Metody částic se středním polem - Mean-field particle methods - Wikipedia

Metody částic se středním polem jsou širokou třídou interagující typ Monte Carlo algoritmy pro simulaci ze sekvence rozdělení pravděpodobnosti splňující nelineární evoluční rovnici.^[1][2][3][4] Tyto toky míry pravděpodobnosti lze vždy interpretovat jako rozdělení náhodných stavů Markovova procesu, jehož pravděpodobnosti přechodu závisí na rozdělení současných náhodných stavů.^[1][2] Přirozeným způsobem, jak simulovat tyto sofistikované nelineární Markovovy procesy, je odebrat vzorek velkého počtu kopií procesu a nahradit v evoluční rovnici neznámé distribuce náhodných stavů vzorkovanými empirická opatření. Na rozdíl od tradičních Monte Carlo a Markovský řetězec Monte Carlo metody, na které se tyto částicové techniky středního pole spoléhají sekvenční interagující vzorky. Střední pole terminologie odráží skutečnost, že každé z vzorky (neboli částice, jednotlivci, chodci, agenti, tvorové nebo fenotypy) interaguje s empirickými měřítky procesu. Když má velikost systému sklon k nekonečnu, tato náhodná empirická opatření konvergují k deterministickému rozdělení náhodných stavů nelineárního Markovova řetězce, takže statistická interakce mezi částicemi zmizí. Jinými slovy, počínaje chaotickou konfigurací založenou na nezávislých kopiích počátečního stavu nelineárního modelu Markovova řetězce se chaos šíří v jakémkoli časovém horizontu, protože velikost systému má sklon k nekonečnu; to znamená, že konečné bloky částic se redukují na nezávislé kopie nelineárního Markovova procesu. Tento výsledek se nazývá šíření vlastnosti chaosu.^[5][6][7] Terminologie „šíření chaosu“ pochází z práce Mark Kac v roce 1976 na modelu srážky kinetického plynu se středním polem.^[8]

Dějiny

Teorie modelů částic interagujících se středním polem jistě začala v polovině šedesátých let s prací Henry P. McKean Jr. o Markovových interpretacích třídy nelineárních parabolických parciálních diferenciálních rovnic vznikajících v mechanice tekutin.^[5][9] Matematické základy těchto tříd modelů byly vyvinuty od poloviny 80. do poloviny 90. let několika matematiky, včetně Wernera Brauna, Klause Heppa,^[10] Karl Oelschläger,^[11][12][13] Gérard Ben Arous a Marc Brunaud,^[14] Donald Dawson, Jean Vaillancourt^[15] a Jürgen Gärtner,^[16][17] Christian Léonard,^[18] Sylvie Méléard, Sylvie Roelly,^[6] Alain-Sol Sznitman^[7][19] a Hiroši Tanaka^[20] pro modely difúzní; F. Alberto Grünbaum,^[21] Tokuzo Shiga, Hiroshi Tanaka,^[22] Sylvie Méléard a Carl Graham^[23][24][25] pro obecné třídy interakčních procesů skok-difúze.

Citujeme také dřívější průkopnický článek autora Theodore E. Harris a Herman Kahn, publikovaný v roce 1951, používající pro odhad energie pro přenos částic průměrné, ale heuristické genetické metody.^[26] Metody částice genetického typu se středním polem se také používají jako heuristické algoritmy přirozeného vyhledávání (a.k.a. metaheuristické ) v evolučních výpočtech. Počátky těchto výpočetních technik se středním polem lze vysledovat v letech 1950 a 1954 s prací Alan Turing na učebních strojích pro výběr mutace genetického typu^[27]a články od Nils Aall Barricelli na Institut pro pokročilé studium v Princeton, New Jersey.^[28][29] Australský genetik Alex Fraser také publikoval v roce 1957 sérii článků o simulaci genetického typu umělý výběr organismů.^[30]

Kvantové Monte Carlo a konkrétněji Difúzní metody Monte Carlo lze také interpretovat jako aproximaci částic středního pole integrálů Feynman-Kac.^{[3][4][31][32][33][34][35]} Počátky metod Quantum Monte Carlo se často připisují Enricovi Fermimu a Robertu Richtmyerovi, kteří v roce 1948 vyvinuli interpretaci průměrných polních částic neutronových řetězových reakcí,^[36] ale první heuristický a částicový algoritmus genetického typu (aka metody převzorkování nebo rekonfigurace Monte Carlo) pro odhad energií základního stavu kvantových systémů (v modelech s redukovanou maticí) je způsoben Jackem H. Hetheringtonem v roce 1984^[35]V molekulární chemii lze použití metod genetické heuristické částicové metody (aka strategie prořezávání a obohacování) vysledovat až do roku 1955 pomocí klíčové práce Marshalla. N. Rosenbluth a Arianna. W. Rosenbluth.^[37]

Prvními průkopnickými články o aplikacích těchto heuristických metod částic v problémech s nelineárním filtrováním byly nezávislé studie Neila Gordona, Davida Salmona a Adriana Smitha (bootstrap filtr),^[38] Genshiro Kitagawa (filtr Monte Carlo),^[39] a ten, jehož autory jsou Himilcon Carvalho, Pierre Del Moral, André Monin a Gérard Salut^[40] publikováno v 90. letech. Termín interagující "částicové filtry" byl poprvé vytvořen v roce 1996 Del Moral.^[41] Filtry částic byly také vyvinuty při zpracování signálu na počátku 1989-1992 P. Del Moralem, JC Noyerem, G. Rigalem a G. Salutem v LAAS-CNRS v sérii omezených a klasifikovaných výzkumných zpráv s STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), IT společnost DIGILOG a LAAS-CNRS (Laboratoř pro analýzu a architekturu systémů) o problémech se zpracováním signálu RADAR / SONAR a GPS.^{[42][43][44][45][46][47]}

Základy a první důkladná analýza konvergence modelů genetického typu a metod částic Feynman-Kac ve středním poli jsou způsobeny Pierrem Del Moralem^[48][49] v roce 1996. Na konci 90. let vyvinuli částicové metody větvení typu částic s různou velikostí populace také Dan Crisan, Jessica Gaines a Terry Lyons,^[50][51][52] a Dan Crisan, Pierre Del Moral a Terry Lyons.^[53] První jednotné výsledky konvergence s ohledem na časový parametr pro modely středních polních částic byly vyvinuty na konci 90. let Pierre Del Moral a Alice Guionnet^[54][55] pro interakční procesy typu skoku a Florent Malrieu pro procesy nelineárního difúzního typu.^[56]

Nové třídy technik simulace středních polních částic pro problémy s integrací cest Feynman-Kac zahrnují modely založené na genealogických stromech,^[2][3][57] modely zpětných částic,^[2][58] adaptivní střední částicové modely pole,^[59] ostrovní částicové modely,^[60][61] a metody částicového Markovova řetězce v Monte Carlu^[62][63]

Aplikace

v fyzika, a to zejména v statistická mechanika, tyto nelineární evoluční rovnice se často používají k popisu statistického chování mikroskopických interagujících částic v kapalině nebo v nějaké kondenzované látce. V této souvislosti je náhodný vývoj virtuální tekutiny nebo plynné částice reprezentován symbolem McKean-Vlasovovy difúzní procesy, reakčně-difúzní systémy nebo Kolizní procesy typu Boltzmann.^{[11][12][13][25][64]} Jak jeho název napovídá, model střední polní částice představuje kolektivní chování mikroskopických částic slabě interagujících s jejich okupačními opatřeními. Makroskopické chování těchto systémů mnoha částic je zapouzdřeno do omezujícího modelu získaného, ​​když velikost populace má sklon k nekonečnu. Boltzmannovy rovnice představují makroskopický vývoj kolidujících částic ve zředěných plynech, zatímco McKean Vlasovovy difúze představují makroskopické chování kapalných částic a zrnitých plynů.

v výpočetní fyzika a konkrétněji v kvantová mechanika, energie základního stavu kvantových systémů je spojena s vrcholem spektra Schrödingerových operátorů. The Schrödingerova rovnice je kvantová mechanická verze druhého Newtonova zákona pohybu klasické mechaniky (hmota krát zrychlení je součtem sil). Tato rovnice představuje vlnovou funkci (neboli kvantový stav) evoluce nějakého fyzického systému, včetně molekulárních, atomových subatomárních systémů i makroskopických systémů, jako je vesmír.^[65] Řešení imaginární časové Schrödingerovy rovnice (neboli rovnice tepla) je dáno distribucí Feynman-Kac spojenou s Markovovým procesem volného vývoje (často představovaným Brownovými pohyby) v souboru elektronických nebo makromolekulárních konfigurací a některých funkcí potenciální energie. Dlouhodobé chování těchto nelineárních poloskupin souvisí s nejvyššími vlastními hodnotami a energiemi základního stavu Schrödingerových operátorů.^{[3][32][33][34][35][66]} Interpretace středního pole genetického typu těchto Feynman-Kacových modelů se nazývá Resample Monte Carlo nebo Diffusion Monte Carlo. Tyto evoluční algoritmy větveného typu jsou založeny na přechodech mutací a výběru. Během přechodu mutace se chodci vyvíjejí náhodně a nezávisle v potenciální energetické krajině na konfiguracích částic. Střední proces výběru pole (aka kvantová teleportace, rekonfigurace populace, převzorkovaný přechod) je spojen s fitness funkcí, která odráží absorpci částic v energetické studni. Konfigurace s nízkou relativní energií se pravděpodobně duplikují. V molekulární chemii a statistické fyzice se ke vzorkování používají také metody částic středního pole Boltzmann-Gibbs měří spojené s nějakým plánem chlazení a vypočítat jejich normalizační konstanty (neboli volné energie nebo funkce oddílů).^{[2][67][68][69]}

v výpočetní biologie a konkrétněji v populační genetika, prostorové větvící procesy s konkurenčními mechanismy výběru a migrace mohou být také představovány průměrným genetickým typem pole modely populační dynamiky.^[4][70]První okamžiky okupačních opatření procesu prostorového větvení jsou dány distribučními toky Feynman-Kac.^[71][72] Aproximace středního genetického typu těchto toků nabízí pevnou interpretaci velikosti populace těchto větvících procesů.^[2][3][73] Pravděpodobnosti vyhynutí lze interpretovat jako pravděpodobnosti absorpce nějakého Markovova procesu vyvíjejícího se v nějakém absorpčním prostředí. Tyto absorpční modely jsou reprezentovány modely Feynman-Kac.^{[74][75][76][77]} Dlouhodobé chování těchto procesů podmíněné nevyhynutím lze vyjádřit ekvivalentním způsobem pomocí kvaziinvariantní míry, Yaglom limity,^[78] nebo invariantní míry nelineárních normalizovaných toků Feynman-Kac.^{[2][3][54][55][66][79]}

v počítačové vědy, a to zejména v umělá inteligence tyto znamenají typ pole genetické algoritmy se používají jako heuristiky náhodného vyhledávání, které napodobují proces evoluce ke generování užitečných řešení komplexních optimalizačních problémů.^[80][81][82] Tyto stochastické vyhledávací algoritmy patří do třídy Evoluční modely. Cílem je propagovat populaci proveditelných kandidátských řešení pomocí mutačních a selekčních mechanismů. Střední polní interakce mezi jednotlivci je zapouzdřena do mechanismů výběru a křížení.

v znamenají polní hry a systémy s více agenty teorie, střední polní částicové procesy se používají k reprezentaci kolektivního chování složitých systémů s interagujícími jednotlivci.^{[83][84][85][86][87][88][89][90]} V této souvislosti je interakce středního pole zapouzdřena v rozhodovacím procesu interagujících agentů. Omezující model, protože počet agentů má sklon k nekonečnu, se někdy nazývá model agentů kontinua^[91]

v teorie informace a konkrétněji ve statistice strojové učení a zpracování signálu, se používají metody středních polních částic k postupnému vzorkování z podmíněného rozdělení nějakého náhodného procesu s ohledem na sled pozorování nebo kaskádu vzácné události.^{[2][3][73][92]} V diskrétním čase nelineární problémy s filtrováním podmíněné distribuce náhodných stavů signálu dané částečným a hlučným pozorováním uspokojí nelineární rovnici evoluce predikce aktualizace. Krok aktualizace je dán Bayesovo pravidlo a krok predikce je a Chapman-Kolmogorovova transportní rovnice. Střední interpretací polních částic těchto nelineárních filtračních rovnic je algoritmus výběru a mutace genetického typu částic^[48]Během kroku mutace se částice vyvíjejí nezávisle na sobě podle Markovových přechodů signálu. Během fáze výběru jsou částice s malými hodnotami relativní pravděpodobnosti usmrceny, zatímco částice s vysokými relativními hodnotami jsou násobeny.^[93][94] Tyto techniky středních polních částic se také používají k řešení problémů se sledováním více objektů a konkrétněji k odhadu asociačních opatření^[2][73][95]

Kontinuální časová verze těchto částicových modelů jsou střední polní moranské interpretace částic robustních optimálních rovnic evoluce filtru nebo Kushner-Stratonotichova stochastická parciální diferenciální rovnice.^[4][31][94] Tyto genetické typy středních algoritmů polních částic se také nazývají Filtry částic a Postupné metody Monte Carlo jsou rozsáhle a rutinně používány v operačním výzkumu a statistických závěrech.^[96][97][98] Pojem „částicové filtry“ poprvé vytvořil v roce 1996 Del Moral,^[41] a termín „postupné Monte Carlo“ Liu a Chen v roce 1998. Simulace podmnožiny a rozdělení Monte Carla^[99] techniky jsou konkrétní příklady schémat genetických částic a modely částic Feynman-Kac vybavené Markovský řetězec Monte Carlo mutační přechody^{[67][100][101]}

Ilustrace metody simulace středního pole

Počítatelné stavové modely prostoru

Abychom motivovali algoritmus simulace středního pole, začneme S A konečný nebo spočítatelný stav prostor a nechat P(S) označuje skupinu všech pravděpodobnostních měr na S. Zvažte posloupnost rozdělení pravděpodobnosti ${ displaystyle ( eta _ {0}, eta _ {1}, cdots)}$ na S splnění evoluční rovnice:

${ displaystyle eta _ {n + 1} = Phi ( eta _ {n})}$

(1)

pro některé, možná nelineární, mapování ${ displaystyle Phi: P (S) až P (S).}$ Tato rozdělení jsou dána vektory

${ displaystyle eta _ {n} = ( eta _ {n} (x)) _ {x v S},}$

které uspokojí:

${ displaystyle 0 leqslant eta _ {n} (x) leqslant 1, qquad sum nolimits _ {x v S} eta _ {n} (x) = 1.}$

Proto, ${ displaystyle Phi}$ je mapování z ${ displaystyle (s-1)}$-jednotka simplex do sebe, kde s znamená mohutnost sady S. Když s je příliš velký, řešení rovnice (1) je nepoddajný nebo výpočetně velmi nákladné. Jedním z přirozených způsobů, jak aproximovat tyto evoluční rovnice, je postupné snižování stavového prostoru pomocí modelu střední polní částice. Jedno z nejjednodušších schémat simulace středního pole je definováno Markovovým řetězcem

${ displaystyle xi _ {n} ^ {(N)} = left ( xi _ {n} ^ {(N, 1)}, cdots, xi _ {n} ^ {(N, N) }že jo)}$

na produktovém prostoru ${ displaystyle S ^ {N}}$, začínání s N nezávislé náhodné proměnné s rozdělením pravděpodobnosti ${ displaystyle eta _ {0}}$ a elementární přechody

${ displaystyle mathbf {P} left ( left. xi _ {n + 1} ^ {(N, 1)} = y ^ {1}, cdots, xi _ {n + 1} ^ { (N, N)} = y ^ {N} doprava | xi _ {n} ^ {(N)} doprava) = prod _ {i = 1} ^ {N} Phi doleva ( eta _ {n} ^ {N} vpravo) vlevo (y ^ {i} vpravo),}$

s empirická míra

${ displaystyle eta _ {n} ^ {N} = { frac {1} {N}} součet _ {j = 1} ^ {N} 1 _ { xi _ {n} ^ {(N, j )}}}$

kde ${ displaystyle 1_ {x}}$ je funkce indikátoru státu X.

Jinými slovy řečeno ${ displaystyle xi _ {n} ^ {(N)}}$ vzorky ${ displaystyle xi _ {n + 1} ^ {(N)}}$ jsou nezávislé náhodné proměnné s rozdělením pravděpodobnosti ${ displaystyle Phi left ( eta _ {n} ^ {N} right)}$. Důvod této techniky simulace středního pole je následující: Očekáváme, že kdy ${ displaystyle eta _ {n} ^ {N}}$ je dobrá aproximace ${ displaystyle eta _ {n}}$, pak ${ displaystyle Phi left ( eta _ {n} ^ {N} right)}$ je aproximace ${ displaystyle Phi left ( eta _ {n} right) = eta _ {n + 1}}$. Tedy od té doby ${ displaystyle eta _ {n + 1} ^ {N}}$ je empirická míra N podmíněně nezávislé náhodné proměnné se společným rozdělením pravděpodobnosti ${ displaystyle Phi left ( eta _ {n} ^ {N} right)}$, očekáváme ${ displaystyle eta _ {n + 1} ^ {N}}$ být dobrou aproximací ${ displaystyle eta _ {n + 1}}$.

Další strategií je najít sbírku

${ displaystyle K _ { eta _ {n}} = left (K _ { eta _ {n}} (x, y) right) _ {x, y in S}}$

z stochastické matice indexováno podle ${ displaystyle eta _ {n} v P (S)}$ takhle

${ displaystyle sum _ {x in S} eta _ {n} (x) K _ { eta _ {n}} (x, y) = Phi ( eta _ {n}) (y) = eta _ {n + 1} (y)}$

(2)

Tento vzorec nám umožňuje interpretovat posloupnost ${ displaystyle ( eta _ {0}, eta _ {1}, cdots)}$ jako rozdělení pravděpodobnosti náhodných stavů ${ displaystyle left ({ overline {X}} _ {0}, { overline {X}} _ {1}, cdots right)}$ nelineárního modelu Markovova řetězce s elementárními přechody

${ displaystyle mathbf {P} left ( left. { overline {X}} _ {n + 1} = y right | { overline {X}} _ {n} = x right) = K_ { eta _ {n}} (x, y), qquad { text {Law}} ({ overline {X}} _ {n}) = eta _ {n}.}$

Sbírka markovských přechodů ${ displaystyle K _ { eta _ {n}}}$ splnění rovnice (1) se nazývá McKeanova interpretace sledu opatření ${ displaystyle eta _ {n}}$Interpretace střední částice pole (2) je nyní definován řetězcem Markov

${ displaystyle xi _ {n} ^ {(N)} = left ( xi _ {n} ^ {(N, 1)}, cdots, xi _ {n} ^ {(N, N) }že jo)}$

na produktovém prostoru ${ displaystyle S ^ {N}}$, začínání s N nezávislé náhodné kopie ${ displaystyle X_ {0}}$ a elementární přechody

${ displaystyle mathbf {P} left ( left. xi _ {n + 1} ^ {(N, 1)} = y ^ {1}, cdots, xi _ {n + 1} ^ { (N, N)} = y ^ {N} vpravo | xi _ {n} ^ {(N)} vpravo) = prod _ {i = 1} ^ {N} K_ {n + 1, eta _ {n} ^ {N}} left ( xi _ {n} ^ {(N, i)}, y ^ {i} right),}$

empirickým měřítkem

${ displaystyle eta _ {n} ^ {N} = { frac {1} {N}} součet _ {j = 1} ^ {N} 1 _ { xi _ {n} ^ {(N, j )}}}$

Za určitých podmínek slabé pravidelnosti^[2] na mapování ${ displaystyle Phi}$ pro jakoukoli funkci ${ displaystyle f: S až mathbf {R}}$, máme téměř jistou konvergenci

${ displaystyle { frac {1} {N}} součet _ {j = 1} ^ {N} f doleva ( xi _ {n} ^ {(N, j)} doprava) do _ { N uparrow infty} E left (f ({ overline {X}} _ {n}) right) = sum _ {x in S} eta _ {n} (x) f (x) }$

Tyto nelineární Markovovy procesy a jejich interpretaci částic středního pole lze obecně rozšířit na časově nehomogenní modely měřitelný stavové prostory.^[2]

Modely Feynman-Kac

Pro ilustraci výše uvedených abstraktních modelů považujeme stochastickou matici ${ displaystyle M = (M (x, y)) _ {x, y v S}}$ a některé funkce ${ displaystyle G: S až (0,1)}$. S těmito dvěma objekty spojujeme mapování

${ displaystyle { begin {cases} Phi: P (S) až P (S) ( eta _ {n} (x)) _ {x in S} mapsto left ( Phi ( eta _ {n}) (y) right) _ {y in S} end {cases}} qquad Phi ( eta _ {n}) (y) = sum _ {x in S } Psi _ {G} ( eta _ {n}) (x) M (x, y)}$

a opatření Boltzmann-Gibbs ${ displaystyle Psi _ {G} ( eta _ {n}) (x)}$ definován

${ displaystyle Psi _ {G} ( eta _ {n}) (x) = { frac { eta _ {n} (x) G (x)} { součet _ {z v S} eta _ {n} (z) G (z)}}.}$

Označujeme ${ displaystyle K _ { eta _ {n}} = left (K _ { eta _ {n}} (x, y) right) _ {x, y in S}}$ sbírka stochastických matic indexovaných indexem ${ displaystyle eta _ {n} v P (S)}$ dána

${ displaystyle K _ { eta _ {n}} (x, y) = epsilon G (x) M (x, y) + (1- epsilon G (x)) Phi ( eta _ {n} ) (y)}$

pro nějaký parametr ${ displaystyle epsilon v [0,1]}$. Snadno se zkontroluje, že rovnice (2) je spokojen. Kromě toho můžeme také ukázat (srov. Např^[3]), že řešení (1) je dán vzorcem Feynman-Kac

${ displaystyle eta _ {n} (x) = { frac {E vlevo (1_ {x} (X_ {n}) prod _ {p = 0} ^ {n-1} G (X_ {p }) right)} {E left ( prod _ {p = 0} ^ {n-1} G (X_ {p}) right)}},}$

s markovským řetězem ${ displaystyle X_ {n}}$ s počáteční distribucí ${ displaystyle eta _ {0}}$ a Markovův přechod M.

Pro jakoukoli funkci ${ displaystyle f: S až mathbf {R}}$ my máme

${ displaystyle eta _ {n} (f): = součet _ {x v S} eta _ {n} (x) f (x) = { frac {E vlevo (f (X_ {n }) prod _ {p = 0} ^ {n-1} G (X_ {p}) right)} {E left ( prod _ {p = 0} ^ {n-1} G (X_ { p}) vpravo)}}}$

Li ${ displaystyle G (x) = 1}$ je funkce jednotky a ${ displaystyle epsilon = 1}$, pak máme

${ displaystyle K _ { eta _ {n}} (x, y) = M (x, y) = mathbf {P} left ( left.X_ {n + 1} = y right | X_ {n } = x right), qquad eta _ {n} (x) = E left (1_ {x} (X_ {n}) right) = mathbf {P} (X_ {n} = x) .}$

A rovnice (2) redukuje na Chapman-Kolmogorovova rovnice

${ displaystyle eta _ {n + 1} (y) = součet _ {x v S} eta _ {n} (x) M (x, y) qquad Leftrightarrow qquad mathbf {P} left (X_ {n + 1} = y right) = sum _ {x in S} mathbf {P} (X_ {n + 1} = y | X_ {n} = x) mathbf {P } left (X_ {n} = x right)}$

Interpretace středních polních částic tohoto modelu Feynman-Kac je definována postupným vzorkováním N podmíněně nezávislé náhodné proměnné ${ displaystyle xi _ {n + 1} ^ {(N, i)}}$ s distribucí pravděpodobnosti

${ displaystyle K_ {n + 1, eta _ {n} ^ {N}} left ( xi _ {n} ^ {(N, i)}, y right) = epsilon G left ( xi _ {n} ^ {(N, i)} right) M left ( xi _ {n} ^ {(N, i)}, y right) + left (1- epsilon G left ( xi _ {n} ^ {(N, i)} right) right) sum _ {j = 1} ^ {N} { frac {G left ( xi _ {n} ^ {( N, j)} vpravo)} { součet _ {k = 1} ^ {N} G vlevo ( xi _ {n} ^ {(N, k)} vpravo)}} M vlevo ( xi _ {n} ^ {(N, j)}, y vpravo)}$

Jinými slovy, s pravděpodobností ${ displaystyle epsilon G left ( xi _ {n} ^ {(N, i)} right)}$ částice ${ displaystyle xi _ {n} ^ {(N, i)}}$ se vyvine do nového stavu ${ displaystyle xi _ {n + 1} ^ {(N, i)} = y}$ náhodně vybráno s rozdělením pravděpodobnosti ${ displaystyle M left ( xi _ {n} ^ {(N, i)}, y right)}$; v opačném případě, ${ displaystyle xi _ {n} ^ {(N, i)}}$ skočí na nové místo ${ displaystyle xi _ {n} ^ {(N, j)}}$ náhodně vybráno s pravděpodobností úměrnou ${ displaystyle G left ( xi _ {n} ^ {(N, j)} right)}$ a vyvine se do nového stavu ${ displaystyle xi _ {n + 1} ^ {(N, i)} = y}$ náhodně vybráno s rozdělením pravděpodobnosti ${ displaystyle M left ( xi _ {n} ^ {(N, j)}, y right).}$ Li ${ displaystyle G (x) = 1}$ je funkce jednotky a ${ displaystyle epsilon = 1}$interakce mezi částicemi zmizí a částicovým modelem se sníží na posloupnost nezávislých kopií Markovova řetězce ${ displaystyle X_ {n}}$. Když ${ displaystyle epsilon = 0}$ výše popsaný model částic středního pole se redukuje na jednoduchý výběr mutace genetický algoritmus s funkcí fitness G a mutační přechod M. Tyto nelineární modely Markovova řetězce a jejich interpretaci částic středního pole lze rozšířit na časové nehomogenní modely na obecných měřitelných stavových prostorech (včetně přechodových stavů, cestových prostorů a prostorů náhodných odchylek) a kontinuálních časových modelů.^[1][2][3]

Gaussovské nelineární stavové vesmírné modely

Uvažujeme posloupnost náhodných proměnných se skutečnou hodnotou ${ displaystyle left ({ overline {X}} _ {0}, { overline {X}} _ {1}, cdots right)}$ definována postupně rovnicemi

${ displaystyle { overline {X}} _ {n + 1} = E left (a left ({ overline {X}} _ {n} right) right) b left ({ overline { X}} _ {n} right) + c left ({ overline {X}} _ {n} right) + sigma W_ {n}}$

(3)

s kolekcí ${ displaystyle W_ {n}}$ nezávislých standardní Gaussian náhodné proměnné, kladný parametr σ, některé funkce ${ displaystyle a, b, c: mathbf {R} až mathbf {R},}$ a nějaký standardní Gaussův počáteční náhodný stav ${ displaystyle { overline {X}} _ {0}}$. Nechali jsme ${ displaystyle eta _ {n}}$ být rozdělení pravděpodobnosti náhodného stavu ${ displaystyle { overline {X}} _ {n}}$; to znamená pro všechny omezené měřitelná funkce F, my máme

${ displaystyle E left (f ({ overline {X}} _ {n}) right) = int _ { mathbf {R}} f (x) eta _ {n} (dx),}$

s

${ displaystyle mathbf {P} left ({ overline {X}} _ {n} in dx right) = eta _ {n} (dx)}$

Integrál je Lebesgueův integrál, a dx znamená nekonečně malé sousedství státu X. The Markov přechod řetězce je uveden pro všechny omezené měřitelné funkce F podle vzorce

${ displaystyle E left ( left.f left ({ overline {X}} _ {n + 1} right) right | { overline {X}} _ {n} = x right) = int _ { mathbf {R}} K _ { eta _ {n}} (x, dy) f (y),}$

s

${ displaystyle K _ { eta _ {n}} (x, dy) = mathbf {P} left ( left. { overline {X}} _ {n + 1} in dy right | { overline {X}} _ {n} = x right) = { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma}} exp { left {- { frac {1} { 2 sigma ^ {2}}} vlevo (y- vlevo [b (x) int _ { mathbf {R}} a (z) eta _ {n} (dz) + c (x) vpravo] vpravo) ^ {2} vpravo }} dy}$

Pomocí vlastnosti věže z podmíněná očekávání dokazujeme, že rozdělení pravděpodobnosti ${ displaystyle eta _ {n}}$ uspokojit nelineární rovnici

${ displaystyle int _ { mathbf {R}} eta _ {n + 1} (dy) f (y) = int _ { mathbf {R}} left [ int _ { mathbf {R }} eta _ {n} (dx) K _ { eta _ {n}} (x, dy) vpravo] f (y)}$

pro jakékoli omezené měřitelné funkce F. Tato rovnice je někdy psána v syntetičtější formě

${ displaystyle eta _ {n + 1} = Phi left ( eta _ {n} right) = eta _ {n} K _ { eta _ {n}} quad Leftrightarrow quad eta _ {n + 1} (dy) = left ( eta _ {n} K _ { eta _ {n}} right) (dy) = int _ {x in mathbf {R}} eta _ {n} (dx) K _ { eta _ {n}} (x, dy)}$

Interpretace středních polních částic tohoto modelu je definována Markovovým řetězcem

${ displaystyle xi _ {n} ^ {(N)} = left ( xi _ {n} ^ {(N, 1)}, cdots, xi _ {n} ^ {(N, N) }že jo)}$

na produktovém prostoru ${ displaystyle mathbf {R} ^ {N}}$ podle

${ displaystyle xi _ {n + 1} ^ {(N, i)} = left ({ frac {1} {N}} sum _ {j = 1} ^ {N} a left ( xi _ {n} ^ {(N, i)} right) right) b left ( xi _ {n} ^ {(N, i)} right) + c left ( xi _ {n } ^ {(N, i)} vpravo) + sigma W_ {n} ^ {i} qquad 1 leqslant i leqslant N}$

kde

${ displaystyle xi _ {0} ^ {(N)} = left ( xi _ {0} ^ {(N, 1)}, cdots, xi _ {0} ^ {(N, N) } right), qquad left (W_ {n} ^ {1}, cdots, W_ {n} ^ {N} right)}$

stát za N nezávislé kopie ${ displaystyle { overline {X}} _ {0}}$ a ${ displaystyle W_ {n}; n geqslant 1,}$ resp. Pro běžné modely (například pro ohraničené funkce Lipschitz A, b, C) máme téměř jistou konvergenci

${ displaystyle { frac {1} {N}} součet _ {j = 1} ^ {N} f left ( xi _ {n} ^ {(N, i)} right) = int _ { mathbf {R}} f (y) eta _ {n} ^ {N} (dy) do _ {N uparrow infty} E left (f ({ overline {X}} _ {n }) right) = int _ { mathbf {R}} f (y) eta _ {n} (dy),}$

empirickým měřítkem

${ displaystyle eta _ {n} ^ {N} = { frac {1} {N}} součet _ {j = 1} ^ {N} delta _ { xi _ {n} ^ {(N , i)}}}$

pro jakékoli omezené měřitelné funkce F (srov. např ^[2]). Na výše uvedeném displeji ${ displaystyle delta _ {x}}$ znamená Diracova míra ve státě X.

Souvislé časové střední modely

Považujeme a standardní Brownův pohyb ${ displaystyle { overline {W}} _ {t_ {n}}}$ (aka Wienerův proces ) hodnoceno na sekvenci časové sítě ${ displaystyle t_ {0} = 0$ s daným časovým krokem ${ displaystyle t_ {n} -t_ {n-1} = h}$. Vybíráme si ${ displaystyle c (x) = x}$ v rovnici (1), nahradíme ${ displaystyle b (x)}$ a σ podle ${ displaystyle b (x) krát h}$ a ${ displaystyle sigma krát { sqrt {h}}}$a my píšeme ${ displaystyle { overline {X}} _ {t_ {n}}}$ namísto ${ displaystyle { overline {X}} _ {n}}$ hodnoty náhodných stavů vyhodnocených v časovém kroku ${ displaystyle t_ {n}.}$ Připomínaje to ${ displaystyle left ({ overline {W}} _ {t_ {n + 1}} - { overline {W}} _ {t_ {n}} right)}$ jsou nezávislé centrované Gaussovské náhodné proměnné s rozptylem ${ displaystyle t_ {n} -t_ {n-1} = h,}$ výslednou rovnici lze přepsat do následující podoby

${ displaystyle { overline {X}} _ {t_ {n + 1}} - { overline {X}} _ {t_ {n}} = E left (a left ({ overline {X}} _ {t_ {n}} right) right) b ({ overline {X}} _ {t_ {n}}) h + sigma left ({ overline {W}} _ {t_ {n + 1 }} - { overline {W}} _ {t_ {n}} right)}$

(4)

Když h → 0, výše uvedená rovnice konverguje k procesu nelineární difúze

${ displaystyle d { overline {X}} _ {t} = E left (a left ({ overline {X}} _ {t} right) right) b ({ overline {X}} _ {t}) dt + sigma d { overline {W}} _ {t}}$

Modul spojitého času středního pole spojený s těmito nelineárními difuzemi je (interagující) proces difúze ${ displaystyle xi _ {t} ^ {(N)} = levý ( xi _ {t} ^ {(N, i)} pravý) _ {1 leqslant i leqslant N}}$ na produktovém prostoru ${ displaystyle mathbf {R} ^ {N}}$ definován

${ displaystyle d xi _ {t} ^ {(N, i)} = left ({ frac {1} {N}} sum _ {j = 1} ^ {N} a left ( xi _ {t} ^ {(N, i)} right) right) b left ( xi _ {t} ^ {(N, i)} right) + sigma d { overline {W}} _ {t} ^ {i} qquad 1 leqslant i leqslant N}$

kde

${ displaystyle xi _ {0} ^ {(N)} = left ( xi _ {0} ^ {(N, 1)}, cdots, xi _ {0} ^ {(N, N) } right), qquad left ({ overline {W}} _ {t} ^ {1}, cdots, { overline {W}} _ {t} ^ {N} right)}$

jsou N nezávislé kopie ${ displaystyle { overline {X}} _ {0}}$ a ${ displaystyle { overline {W}} _ {t}.}$ Pro běžné modely (například pro ohraničené funkce Lipschitz A, b) máme téměř jistou konvergenci

${ displaystyle { frac {1} {N}} součet _ {j = 1} ^ {N} f left ( xi _ {t} ^ {(N, i)} right) = int _ { mathbf {R}} f (y) eta _ {t} ^ {N} (dy) do _ {N uparrow infty} E left (f ({ overline {X}} _ {t }) right) = int _ { mathbf {R}} f (y) eta _ {t} (dy)}$,

s ${ displaystyle eta _ {t} = { text {zákon}} vlevo ({ overline {X}} _ {t} vpravo),}$ a empirická míra

${ displaystyle eta _ {t} ^ {N} = { frac {1} {N}} součet _ {j = 1} ^ {N} delta _ { xi _ {t} ^ {(N , i)}}}$

pro jakékoli omezené měřitelné funkce F (srov. např.^[7]). Tyto nelineární Markovovy procesy a jejich interpretaci částic středního pole lze rozšířit na interakční procesy skok-difúze^{[1][2][23][25]}

Reference

externí odkazy