Chapmanova – Kolmogorovova rovnice - Chapman–Kolmogorov equation

v matematika, konkrétně v Markovianově teorii stochastické procesy v teorie pravděpodobnosti, Chapmanova – Kolmogorovova rovnice je identita týkající se společné rozdělení pravděpodobnosti různých sad souřadnic na stochastickém procesu. Rovnice byla odvozena nezávisle britským matematikem Sydney Chapman a ruský matematik Andrey Kolmogorov.

Matematický popis

Předpokládejme, že { F_i } je indexovaná sbírka náhodných proměnných, tj. stochastický proces. Nechat

${ displaystyle p_ {i_ {1}, ldots, i_ {n}} (f_ {1}, ldots, f_ {n})}$

je společná funkce hustoty pravděpodobnosti hodnot náhodných proměnných F₁ na F_n. Pak je rovnice Chapman-Kolmogorov

${ displaystyle p_ {i_ {1}, ldots, i_ {n-1}} (f_ {1}, ldots, f_ {n-1}) = int _ {- infty} ^ { infty} p_ {i_ {1}, ldots, i_ {n}} (f_ {1}, ldots, f_ {n}) , df_ {n}}$

tj. přímočarý marginalizace přes obtěžující proměnná.

(Všimněte si, že o časovém (ani žádném jiném) uspořádání náhodných proměnných se zatím nic nepředpokládalo - výše uvedená rovnice platí stejně pro marginalizaci kterékoli z nich.)

Aplikace na časově rozšířené Markovovy řetězce

Když je zvažován stochastický proces Markovian, Chapmanova-Kolmogorovova rovnice je ekvivalentní identitě o hustotách přechodu. V nastavení řetězce Markov to jeden předpokládá i₁ < ... < i_n. Pak, protože Majetek Markov,

${ displaystyle p_ {i_ {1}, ldots, i_ {n}} (f_ {1}, ldots, f_ {n}) = p_ {i_ {1}} (f_ {1}) p_ {i_ { 2}; i_ {1}} (f_ {2} mid f_ {1}) cdots p_ {i_ {n}; i_ {n-1}} (f_ {n} mid f_ {n-1}) ,}$

kde podmíněná pravděpodobnost ${ displaystyle p_ {i; j} (f_ {i} střední f_ {j})}$ je pravděpodobnost přechodu mezi časy ${ displaystyle i> j}$. Chapmanova-Kolmogorovova rovnice má tedy podobu

${ displaystyle p_ {i_ {3}; i_ {1}} (f_ {3} mid f_ {1}) = int _ {- infty} ^ { infty} p_ {i_ {3}; i_ { 2}} (f_ {3} mid f_ {2}) p_ {i_ {2}; i_ {1}} (f_ {2} mid f_ {1}) , df_ {2}.}$

Neformálně to říká, že pravděpodobnost přechodu ze stavu 1 do stavu 3 lze zjistit z pravděpodobností přechodu z 1 do přechodného stavu 2 a poté ze 2 do 3, sečtením všech možných přechodných stavů 2.

Když je rozdělení pravděpodobnosti ve stavovém prostoru Markovova řetězce diskrétní a Markovův řetězec je homogenní, lze Chapmanovo-Kolmogorovovy rovnice vyjádřit pomocí (možná nekonečně-rozměrných) násobení matic, tím pádem:

${ displaystyle P (t + s) = P (t) P (s) ,}$

kde P(t) je přechodová matice skoku t, tj., P(t) je matice taková, že vstup (i, j) obsahuje pravděpodobnost pohybu řetězce ze stavu i do stavu j v t kroky.

Z toho vyplývá, že k výpočtu přechodové matice skoku t, stačí zvýšit přechodovou matici skoku jedna na sílu t, to je

${ displaystyle P (t) = P ^ {t}. ,}$

Diferenciální forma rovnice Chapman-Kolmogorov je známá jako hlavní rovnice.

Viz také

• Fokker-Planckova rovnice (také známý jako Kolmogorovova dopředná rovnice)
• Kolmogorovova zpětná rovnice
• Příklady markovských řetězců

Reference

• Weisstein, Eric W. „Chapman – Kolmogorovova rovnice“. MathWorld.

Další čtení

• Ross, Sheldon M. (2014). „Kapitola 4.2: Chapman-Kolmogorovovy rovnice“. Úvod do pravděpodobnostních modelů (11. vydání). p. 187. ISBN  978-0-12-407948-9.