Transformace energie - Power transform

v statistika, a výkonová transformace je rodina funkcí, které se používají k vytvoření souboru monotónní transformace používání dat výkonové funkce. To je užitečné transformace dat technika používaná ke stabilizaci rozptylu, aby data byla více normální distribuce -zlepšit platnost asociačních opatření, jako je Pearsonova korelace mezi proměnnými a pro další postupy stabilizace dat.

Výkonové transformace se všudypřítomně používají v různých oblastech. Například, multi-rozlišení a vlnková analýza^[1], statistická analýza dat, lékařský výzkum, modelování fyzikálních procesů^[2], geochemická analýza dat^[3], epidemiologie^[4] a mnoho dalších oblastí klinického, environmentálního a sociálního výzkumu.

Definice

Transformace výkonu je definována jako kontinuálně se měnící funkce s ohledem na výkonový parametr λ, ve formě dílčí funkce, díky níž je spojitá v bodě singularity (λ = 0). Pro datové vektory (y₁,..., y_n) ve kterém každý y_i > 0, transformace výkonu je

${displaystyle y_ {i} ^ {(lambda)} = {egin {cases} {dfrac {y_ {i} ^ {lambda} -1} {lambda (operatorname {GM} (y)) ^ {lambda -1}} }, & {ext {if}} lambda eq 0 [12pt] operatorname {GM} (y) ln {y_ {i}}, a {ext {if}} lambda = 0end {cases}}}$

kde

${displaystyle operatorname {GM} (y) = left (prod _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} ight) ^ {frac {1} {n}} = {sqrt [{n}] {y_ { 1} y_ {2} cdots y_ {n}}},}$

je geometrický průměr pozorování y₁, ..., y_n. Důvod pro ${displaystyle lambda = 0}$ je limit jako ${displaystyle lambda}$ přístupy 0. Chcete-li to vidět, všimněte si toho ${displaystyle y_ {i} ^ {lambda}}$ = ${displaystyle operatorname {exp} ({lambda operatorname {log} (y_ {i})}) = 1 + lambda operatorname {log} (y_ {i}) + O ((lambda operatorname {log} (y_ {i})) ) ^ {2})}$. Pak ${displaystyle {dfrac {y_ {i} ^ {lambda} -1} {lambda}}}$ = ${displaystyle operatorname {log} (y_ {i}) + O (lambda)}$a všechno kromě ${displaystyle operatorname {log} (y_ {i})}$ se stane zanedbatelnou pro ${displaystyle lambda}$ dostatečně malý.

Zahrnutí (λ - 1) ta síla geometrického průměru ve jmenovateli zjednodušuje vědecký výklad jakékoli rovnice zahrnující ${displaystyle y_ {i} ^ {(lambda)}}$, protože měrné jednotky se nemění jako λ Změny.

Box a Cox (1964) zavedli do této transformace geometrický průměr tím, že nejprve zahrnuli Jacobian transformace energie se změněnou stupnicí

${displaystyle {dfrac {y ^ {lambda} -1} {lambda}}}$.

s pravděpodobností. Tento Jacobian je následující:

${displaystyle J (lambda; y_ {1}, ..., y_ {n}) = prod _ {i = 1} ^ {n} | dy_ {i} ^ {(lambda)} / dy | = prod _ { i = 1} ^ {n} y_ {i} ^ {lambda -1} = operatorname {GM} (y) ^ {n (lambda -1)}}$

To umožňuje normální zaznamenejte maximální pravděpodobnost psát následovně:

${displaystyle log ({mathcal {L}} ({hat {mu}}, {hat {sigma}})) = (- n / 2) (log (2pi {hat {sigma}} ^ {2}) + 1 ) + n (lambda -1) log (operatorname {GM} (y))}$

${displaystyle = (- n / 2) (log (2pi {hat {sigma}} ^ {2} / operatorname {GM} (y) ^ {2 (lambda -1)}) + 1).}$

Odtud vstřebávání ${displaystyle operatorname {GM} (y) ^ {2 (lambda -1)}}$ do výrazu pro ${displaystyle {hat {sigma}} ^ {2}}$ vytvoří výraz, který stanoví, že minimalizuje součet čtverců zbytky z ${displaystyle y_ {i} ^ {(lambda)}}$je ekvivalentní maximalizaci součtu normálu zaznamenat pravděpodobnost odchylek od ${displaystyle (y ^ {lambda} -1) / lambda}$ a protokol jakobiána transformace.

Hodnota na Y = 1 pro všechny λ je 0 a derivát s ohledem na Y pro 1 je 1 λ. Někdy Y je verze nějaké jiné proměnné, jejíž měřítko je třeba dát Y = 1 při nějaké průměrné hodnotě.

Transformace je a Napájení transformace, ale provedená takovým způsobem, aby to bylo možné kontinuální s parametrem λ na λ = 0. Ukázalo se populární v regresní analýza, počítaje v to ekonometrie.

Box a Cox také navrhli obecnější formu transformace, která zahrnuje parametr posunu.

${displaystyle au (y_ {i}; lambda, alpha) = {egin {cases} {dfrac {(y_ {i} + alpha) ^ {lambda} -1} {lambda (operatorname {GM} (y + alpha)) ^ {lambda -1}}} & {ext {if}} lambda eq 0, operatorname {GM} (y + alpha) ln (y_ {i} + alpha) & {ext {if}} lambda = 0, konec {případů}}}$

který platí, pokud y_i + α> 0 pro všechnyi. Pokud τ (Y, λ, α) následuje a zkrácené normální rozdělení, pak Y následuje a Distribuce Box – Cox.

Bickel a Doksum eliminovali potřebu používat a zkrácená distribuce rozšířením rozsahu transformace na všechny y, jak následuje:

${displaystyle au (y_ {i}; lambda, alpha) = {egin {cases} {dfrac {operatorname {sgn} (y_ {i} + alpha) | y_ {i} + alpha | ^ {lambda} -1} { lambda (operatorname {GM} (y + alpha)) ^ {lambda -1}}} & {ext {if}} lambda eq 0, operatorname {GM} (y + alpha) operatorname {sgn} (y + alfa ) ln (y_ {i} + alfa) & {ext {if}} lambda = 0, konec {případů}}}$,

kde sgn (.) je znaková funkce. Tato změna definice má malý praktický význam, pokud ${displaystyle alpha}$ je méně než ${displaystyle operatorname {min} (y_ {i})}$, což obvykle je.^[5]

Bickel a Doksum rovněž prokázali, že odhady parametrů jsou konzistentní a asymptoticky normální za vhodných pravidelných podmínek, i když standardem Cramér – Rao dolní mez může podstatně podcenit rozptyl, když jsou hodnoty parametrů malé vzhledem k rozptylu šumu.^[5] Tento problém podcenění odchylky však nemusí být podstatným problémem v mnoha aplikacích.^[6][7]

Box – Coxova transformace

Jednoparametrické transformace Box – Cox jsou definovány jako

${displaystyle y_ {i} ^ {(lambda)} = {egin {cases} {dfrac {y_ {i} ^ {lambda} -1} {lambda}} & {ext {if}} lambda eq 0, ln y_ {i} & {ext {if}} lambda = 0, konec {případů}}}$

a dvouparametrické transformace Box – Cox jako

${displaystyle y_ {i} ^ {({oldsymbol {lambda}})} = {egin {cases} {dfrac {(y_ {i} + lambda _ {2}) ^ {lambda _ {1}} - 1} { lambda _ {1}}} a {ext {if}} lambda _ {1} eq 0, ln (y_ {i} + lambda _ {2}) & {ext {if}} lambda _ {1} = 0 , konec {případů}}}$

jak je popsáno v původním článku.^[8][9] První transformace navíc platí ${displaystyle y_ {i}> 0}$a druhý pro ${displaystyle y_ {i}> - lambda _ {2}}$.^[8]

Parametr ${displaystyle lambda}$ se odhaduje pomocí pravděpodobnost profilu funkce.^{[Citace je zapotřebí ]}

Interval spolehlivosti

Interval spolehlivosti pro transformaci Box – Cox může být asymptoticky konstruované použitím Wilksova věta na pravděpodobnost profilu funkce najít všechny možné hodnoty ${displaystyle lambda}$ které splňují následující omezení:^[10]

${displaystyle ln {ig (} L (lambda) {ig)} geq ln {ig (} L ({hat {lambda}}) {ig)} - {frac {1} {2}} {chi ^ {2} } _ {1,1-alpha}.}$

Příklad

Soubor dat jater BUPA^[11] obsahuje údaje o jaterních enzymech ALT a γGT. Předpokládejme, že nás zajímá použití log (γGT) k předpovědi ALT. Graf dat se objeví v panelu (a) obrázku. Zdá se, že existuje nekonstantní variance a může pomoci transformace Box – Cox.

Pravděpodobnost logaritmu parametru výkonu se zobrazí v panelu (b). Vodorovná referenční čára je ve vzdálenosti χ₁²/ 2 z maxima a lze jej použít k odečtení přibližně 95% intervalu spolehlivosti pro λ. Vypadá to, že by hodnota blízká nule byla dobrá, takže vezmeme protokoly.

Je možné, že transformaci lze zlepšit přidáním parametru posunu k transformaci protokolu. Panel (c) na obrázku ukazuje pravděpodobnost log. V tomto případě se maximum pravděpodobnosti blíží nule, což naznačuje, že parametr posunu není nutný. Poslední panel zobrazuje transformovaná data se superponovanou regresní přímkou.

Všimněte si, že ačkoli transformace Box – Cox mohou udělat velká vylepšení přizpůsobení modelu, existují určité problémy, s nimiž transformace nemůže pomoci. V aktuálním příkladu jsou data spíše těžká, takže předpoklad normality není realistický a robustní regrese přístup vede k přesnějšímu modelu.

Ekonometrická aplikace

Ekonomové často charakterizují produkční vztahy nějakou variantou transformace Box – Cox.^[12]

Zvažte společné zastoupení výroby Q závislé na službách poskytovaných základním kapitálem K. a podle pracovní doby N:

${displaystyle au (Q) = alfa au (K) + (1-alfa) au (N).,}$

Řešení pro Q převrácením transformace Box – Cox, kterou jsme našli

${displaystyle Q = {ig (} alfa K ^ {lambda} + (1-alfa) N ^ {lambda} {ig)} ^ {1 / lambda} ,,}$

který je známý jako konstantní elasticita substituce (CES) produkční funkce.

Produkční funkce CES je a homogenní funkce prvního stupně.

Když λ = 1, vytvoří se funkce lineární produkce:

${displaystyle Q = alfa K + (1-alpha) N.,}$

Když λ → 0 to produkuje slavný Cobb – Douglas produkční funkce:

${displaystyle Q = K ^ {alpha} N ^ {1-alpha}.,}$

Činnosti a demonstrace

The SOCR stránky zdrojů obsahují řadu praktických interaktivních aktivit^[13] demonstrace transformace Box – Cox (napájení) pomocí appletů a grafů Java. Ty přímo ilustrují účinky této transformace na Q-Q grafy, X-Y scatterplots, časové řady pozemky a histogramy.

Yeo-Johnsonova transformace

Transformace Yeo-Johnson^[14]umožňuje také nulové a záporné hodnoty ${displaystyle y}$.${displaystyle lambda}$ může být jakékoli reálné číslo, kde ${displaystyle lambda = 1}$ vytváří transformaci identity. Zákon transformace zní:

${displaystyle y_ {i} ^ {(lambda)} = {egin {cases} ((y_ {i} +1) ^ {lambda} -1) / lambda & {ext {if}} lambda eq 0, ygeq 0 log (y_ {i} +1) & {ext {if}} lambda = 0, ygeq 0 - [(- y_ {i} +1) ^ {(2-lambda)} - 1] / (2-lambda ) & {ext {if}} lambda eq 2, y <0 -log (-y_ {i} +1) & {ext {if}} lambda = 2, y <0end {cases}}}$

Poznámky

Reference

• Box, George E. P.; Cox, D. R. (1964). "Analýza transformací". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 26 (2): 211–252. JSTOR  2984418. PAN  0192611.
• Carroll, RJ; Ruppert, D. (1981). „O predikci a rodině transformace moci“ (PDF). Biometrika. 68 (3): 609–615. doi:10.1093 / biomet / 68.3.609.
• DeGroot, M. H. (1987). „Rozhovor s Georgem Boxem“. Statistická věda. 2 (3): 239–258. doi:10.1214 / ss / 1177013223.
• Handelsman, DJ (2002). "Optimální transformace energie pro analýzu koncentrace spermií a dalších proměnných spermatu". Journal of Andrology. 23 (5).
• Gluzman, S .; Yukalov, V. I. (2006). Msgstr "Samopodobná moc transformuje problémy s extrapolací". Journal of Mathematical Chemistry. 39 (1): 47–56. arXiv:cond-mat / 0606104. Bibcode:2006. druhé mat. 6104G. doi:10.1007 / s10910-005-9003-7.
• Howarth, R. J .; Earle, S. A. M. (1979). "Aplikace generalizované transformace energie na geochemická data". Journal of the International Association for Mathematical Geology. 11 (1): 45–62. doi:10.1007 / BF01043245.

externí odkazy

• Nishii, R. (2001) [1994], „Box – Coxova transformace“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS (pevný odkaz )
• Sanford Weisberg, Yeo-Johnson Power Transformations