeských pólů. Je to způsobeno rotací Země na její ose, takže každá hvězda se zjevně pohybuje po kruhu, který se nazývá denní kruh.)
• Syzygies.
• Zatmění měsíce.
• Zatmění slunce.
• Zeměpisné šířky planet.
• Rovnice východu slunce
• The Měsíc je půlměsíc.
• Spojení planet navzájem.
• Spojení planet s pevnými hvězdy.
• Cesty Slunce a Měsíce.

Druhá část obsahuje třináct kapitol o kouli. Pokrývá témata jako:

• Chvála studia sféry.
• Povaha koule.
• Kosmografie a zeměpis.
• Planetární střední pohyb.
• Výstřední epicyklický model planet.
• The armilární sféra.
• Sférická trigonometrie.
• Elipsa výpočty.^{[Citace je zapotřebí ]}
• První viditelnost planet.
• Výpočet lunárního půlměsíce.
• Astronomické přístroje.
• The roční období.
• Problémy astronomických výpočtů.

Inženýrství

Nejstarší zmínka o a věčný pohyb stroj pochází z roku 1150, kdy Bhāskara II popsal a kolo o kterém tvrdil, že poběží navždy.^[21]

Bhāskara II použil měřicí zařízení známé jako Yaṣṭi-yantra. Toto zařízení se může lišit od jednoduchého držáku až po tyče ve tvaru písmene V určené speciálně pro určování úhlů pomocí kalibrované stupnice.^[22]

Legendy

Ve své knize Lilavati, zdůvodňuje: „V této veličině, jejíž dělitelem je nula, nedochází ke změně, i když do ní vstoupilo nebo z ní vyšlo mnoho veličin, stejně jako v době ničení a stvoření, když do ní vstupují davy tvorů a vyjít z něho, v nekonečném a neměnném [Višnuovi] se nic nezmění “.^[23]

"Spatřit!"

Několik autorů uvedlo, že Bhaskara II dokázal Pythagorovu větu nakreslením diagramu a uvedením jediného slova „Hle!“.^[24][25] Někdy je Bhaskarovo jméno vynecháno a toto se označuje jako Hinduistický důkaz, dobře známé školáky.^[26]

Jak však zdůrazňuje historik matematiky Kim Plofker, po předložení vypracovaného příkladu uvádí Bhaskara II Pythagorovu větu:

Z důvodu stručnosti je tedy druhá odmocnina součtu čtverců paže a svisle přepona: je tedy prokázána.^[27]

Poté následuje:

A jinak, když člověk stanoví ty části postavy, [pouze] vidí [to je dostačující].^[27]

Plofker naznačuje, že toto další prohlášení může být konečným zdrojem rozšířeného „Hle!“ legenda.

Viz také

• Seznam indických matematiků

Reference

Bibliografie

• Burton, David M. (2011), Dějiny matematiky: Úvod (7. vydání), McGraw Hill, ISBN  978-0-07-338315-6
• Eves, Howard (1990), Úvod do dějin matematiky (6. vydání), Saunders College Publishing, ISBN  978-0-03-029558-4
• Mazur, Joseph (2005), Euklid v deštném pralese, Oblak, ISBN  978-0-452-28783-9
• Sarkār, Benoy Kumar (1918), Hinduistické úspěchy v exaktní vědě: studie v historii vědeckého vývoje, Longmans, Green a spol.
• Seal, pane Brajendranath (1915), Pozitivní vědy starověkých hinduistů, Longmans, Green a spol.
• Colebrooke, Henry T. (1817), Aritmetika a měření Brahmegupty a Bhaskary
• White, Lynn Townsend (1978), „Tibet, Indie a Malajsko jako zdroje západní středověké technologie“, Středověké náboženství a technologie: sebrané eseje, University of California Press, ISBN  978-0-520-03566-9
• Selin, Helaine, vyd. (2008), „Astronomical Instruments in India“, Encyklopedie dějin vědy, technologie a medicíny v nezápadních kulturách (2. vydání)Springer Verlag Ny, ISBN  978-1-4020-4559-2
• Shukla, Kripa Shankar (1984), „Použití počtu v hinduistické matematice“, Indian Journal of History of Science, 19: 95–104
• Pingree, David Edwin (1970), Sčítání exaktních věd v sanskrtu, Svazek 146, American Philosophical Society, ISBN  9780871691460
• Plofker, Kim (2007), „Mathematics in India“, in Katz, Victor J. (ed.), Matematika Egypta, Mezopotámie, Číny, Indie a islámu: Zdrojová kniha, Princeton University Press, ISBN  9780691114859
• Plofker, Kim (2009), Matematika v Indii, Princeton University Press, ISBN  9780691120676
• Cooke, Roger (1997), „Matematika hinduistů“, Dějiny matematiky: Stručný kurz, Wiley-Interscience, str.213–215, ISBN  0-471-18082-3
• Poulose, K. G. (1991), K. G. Poulose (ed.), Vědecké dědictví Indie, matematika, Svazek 22, Ravivarma Samskr̥ta granthāvali, Govt. Sanskrit College (Tripunithura, Indie)
• Chopra, Pran Nath (1982), Náboženství a komunity v Indii, Vision Books, ISBN  978-0-85692-081-3
• Goonatilake, Susantha (1999), Směrem ke globální vědě: těžba civilizačních znalostí, Indiana University Press, ISBN  978-0-253-21182-8
• Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, eds. (2001), Matematika napříč kulturami: historie nezápadní matematiky, Volume 2 of Science across cultures, Springer, ISBN  978-1-4020-0260-1
• Stillwell, John (2002), Matematika a její historie, Pregraduální texty z matematiky Springer, ISBN  978-0-387-95336-6
• Sahni, Madhu (2019), Pedagogika matematiky, Nakladatelství Vikas, ISBN  978-9353383275

Další čtení

• W. W. Rouse Ball. Krátký popis dějin matematiky, 4. vydání. Publikace Dover, 1960.
• George Gheverghese Joseph. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2. vydání. Knihy tučňáků, 2000.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Bhāskara II“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews. University of St Andrews, 2000.
• Ian Pearce. Bhaskaracharya II v archivu MacTutor. St Andrews University, 2002.
• Pingree, David (1970–1980). „Bhāskara II“. Slovník vědecké biografie. 2. New York: Synové Charlese Scribnera. str. 115–120. ISBN  978-0-684-10114-9.

externí odkazy

• MacTutor biografie
• 4to40 životopis
• Kalkul v Kerale