Periodický bod - Periodic point

v matematika, ve studii o iterované funkce a dynamické systémy, a periodický bod a funkce je bod, do kterého se systém vrací po určitém počtu iterací funkcí nebo po určité době.

Iterované funkce

Vzhledem k tomu, mapování F od a soubor X do sebe,

{displaystyle f: X o X,}

bod X v X se nazývá periodický bod, pokud existuje n aby

{displaystyle f_ {n} (x) = x}

kde ${displaystyle f_ {n}}$ je nth opakovat z F. Nejmenší pozitivní celé číslo n splňující výše uvedené se nazývá hlavní období nebo nejmenší období bodu X. Pokud každý bod dovnitř X je periodický bod se stejnou periodou n, pak F je nazýván periodicky s tečkou n (toto nelze zaměňovat s pojmem a periodická funkce ).

Pokud existují odlišné n a m takhle

{displaystyle f_ {n} (x) = f_ {m} (x)}

pak X se nazývá a preperiodický bod. Všechny periodické body jsou preperiodické.

Li F je difeomorfismus a diferencovatelné potrubí, takže derivát ${displaystyle f_ {n} ^ {prime}}$ je definován, pak se říká, že periodický bod je hyperbolický -li

{displaystyle | f_ {n} ^ {prime} | ekvivalent 1,}

že je to přitažlivý -li

{displaystyle | f_ {n} ^ {prime} | <1,}

a to je odpuzující -li

{displaystyle | f_ {n} ^ {prime} |> 1.}

Pokud dimenze z stabilní potrubí periodického bodu nebo pevného bodu je nula, bod se nazývá a zdroj; pokud je jeho rozměr nestabilní potrubí je nula, nazývá se a dřez; a pokud stabilní i nestabilní potrubí mají nenulovou dimenzi, nazývá se a sedlo nebo sedlový bod.

Příklady

Bod-jeden bod se nazývá a pevný bod.

The logistická mapa

{displaystyle x_ {t + 1} = rx_ {t} (1-x_ {t}), qquad 0leq x_ {t} leq 1, qquad 0leq rleq 4}

vykazuje periodicitu pro různé hodnoty parametru r. Pro r mezi 0 a 1, 0 je jediný periodický bod, s periodou 1 (dává posloupnost 0, 0, 0, ..., která přitahuje všechny oběžné dráhy). Pro r mezi 1 a 3 je hodnota 0 stále periodická, ale nepřitahuje, zatímco hodnota (r − 1) / r je přitahující periodický bod období 1. S r větší než 3, ale menší než 1 + √6, existuje pár bodů-2 body, které společně tvoří přitažlivou sekvenci, stejně jako nelákací období-1 body 0 a (r − 1) / r. Jako hodnota parametru r stoupá k 4, vznikají skupiny periodických bodů s jakýmkoli kladným celým číslem pro dané období; pro některé hodnoty r jedna z těchto opakujících se sekvencí přitahuje, zatímco pro ostatní žádná z nich není (téměř všechny dráhy jsou chaotické).

Dynamický systém

Vzhledem k tomu, skutečný globální dynamický systém (R, X, Φ) s X the fázový prostor a evoluční funkce,

{displaystyle Phi: mathbb {R} je X o X}

bod X v X je nazýván periodicky s doba t pokud existuje t > 0 tak

{displaystyle Phi (t, x) = x,}

Nejmenší pozitivní t s touto vlastností se nazývá hlavní období bodu X.

Vlastnosti

Vzhledem k periodickému bodu X s tečkou str, pak ${displaystyle Phi (t, x) = Phi (t + p, x)}$ pro všechny t v R
Vzhledem k periodickému bodu X pak všechny body na obíhat ${displaystyle gamma _ {x}}$ přes X jsou periodické se stejnou hlavní dobou.

Viz také

Tento článek obsahuje materiál od hyperbolického pevného bodu PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.