Brownova exkurze - Brownian excursion

Realizace Brownovy exkurze.

v teorie pravděpodobnosti A Brownův exkurzní proces je stochastický proces který úzce souvisí s a Wienerův proces (nebo Brownův pohyb ). Realizace Brownových exkurzních procesů jsou v podstatě jen realizací Wienerova procesu vybraného k uspokojení určitých podmínek. Brownův exkurzní proces je zejména Wienerův proces podmíněné být kladný a vzít hodnotu 0 v čase 1. Alternativně je to a Brownův most proces podmíněn pozitivním. BEP jsou důležité, protože mimo jiné přirozeně vznikají jako limitní proces řady podmíněných funkčních centrálních limitních vět.^[1]

Definice

Brownův exkurzní proces, ${ displaystyle e}$, je Wienerův proces (nebo Brownův pohyb ) podmíněné být kladný a vzít hodnotu 0 v čase 1. Alternativně je to a Brownův most proces podmíněn pozitivním.

Další znázornění Brownovy exkurze ${ displaystyle e}$ pokud jde o Brownův pohybový proces Ž (kvůli Paul Lévy a poznamenal Kiyosi Itô a Henry P. McKean, Jr.^[2]) je z hlediska posledního času ${ displaystyle tau _ {-}}$ že Ž zasáhne nulu před časem 1 a poprvé ${ displaystyle tau _ {+}}$ ten Brownův pohyb ${ displaystyle W}$ zasáhne nulu po čase 1:^[2]

${ displaystyle {e (t): {0 leq t leq 1} } { stackrel {d} {=}} left {{ frac {| W ((1-t) tau _ {-} + t tau _ {+}) |} { sqrt { tau _ {+} - tau _ {-}}}}: 0 leq t leq 1 right } .}$

Nechat ${ displaystyle tau _ {m}}$ bude čas, který proběhne Brownův most ${ displaystyle W_ {0}}$ dosáhne svého minima dne [0, 1]. Vervaat (1979) to ukazuje

${ displaystyle {e (t): {0 leq t leq 1} } { stackrel {d} {=}} vlevo {W_ {0} ( tau _ {m} + t { bmod {1}}) - W_ {0} ( tau _ {m}): 0 leq t leq 1 right }.}$

Vlastnosti

Vervaatova reprezentace Brownovy exkurze má několik důsledků pro různé funkce ${ displaystyle e}$. Zejména:

${ displaystyle M _ {+} ekviv sup _ {0 leq t leq 1} e (t) { stackrel {d} {=}} sup _ {0 leq t leq 1} W_ {0} (t) - inf _ {0 leq t leq 1} W_ {0} (t),}$

(to lze také odvodit explicitními výpočty^[3][4]) a

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} e (t) , dt { stackrel {d} {=}} int _ {0} ^ {1} W_ {0} (t) , dt- inf _ {0 leq t leq 1} W_ {0} (t).}$

Platí následující výsledek:^[5]

${ displaystyle EM _ {+} = { sqrt { pi / 2}} přibližně 1,25331 ldots, ,}$

a následující hodnoty pro druhý moment a rozptyl lze vypočítat přesnou formou distribuce a hustoty:^[5]

${ displaystyle EM _ {+} ^ {2} přibližně 1,64493 ldots , operatorname {Var} (M _ {+}) přibližně 0,0741337 ldots.}$

Groeneboom (1989), Lemma 4.2 dává výraz pro Laplaceova transformace z (hustoty) ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} e (t) , dt}$. Vzorec pro určitou dvojitou transformaci distribuce tohoto plošného integrálu uvádí Louchard (1984).

Groeneboom (1983) a Pitman (1983) uvádějí rozklady Brownův pohyb ${ displaystyle W}$ pokud jde o Brownovy exkurze a nejméně konkávní majorant (nebo největší konvexní minorant) z ${ displaystyle W}$.

Pro úvod do To je obecná teorie Brownových exkurzí a Itô Poissonův proces exkurzí viz Revuz a Yor (1994), kapitola XII.

Připojení a aplikace

Brownova výletní oblast

${ displaystyle A _ {+} equiv int _ {0} ^ {1} e (t) , dt}$

vyvstává v souvislosti s výčtem spojených grafů, mnoho dalších problémů v kombinatorické teorii; viz např.^{[6][7][8][9][10]} a mezní distribuce Bettiho čísel určitých odrůd v teorii kohomologie.^[11] Takacs (1991a) to ukazuje ${ displaystyle A _ {+}}$ má hustotu

${ displaystyle f_ {A _ {+}} (x) = { frac {2 { sqrt {6}}} {x ^ {2}}} součet _ {j = 1} ^ { infty} v_ { j} ^ {2/3} e ^ {- v_ {j}} U left (- { frac {5} {6}}, { frac {4} {3}}; v_ {j} right ) { text {with}} v_ {j} = { frac {2 | a_ {j} | ^ {3}} {27x ^ {2}}}}$

kde ${ displaystyle a_ {j}}$ jsou nuly funkce Airy a ${ displaystyle U}$ je konfluentní hypergeometrická funkce.Janson a Louchard (2007) to ukazují

${ displaystyle f_ {A _ {+}} (x) sim { frac {72 { sqrt {6}}} { sqrt { pi}}} x ^ {2} e ^ {- 6x ^ {2 }} { text {as}} x rightarrow infty,}$

a

${ displaystyle P (A _ {+}> x) sim { frac {6 { sqrt {6}}} { sqrt { pi}}} xe ^ {- 6x ^ {2}} { text {as}} x rightarrow infty.}$

V obou případech také poskytují expanze vyššího řádu.

Janson (2007) uvádí okamžiky ${ displaystyle A _ {+}}$ a mnoho dalších funkcionářů oblasti. Zejména,

${ displaystyle E (A _ {+}) = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {2}}}, E (A _ {+} ^ {2}) = { frac {5} {12}} přibližně 0,416666 ldots, operatorname {Var} (A _ {+}) = { frac {5} {12}} - { frac { pi} { 8}} přibližně 0,0239675 ldots .}$

Brownovy exkurze také vznikají v souvislosti s problémy s frontou,^[12] železniční doprava,^[13][14] a výšky náhodně zakořeněných binárních stromů.^[15]

Související procesy

• Brownův most
• Brownův meandr
• odráží Brownův pohyb
• vychýlit Brownův pohyb

Poznámky

Reference

• Chung, K.L. (1975). „Maxima in Brownian exkurze“. Bulletin of the American Mathematical Society. 81 (4): 742–745. doi:10.1090 / s0002-9904-1975-13852-3. PAN  0373035.
• Chung K. K. (1976). „Exkurze Brownovým pohybem“. Pro Matematik. 14 (1): 155–177. Bibcode:1976 ARM .... 14..155C. doi:10.1007 / bf02385832. PAN  0467948.
• Durrett, Richard T .; Iglehart, Donald L. (1977). „Funkcionáři Brownova meandru a Brownova exkurze“. Annals of Probability. 5 (1): 130–135. doi:10.1214 / aop / 1176995896. JSTOR  2242808. PAN  0436354.
• Groeneboom, Piet (1983). „Konkávní major Brownova pohybu“. Annals of Probability. 11 (4): 1016–1027. doi:10.1214 / aop / 1176993450. JSTOR  2243513. PAN  0714964.
• Groeneboom, Piet (1989). „Brownův pohyb s parabolickým driftem a vzdušnými funkcemi“. Teorie pravděpodobnosti a související pole. 81: 79–109. doi:10.1007 / BF00343738. PAN  0981568.
• Itô, Kiyosi; McKean, Jr., Henry P. (2013) [1974]. Difúzní procesy a jejich vzorové cesty. Klasika v matematice (druhý tisk, opravené vydání). Springer-Verlag, Berlín. ISBN  978-3540606291. PAN  0345224.
• Janson, Svante (2007). "Brownova exkurzní oblast, Wrightovy konstanty ve výčtu grafů a další Brownovy oblasti". Pravděpodobnostní průzkumy. 4: 80–145. arXiv:0704.2289. Bibcode:2007arXiv0704.2289J. doi:10.1214 / 07-ps104. PAN  2318402.
• Janson, Svante; Louchard, Guy (2007). „Ocasní odhady pro Brownovu výletní oblast a další Brownovy oblasti“. Elektronický deník pravděpodobnosti. 12: 1600–1632. arXiv:0707.0991. Bibcode:2007arXiv0707.0991J. doi:10.1214 / ejp.v12-471. PAN  2365879.
• Kennedy, Douglas P. (1976). "Rozdělení maximální Brownovy exkurze". Journal of Applied Probability. 13 (2): 371–376. doi:10.2307/3212843. JSTOR  3212843. PAN  0402955.
• Lévy, Paul (1948). Processus Stochastiques et Mouvement Brownien. Gauthier-Villars, Paříž. PAN  0029120.
• Louchard, G. (1984). „Kacův vzorec, Levyho místní čas a Brownova exkurze“. Journal of Applied Probability. 21 (3): 479–499. doi:10.2307/3213611. JSTOR  3213611. PAN  0752014.
• Pitman, J. W. (1983). "Poznámky k konvexní minoritě Brownova pohybu". Progr. Probab. Statist. 5. Birkhauser, Boston: 219–227. PAN  0733673. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (2004). Kontinuální Martingales a Brownův pohyb. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 293. Springer-Verlag, Berlín. doi:10.1007/978-3-662-06400-9. ISBN  978-3-642-08400-3. PAN  1725357.
• Vervaat, W. (1979). „Vztah mezi Brownovým mostem a Brownovou exkurzí“. Annals of Probability. 7 (1): 143–149. doi:10.1214 / aop / 1176995155. JSTOR  2242845. PAN  0515820.