Tsallisova entropie - Tsallis entropy

Ve fyzice je Tsallisova entropie je zobecněním standardu Boltzmann – Gibbsova entropie.

Přehled

Koncept byl představen v roce 1988 společností Constantino Tsallis^[1] jako základ pro zobecnění standardní statistické mechaniky a je tvarově shodný s Havrda – Charvát strukturní α-entropie^[2], představený v roce 1967 v rámci teorie informace. Ve vědecké literatuře se diskutuje o fyzickém významu Tsallisovy entropie.^[3][4][5] Od roku 2000 však bylo identifikováno stále širší spektrum přírodních, umělých a sociálních komplexních systémů, které potvrzují předpovědi a důsledky, které vyplývají z této neaditivní adropie, jako je například neextenzivní statistická mechanika^[6] který zobecňuje Boltzmannovu-Gibbsovu teorii.

Mezi různými experimentálními ověřeními a aplikacemi, které jsou v současné době k dispozici v literatuře, si zaslouží zvláštní zmínku následující:

1. Distribuce charakterizující pohyb chladných atomů v disipativních optických mřížkách předpovězená v roce 2003^[7] a pozorováno v roce 2006.^[8]
2. Kolísání magnetického pole v solární bouře umožnil výpočet q-triplet (nebo Tsallis triplet).^[9]
3. Distribuce rychlosti v poháněném disipativním prašném plazmatu.^[10]
4. Roztočte sklo relaxace.^[11]
5. Zachycený iont interakce s klasikou vyrovnávací plyn.^[12]
6. Vysokoenergetické kolizní experimenty v LHC / CERN (detektory CMS, ATLAS a ALICE)^[13][14] a RHIC / Brookhaven (detektory STAR a PHENIX).^[15]

Z různých dostupných teoretických výsledků, které objasňují fyzikální podmínky, za kterých platí Tsallisova entropie a související statistiky, lze vybrat následující:

1. Anomální difúze.^[16][17]
2. Věta o jedinečnosti.^[18]
3. Citlivost na počáteční podmínky a výroba entropie na pokraji chaosu.^[19][20]
4. Sady pravděpodobnosti které činí aditivní entalpii Tsallis v termodynamickém smyslu rozsáhlou.^[21]
5. Silně kvantově zapletené systémy a termodynamika.^[22]
6. Termostatika přehnané pohyb interagujících částic.^[23][24]
7. Nelineární zobecnění Schroedinger, Klein – Gordon a Diracovy rovnice.^[25]
8. Výpočet entropie černé díry.^[26]

Další podrobnosti najdete v bibliografii na http://tsallis.cat.cbpf.br/biblio.htm

Vzhledem k diskrétní sadě pravděpodobností ${displaystyle {p_ {i}}}$ s podmínkou ${displaystyle sum _ {i} p_ {i} = 1}$, a ${displaystyle q}$ jakékoli skutečné číslo, Tsallisova entropie je definován jako

${displaystyle S_ {q} ({p_ {i}}) = {k nad q-1} vlevo (1-součet _ {i} p_ {i} ^ {q} ight),}$

kde ${displaystyle q}$ je skutečný parametr, který se někdy nazývá entropický index.V limitu jako ${displaystyle q o 1}$, obvyklá Boltzmann – Gibbsova entropie je obnovena, a to

${displaystyle S_ {BG} = S_ {1} (p) = - ksum _ {i} p_ {i} ln p_ {i}.}$

Pro kontinuální rozdělení pravděpodobnosti definujeme entropii jako

${displaystyle S_ {q} [p] = {1 nad q-1} vlevo (1-int (p (x)) ^ {q}, dxight),}$

kde ${displaystyle p (x)}$ je funkce hustoty pravděpodobnosti.

Tsallis Entropy byla použita společně s Princip maximální entropie odvodit Distribuce Tsallis.

Různé vztahy

Diskrétní Tsallisova entropie uspokojuje

${displaystyle S_ {q} = - lim _ {xightarrow 1} D_ {q} součet _ {i} p_ {i} ^ {x}}$

kde D_q je q-derivát s ohledem na X. To lze porovnat se standardním entropickým vzorcem:

${displaystyle S = -lim _ {xightarrow 1} {frac {d} {dx}} součet _ {i} p_ {i} ^ {x}}$

Neaditivita

Vzhledem ke dvěma nezávislým systémům A a B, pro které kloub hustota pravděpodobnosti splňuje

${displaystyle p (A, B) = p (A) p (B) ,,}$

Tsallisova entropie tohoto systému uspokojuje

${displaystyle S_ {q} (A, B) = S_ {q} (A) + S_ {q} (B) + (1-q) S_ {q} (A) S_ {q} (B).,}$

Z tohoto výsledku je zřejmé, že parametr ${displaystyle | 1-q |}$ je měřítkem odklonu od aditivity. V limitu kdy q = 1,

${displaystyle S (A, B) = S (A) + S (B) ,,}$

což se od aditivního systému očekává. Tato vlastnost se někdy označuje jako „pseudoaditivita“.

Exponenciální rodiny

Mnoho běžných distribucí jako normální rozdělení patří do statistik exponenciální rodiny.Tallisovu entropii pro exponenciální rodinu lze zapsat ^[27] tak jako

${displaystyle H_ {q} ^ {T} (p_ {F} (x; heta)) = {frac {1} {1-q}} vlevo ((e ^ {F (q heta) -qF (heta)}) ) E_ {p} [e ^ {(q-1) k (x)}] - 1 světlo)}$

kde F je log-normalizátor a k výraz označující míru nosiče. Pro vícerozměrný normální výraz k je nula, a proto je Tsallisova entropie v uzavřené formě.

Zobecněné entropie

Několik zajímavých fyzických systémů^[28] dodržujte entropii funkcionáři které jsou obecnější než standardní Tsallisova entropie. Proto bylo zavedeno několik fyzicky smysluplných zobecnění. Dva nejvíce generálové z nich jsou: Superstatistika, kterou zavedli C. Beck a E. G. D. Cohen v roce 2003^[29] a Spectral Statistics, představili G. A. Tsekouras a Constantino Tsallis v roce 2005.^[30] Obě tyto entropické formy mají statistiku Tsallis a Boltzmann – Gibbs jako speciální případy; Bylo prokázáno, že spektrální statistika alespoň obsahuje superstatistiky a předpokládá se, že zahrnuje i některé další případy.^{[Citace je zapotřebí ]}

Viz také

• Rényiho entropie
• Distribuce Tsallis

Reference

Další čtení

• Furuichi, Shigeru; Mitroi-Symeonidis, Flavia-Corina; Symeonidis, Eleutherius (2014). „O některých vlastnostech Tsallis hypoentropies and hypodivergences“. Entropie. 16 (10): 5377–5399. doi:10,3390 / e16105377.
• Furuichi, Shigeru; Mitroi, Flavia-Corina (2012). "Matematické nerovnosti pro některé odchylky". Physica A. 391 (1–2): 388–400. arXiv:1104.5603. doi:10.1016 / j.physa.2011.07.052. S2CID  92394.
• Furuichi, Shigeru; Minculete, Nicușor; Mitroi, Flavia-Corina (2012). „Některé nerovnosti na zobecněných entropiích“. Journal of Nerovností a aplikací. 2012: 226. doi:10.1186 / 1029-242X-2012-226.

externí odkazy

• Statistika Tsallis, statistická mechanika pro rozsáhlé systémy a interakce na velké vzdálenosti