Jednotná integrovatelnost - Uniform integrability

V matematice jednotná integrovatelnost je důležitý koncept v skutečná analýza, funkční analýza a teorie míry, a hraje zásadní roli v teorii martingales. Definice použitá v teorii míry úzce souvisí s definicí obvykle používanou v pravděpodobnosti, ale není s ní totožná.

Teoretická definice míry

Učebnice reálné analýzy a teorie měření často používají následující definici.^[1]^[2]

Nechat ${ displaystyle (X, { mathfrak {M}}, mu)}$ být pozitivním měřítkem prostoru. Sada ${ displaystyle Phi podmnožina L ^ {1} ( mu)}$ je nazýván jednotně integrovatelný pokud každému ${ displaystyle varepsilon> 0}$ odpovídá a ${ displaystyle delta> 0}$ takhle

{ displaystyle int _ {E} | f | , d mu < varepsilon}

kdykoli ${ displaystyle f in Phi}$ a ${ displaystyle mu (E) < delta.}$

Definice pravděpodobnosti

V teorii pravděpodobnosti platí následující definice.^[3]^[4]^[5]

Třída ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ z náhodné proměnné je nazýván jednotně integrovatelný (UI), pokud je uveden ${ displaystyle varepsilon> 0}$ , tady existuje ${ displaystyle K v [0, infty)}$ takhle ${ displaystyle operatorname {E} (| X | I_ {| X | geq K}) leq varepsilon { text {pro všechny X}} v { mathcal {C}}}$ , kde ${ displaystyle I_ {| X | geq K}}$ je funkce indikátoru ${ displaystyle I_ {| X | geq K} = { begin {cases} 1 & { text {if}} | X | geq K, 0 & { text {if}} | X |$
Alternativní definice zahrnující dvě věty může být uvedena následovně: Třída ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ ${ mathcal {C}}$ náhodných proměnných jednotně integrovatelný li:
- Existuje konečný ${ displaystyle M}$ takové, že pro každého ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ , ${ displaystyle operatorname {E} (| X |) leq M}$ a
- Pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$ tady existuje ${ displaystyle delta> 0}$ takové, že pro každého měřitelného ${ displaystyle A}$ takhle ${ displaystyle P (A) leq delta}$ a každý ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ , ${ displaystyle operatorname {E} (| X | I_ {A}) leq varepsilon}$ .

Dvě pravděpodobnostní definice jsou rovnocenné.^[6]

Vztah mezi definicemi

Obě definice spolu úzce souvisejí. Prostor pravděpodobnosti je prostor míry s celkovou mírou 1. Náhodná proměnná je skutečná hodnota měřitelné funkce v tomto prostoru a očekávání náhodné proměnné je definováno jako integrál této funkce s ohledem na míru pravděpodobnosti.^[7] Konkrétně

Nechat ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ být prostorem pravděpodobnosti. Nechte náhodnou proměnnou ${ displaystyle X}$ být skutečnou hodnotou ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ -měřitelná funkce. Pak očekávání ${ displaystyle X}$ je definováno

{ displaystyle operatorname {E} (X) = int _ { Omega} X , dP}

za předpokladu, že integrál existuje.

Potom lze výše uvedenou alternativní pravděpodobnostní definici přepsat v teoretických termínech míry jako: Sada ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ funkce se skutečnou hodnotou se nazývá jednotně integrovatelný li:

Existuje konečný ${ displaystyle M}$ takové, že pro každého ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ , ${ displaystyle int _ { Omega} | X | , dP leq M}$ .
Pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$ tady existuje ${ displaystyle delta> 0}$ takové, že pro každého měřitelného ${ displaystyle A}$ takhle ${ displaystyle P (A) leq delta}$ a pro každého ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ , ${ displaystyle int _ {A} | X | , dP leq varepsilon}$ .

Srovnání této definice s výše uvedenou teoretickou definicí míry ukazuje, že teoretická definice míry vyžaduje pouze to, aby každá funkce byla v ${ displaystyle L ^ {1} ( mu)}$ . Jinými slovy, ${ displaystyle int _ {X} f , d mu}$ je konečný pro každého ${ displaystyle f}$ , ale nemusí existovat nutně horní hranice hodnot těchto integrálů. Naproti tomu pravděpodobnostní definice vyžaduje, aby integrály měly horní mez.

Důsledkem toho je, že jednotně integrovatelné náhodné proměnné (podle pravděpodobnostní definice) jsou těsný. To znamená pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$ , tady existuje ${ displaystyle a> 0}$ takhle

{ displaystyle int _ {| X |> a} dP < varepsilon}

pro všechny ${ displaystyle X}$ .^[8]

Naproti tomu rovnoměrně integrovatelné funkce (podle definice teorie míry) nemusí být nutně těsné.^[9]

Bass ve své knize tento termín používá rovnoměrně absolutně kontinuální odkazovat na soubory náhodných proměnných (nebo funkcí), které splňují druhou klauzuli alternativní definice. Tato definice však nevyžaduje, aby každá z funkcí měla konečný integrál.^[10] Termín „jednotná absolutní kontinuita“ není standardní, ale používají ho někteří další autoři.^[11]^[12]

Související důsledky

Následující výsledky se vztahují k pravděpodobnostní definici.^[13]

Definici 1 lze přepsat převzetím limitů jako

{ displaystyle lim _ {K to infty} sup _ {X v { mathcal {C}}} operatorname {E} (| X | , I_ {| X | geq K}) = 0.}

Sekvence bez uživatelského rozhraní. Nechat ${ displaystyle Omega = [0,1] podmnožina mathbb {R}}$ a definovat

{ displaystyle X_ {n} ( omega) = { begin {cases} n, & omega in (0,1 / n), 0, & { text {jinak.}} end {případy }}}

Jasně

{ displaystyle X_ {n} v L ^ {1}}

, a vskutku

{ displaystyle operatorname {E} (| X_ {n} |) = 1 ,}

pro všechny n. Nicméně,

{ displaystyle operatorname {E} (| X_ {n} |, | X_ {n} | geq K) = 1 { text {pro všechny}} n geq K,}

a ve srovnání s definicí 1 je vidět, že posloupnost není jednotně integrovatelná.

Sekvence RV bez UI. Plocha pod pruhem je vždy rovna 1, ale

{ displaystyle X_ {n} až 0}

bodově.

Použitím definice 2 ve výše uvedeném příkladu lze vidět, že první klauzule je splněna jako ${ displaystyle L ^ {1}}$ normou všech ${ displaystyle X_ {n}}$ s jsou 1, tj. ohraničené. Druhá věta ale neplatí tak, jak je uvedena ${ displaystyle delta}$ pozitivní, existuje interval ${ displaystyle (0,1 / n)}$ s mírou menší než ${ displaystyle delta}$ a ${ displaystyle E [| X_ {m} |: (0,1 / n)] = 1}$ pro všechny ${ displaystyle m geq n}$ .
Li ${ displaystyle X}$ je UI náhodná proměnná rozdělením

{ displaystyle operatorname {E} (| X |) = operatorname {E} (| X |, | X |> K) + operatorname {E} (| X |, | X |

a ohraničením každé ze dvou je vidět, že je vždy ohraničena jednotně integrovatelná náhodná proměnná

{ displaystyle L ^ {1}}

.

Pokud existuje nějaká posloupnost náhodných proměnných ${ displaystyle X_ {n}}$ dominuje integrovatelný, nezáporný ${ displaystyle Y}$ : to znamená pro všechny ω a n,

{ displaystyle | X_ {n} ( omega) | leq Y ( omega), Y ( omega) geq 0, operatorname {E} (Y) < infty,}

pak třída

{ displaystyle { mathcal {C}}}

náhodných proměnných

{ displaystyle {X_ {n} }}

je jednotně integrovatelný.

Třída náhodných proměnných ohraničená ${ displaystyle L ^ {p}}$ ( ${ displaystyle p> 1}$ ) je jednotně integrovatelný.

Relevantní věty

V následujícím textu použijeme pravděpodobnostní rámec, ale bez ohledu na konečnost míry přidáním podmínky omezenosti na vybranou podmnožinu ${ displaystyle L ^ {1} ( mu)}$ .

Dunford –Pettis teorém^[14]^[15]

Třída náhodných proměnných

{ displaystyle X_ {n} podmnožina L ^ {1} ( mu)}

je jednotně integrovatelný právě tehdy, když je relativně kompaktní pro slabá topologie

{ displaystyle sigma (L ^ {1}, L ^ { infty})}

.

de la Vallée-Poussin teorém^[16]^[17]

Rodina

{ displaystyle {X _ { alpha} } _ { alpha in mathrm {A}} podmnožina L ^ {1} ( mu)}

je jednotně integrovatelný právě tehdy, pokud existuje nezáporná rostoucí konvexní funkce

{ displaystyle G (t)}

takhle

{ displaystyle lim _ {t to infty} { frac {G (t)} {t}} = infty { text {a}} sup _ { alpha} operatorname {E} (G (| X _ { alpha} |)) < infty.}

Vztah ke konvergenci náhodných proměnných

Sekvence ${ displaystyle {X_ {n} }}$ konverguje k ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle L_ {1}}$ normou právě tehdy konverguje v míře na ${ displaystyle X}$ a je jednotně integrovatelný. Z hlediska pravděpodobnosti posloupnost náhodných proměnných konvergujících v pravděpodobnost také konverguje průměrně tehdy a jen tehdy, pokud jsou jednotně integrovatelné.^[18] Toto je Lebesgueovo zobecnění dominující věta o konvergenci viz Vitaliho věta o konvergenci.

Citace

^ Rudin, Walter (1987). Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.). Singapur: McGraw – Hill Book Co. str. 133. ISBN 0-07-054234-1.
^ Royden, H.L. a Fitzpatrick, P.M. (2010). Skutečná analýza (4. vyd.). Boston: Prentice Hall. str. 93. ISBN 978-0-13-143747-0.
^ Williams, David (1997). Pravděpodobnost u Martingales (Repr. Ed.). Cambridge: Cambridge Univ. Lis. str. 126–132. ISBN 978-0-521-40605-5.
^ Gut, Allan (2005). Pravděpodobnost: Postgraduální kurz. Springer. 214–218. ISBN 0-387-22833-0.
^ Bass, Richard F. (2011). Stochastické procesy. Cambridge: Cambridge University Press. str. 356–357. ISBN 978-1-107-00800-7.
^ Gut 2005, str. 214.
^ Bass 2011, str. 348.
^ Gut 2005, str. 236.
^ Royden a Fitzpatrick 2010, str. 98.
^ Bass 2011, str. 356.
^ Benedetto, J. J. (1976). Skutečná proměnná a integrace. Stuttgart: B. G. Teubner. str. 89. ISBN 3-519-02209-5.
^ Burrill, C. W. (1972). Měření, integrace a pravděpodobnost. McGraw-Hill. str. 180. ISBN 0-07-009223-0.
^ Gut 2005, str. 215–216.
^ Dunford, Nelson (1938). "Rovnoměrnost v lineárních prostorech". Transakce Americké matematické společnosti. 44 (2): 305–356. doi:10.1090 / S0002-9947-1938-1501971-X. ISSN 0002-9947.
^ Dunford, Nelson (1939). „Střední ergodická věta“. Duke Mathematical Journal. 5 (3): 635–646. doi:10.1215 / S0012-7094-39-00552-1. ISSN 0012-7094.
^ Meyer, P.A. (1966). Pravděpodobnost a potenciályBlaisdell Publishing Co, N.Y. (str. 19, Theorem T22).
^ Poussin, C. De La Vallee (1915). „Sur L'Integrale de Lebesgue“. Transakce Americké matematické společnosti. 16 (4): 435–501. doi:10.2307/1988879. hdl:10338.dmlcz / 127627. JSTOR 1988879.
^ Bogachev, Vladimir I. (2007). Změřte objem teorie I. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. str. 268. doi:10.1007/978-3-540-34514-5_4. ISBN 978-3-540-34513-8.

Reference

Shiryaev, A.N. (1995). Pravděpodobnost (2. vyd.). New York: Springer-Verlag. 187–188. ISBN 978-0-387-94549-1.
Diestel, J. a Uhl, J. (1977). Vektorové míry„Mathematical Surveys 15, American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 978-0-8218-1515-1

[1] Rudin, Walter (1987). Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.). Singapur: McGraw – Hill Book Co. str. 133. ISBN 0-07-054234-1.

[2] Royden, H.L. a Fitzpatrick, P.M. (2010). Skutečná analýza (4. vyd.). Boston: Prentice Hall. str. 93. ISBN 978-0-13-143747-0.

[3] Williams, David (1997). Pravděpodobnost u Martingales (Repr. Ed.). Cambridge: Cambridge Univ. Lis. str. 126–132. ISBN 978-0-521-40605-5.

[4] Gut, Allan (2005). Pravděpodobnost: Postgraduální kurz. Springer. 214–218. ISBN 0-387-22833-0.

[5] Bass, Richard F. (2011). Stochastické procesy. Cambridge: Cambridge University Press. str. 356–357. ISBN 978-1-107-00800-7.

[FOOTNOTEGut2005214-6] Gut 2005, str. 214.

[FOOTNOTEBass2011348-7] Bass 2011, str. 348.

[FOOTNOTEGut2005236-8] Gut 2005, str. 236.

[FOOTNOTERoyden_and_Fitzpatrick201098-9] Royden a Fitzpatrick 2010, str. 98.

[FOOTNOTEBass2011356-10] Bass 2011, str. 356.

[11] Benedetto, J. J. (1976). Skutečná proměnná a integrace. Stuttgart: B. G. Teubner. str. 89. ISBN 3-519-02209-5.

[12] Burrill, C. W. (1972). Měření, integrace a pravděpodobnost. McGraw-Hill. str. 180. ISBN 0-07-009223-0.

[FOOTNOTEGut2005215–216-13] Gut 2005, str. 215–216.

[14] Dunford, Nelson (1938). "Rovnoměrnost v lineárních prostorech". Transakce Americké matematické společnosti. 44 (2): 305–356. doi:10.1090 / S0002-9947-1938-1501971-X. ISSN 0002-9947.

[15] Dunford, Nelson (1939). „Střední ergodická věta“. Duke Mathematical Journal. 5 (3): 635–646. doi:10.1215 / S0012-7094-39-00552-1. ISSN 0012-7094.

[16] Meyer, P.A. (1966). Pravděpodobnost a potenciályBlaisdell Publishing Co, N.Y. (str. 19, Theorem T22).

[17] Poussin, C. De La Vallee (1915). „Sur L'Integrale de Lebesgue“. Transakce Americké matematické společnosti. 16 (4): 435–501. doi:10.2307/1988879. hdl:10338.dmlcz / 127627. JSTOR 1988879.

[18] Bogachev, Vladimir I. (2007). Změřte objem teorie I. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. str. 268. doi:10.1007/978-3-540-34514-5_4. ISBN 978-3-540-34513-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]