Nerovnost Doobs martingale - Doobs martingale inequality - Wikipedia

v matematika, Doobova nerovnost martingale, také známý jako Kolmogorovova submartingální nerovnost je výsledkem studia stochastické procesy. Poskytuje ohraničení pravděpodobnosti, že stochastický proces překročí jakoukoli danou hodnotu v daném časovém intervalu. Jak název napovídá, výsledek je obvykle uveden v případě, že jde o a martingale, ale výsledek je platný i pro submartingales.

Nerovnost je způsobena americkým matematikem Joseph L. Doob.

Prohlášení o nerovnosti

Nechat X být submartingale přijímání skutečných hodnot, buď v diskrétním nebo kontinuálním čase. To znamená navždy s a t s s < t,

${ displaystyle X_ {s} leq operatorname {E} [X_ {t} mid { mathcal {F}} _ {s}].}$

(U nepřetržitého submartingale předpokládejme dále, že proces je càdlàg.) Potom pro každou konstantu C > 0,

${ displaystyle P left [ sup _ {0 leq t leq T} X_ {t} geq C right] leq { frac { operatorname {E} [{ textrm {max}} (X_ {T}, 0)]} {C}}.}$

Ve výše uvedeném, jak je obvyklé, P označuje a míra pravděpodobnosti na vzorkovém prostoru Ω stochastického procesu

${ displaystyle X: [0, T] krát Omega až [0, + infty)}$

a ${ displaystyle operatorname {E} [X]}$ označuje očekávaná hodnota s ohledem na míru pravděpodobnosti P, tj. integrál

${ displaystyle operatorname {E} [X_ {T}] = int _ { Omega} X_ {T} ( omega) , mathrm {d} P ( omega)}$

ve smyslu Lebesgueova integrace. ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {s}}$ označuje σ-algebra generované všemi náhodné proměnné X_i s i ≤ s; soubor takových σ-algeber tvoří a filtrace pravděpodobnostního prostoru.

Další nerovnosti

Existují další nerovnosti submartingale také kvůli Doobovi. Se stejnými předpoklady X jak je uvedeno výše, nechť

${ displaystyle S_ {t} = sup _ {0 leq s leq t} X_ {s},}$

a pro p ≥ 1 let

${ displaystyle | X_ {t} | _ {p} = | X_ {t} | _ {L ^ {p} ( Omega, { mathcal {F}}, P)} = vlevo ( operatorname {E} [| X_ {t} | ^ {p}] right) ^ {1 / p}.}$

V této notaci zní Doobova nerovnost, jak je uvedeno výše

${ displaystyle P [S_ {T} geq C] leq { frac { | X_ {T} | _ {1}} {C}}.}$

Platí také následující nerovnosti:

${ displaystyle | S_ {T} | _ {1} leq { frac {e} {e-1}} left (1+ | X_ {T} log ^ {+} X_ {T} | _ {1} vpravo)}$

a pro p > 1,

${ displaystyle | X_ {T} | _ {p} leq | S_ {T} | _ {p} leq { frac {p} {p-1}} | X_ {T} | _ {p}.}$

Poslední z nich je někdy známá jako Doobova maximální nerovnost.

Související nerovnosti

Doobova nerovnost pro diskrétní martingales naznačuje Kolmogorovova nerovnost: pokud X₁, X₂, ... je sled skutečných hodnot nezávislé náhodné proměnné, každý se střední nulou, je jasné, že

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} left [X_ {1} + cdots + X_ {n} + X_ {n + 1} mid X_ {1}, ldots, X_ {n} right] & = X_ {1} + cdots + X_ {n} + operatorname {E} left [X_ {n + 1} mid X_ {1}, ldots, X_ {n} right] & = X_ {1} + cdots + X_ {n}, end {zarovnáno}}}$

takže S_n = X₁ + ... + X_n je martingale. Všimněte si, že Jensenova nerovnost znamená, že | S_n| je nezáporný submartingale, pokud S_n je martingale. Proto, přičemž p = 2 v Doobově nerovnosti martingale,

${ displaystyle P left [ max _ {1 leq i leq n} left | S_ {i} right | geq lambda right] leq { frac { operatorname {E} left [ S_ {n} ^ {2} right]} { lambda ^ {2}}},}$

což je přesně tvrzení Kolmogorovovy nerovnosti.

Aplikace: Brownův pohyb

Nechat B označovat kanonické jednorozměrné Brownův pohyb. Pak

${ displaystyle P left [ sup _ {0 leq t leq T} B_ {t} geq C right] leq exp left (- { frac {C ^ {2}} {2T} }že jo).}$

Důkaz je následující: protože exponenciální funkce se monotónně zvyšuje, pro jakékoli nezáporné λ,

${ displaystyle left { sup _ {0 leq t leq T} B_ {t} geq C right } = left { sup _ {0 leq t leq T} exp ( lambda B_ {t}) geq exp ( lambda C) right }.}$

Doobovou nerovností a protože exponenciál Brownova pohybu je pozitivní submartingale,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} P left [ sup _ {0 leq t leq T} B_ {t} geq C right] & = P left [ sup _ {0 leq t leq T} exp ( lambda B_ {t}) geq exp ( lambda C) right] [8pt] & leq { frac { operatorname {E} [ exp ( lambda B_ { T})]} { exp ( lambda C)}} [8pt] & = exp left ({ tfrac {1} {2}} lambda ^ {2} T- lambda C right ) && operatorname {E} left [ exp ( lambda B_ {t}) right] = exp left ({ tfrac {1} {2}} lambda ^ {2} t right) konec {zarovnáno}}}$

Protože levá strana nezávisí na λ, Vybrat λ minimalizovat pravou stranu: λ = C/T dává požadovanou nerovnost.

Reference

• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Kontinuální martingales a Brownův pohyb (Třetí vydání.). Berlín: Springer. ISBN  3-540-64325-7. (Věta II.1.7)
• Shiryaev, Albert N. (2001) [1994], "Martingale", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS