Fellerův proces - Feller process - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Feller process“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Září 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie pravděpodobnosti vztahující se stochastické procesy, a Fellerův proces je zvláštní druh Markov proces.

Definice

Nechat X být místně kompaktní Hausdorffův prostor s počitatelný základna. Nechat C₀(X) označují prostor všech skutečných hodnot spojité funkce na X že zmizet v nekonečnu, vybavené sup-norma ||F ||. Z analýzy to víme C₀(X) s normou sup je a Banachův prostor.

A Fellerova poloskupina na C₀(X) je sbírka {T_t}_t ≥ 0 pozitivní lineární mapy z C₀(X) pro sebe takovou

• ||T_tF || ≤ ||F || pro všechny t ≥ 0 a F v C₀(X), tj. je to kontrakce (ve slabém smyslu);
• the poloskupina vlastnictví: T_t + s = T_t ÓT_s pro všechny s, t ≥ 0;
• lim_t → 0||T_tF − F || = 0 pro každého F v C₀(X). Pomocí vlastnosti semigroup je to ekvivalentní s mapou T_tF z t v [0, ∞) až C₀(X) bytost vpravo kontinuální pro každého F.

Varování: Tato terminologie není v literatuře jednotná. Zejména předpoklad, že T_t mapy C₀(X) do sebe nahrazují někteří autoři podmínkou, že mapuje C_b(X), prostor omezených spojitých funkcí, do sebe. Důvod je dvojí: zaprvé umožňuje zahrnout procesy, které vstupují „z nekonečna“ v konečném čase. Zadruhé, je vhodnější k zacházení s prostory, které nejsou místně kompaktní a pro které nemá pojem „mizení v nekonečnu“ smysl.

A Feller přechodová funkce je funkce přechodu pravděpodobnosti spojená s Fellerovou poloskupinou.

A Fellerův proces je Markov proces s přechodovou funkcí Feller.

Generátor

Fellerovy procesy (nebo přechodové poloskupiny) lze popsat jejich nekonečně malý generátor. Funkce F v C₀ se říká, že je v doméně generátoru, pokud je jednotný limit

${ displaystyle Af = lim _ {t rightarrow 0} { frac {T_ {t} f-f} {t}},}$

existuje. Operátor A je generátor T_t, a prostor funkcí, na kterých je definován, je zapsán jako D_A.

Charakterizace operátorů, které mohou nastat jako nekonečně malý generátor Fellerových procesů, je dána Věta o Hille-Yosidovi. Toto využívá resolventy Fellerovy poloskupiny, definované níže.

Rozpouštědlo

The rozpouštědlo Fellerova procesu (nebo poloskupiny) je sbírka map (R_λ)_λ > 0 z C₀(X) sám o sobě definován

${ displaystyle R _ { lambda} f = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- lambda t} T_ {t} f , dt.}$

Je možné ukázat, že uspokojuje identitu

${ displaystyle R _ { lambda} R _ { mu} = R _ { mu} R _ { lambda} = (R _ { mu} -R _ { lambda}) / ( lambda - mu).}$

Kromě toho pro všechny pevné λ > 0, obrázek R_λ se rovná doméně D_A generátoru A, a

${ displaystyle { begin {aligned} & R _ { lambda} = ( lambda -A) ^ {- 1}, & A = lambda -R _ { lambda} ^ {- 1}. end {zarovnáno} }}$

Příklady

• Brownův pohyb a Poissonův proces jsou příklady Fellerových procesů. Obecněji, každý Lévyho proces je Fellerův proces.
• Besselovy procesy jsou procesy Feller.
• Řešení stochastické diferenciální rovnice s Lipschitz kontinuální koeficienty jsou Fellerovy procesy.^{[Citace je zapotřebí ]}
• Každý přizpůsobený správný kontinuální Fellerův proces v prostoru pravděpodobnosti ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, ({ mathcal {F}} _ {t}) _ {t geq 0})}$- vyhovuje silný majetek Markov s ohledem na filtraci ${ displaystyle ({ mathcal {F}} _ {t ^ {+}}) _ {t geq 0}}$, tj. pro každého ${ displaystyle ({ mathcal {F}} _ {t ^ {+}}) _ {t geq 0}}$-doba zastavení ${ displaystyle tau}$, podmíněné událostí ${ displaystyle { tau < infty }}$, máme to pro každého ${ displaystyle t geq 0}$, ${ displaystyle X _ { tau + t}}$ je nezávislý na ${ displaystyle { mathcal {F}} _ { tau ^ {+}}}$ daný ${ displaystyle X _ { tau}}$.^[1]

Viz také

• Markov proces
• Markovův řetězec
• Proces lovu
• Infinitezimální generátor (stochastické procesy)

Reference