Vídeňská klobása - Wiener sausage

Dlouhá, tenká Wienerova klobása ve 3 rozměrech

Krátká, tlustá Wienerova klobása ve 2 rozměrech

V matematický pole pravděpodobnost, Vídeňská klobása je sousedství stopy a Brownův pohyb až na čas t, daný tím, že vezme všechny body v pevné vzdálenosti od Brownova pohybu. Může být zobrazen jako klobása s pevným poloměrem, jehož středovou osou je Brownův pohyb. Wienerova klobása byla pojmenována po Norbert Wiener podle M. D. Donsker a S. R. Srinivasa Varadhan  (1975 ) kvůli jeho vztahu k Wienerův proces; jméno je také slovní hříčka Vídeňská klobása, jako je „Wiener“ Němec pro „vídeňský“.

Vídeňská klobása je jednou z nejjednodušších nemarkovský funkcionály Brownova pohybu. Mezi jeho aplikace patří stochastický jevy včetně vedení tepla. Poprvé to popsal Frank Spitzer  (1964 ), a to bylo používáno Mark Kac a Joaquin Mazdak Luttinger  (1973, 1974 ) k vysvětlení výsledků a Kondenzát Bose – Einstein, s důkazy zveřejněnými M. D. Donsker a S. R. Srinivasa Varadhan  (1975 ).

Definice

Vídeňská klobása Ž_δ(t) o poloměru δ a délce t je nastavená hodnota náhodná proměnná na Brownovy cesty b (v nějakém euklidovském prostoru) definovaný

${displaystyle W_ {delta} (t) ({b})}$ je množina bodů ve vzdálenosti δ nějakého bodu b(X) cesty b s 0≤X≤t.

Objem Wienerovy klobásy

Na chování svazku bylo hodně práce (Lebesgueovo opatření ) |Ž_δ(t) | Wienerovy klobásy, jak ztenčuje (δ → 0); změnou měřítka je to v podstatě ekvivalentní studiu objemu, jak se klobása prodlužuje (t→∞).

Spitzer (1964) ukázal, že ve 3 rozměrech je očekávaná hodnota objemu klobásy

${displaystyle E (| W_ {delta} (t) |) = 2pi delta t + 4delta ^ {2} {sqrt {2pi t}} + 4pi delta ^ {3} / 3.}$

V dimenzi d alespoň 3 objem Wienerovy klobásy je asymptotický

${displaystyle delta ^ {d-2} pi ^ {d / 2} 2 t / gama ((d-2) / 2)}$

tak jako t inklinuje k nekonečnu. V dimenzích 1 a 2 bude tento vzorec nahrazen ${displaystyle {sqrt {8t / pi}}}$ a ${displaystyle 2 {pi} t / log (t)}$ resp. Whitman (1964), student Spitzera, prokázal podobné výsledky pro zobecnění vídeňských párků s průřezy danými obecněji kompaktní sady než koule.

Reference

• Donsker, M. D.; Varadhan, S. R. S. (1975), „Asymptotics for the Wiener sausage“, Sdělení o čisté a aplikované matematice, 28 (4): 525–565, doi:10,1002 / cpa. 3160280406
• Hollander, F. den (2001) [1994], „Wiener sausage“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Kac, M.; Luttinger, J. M. (1973), „Bose-Einsteinova kondenzace za přítomnosti nečistot“, J. Math. Phys., 14 (11): 1626–1628, Bibcode:1973JMP .... 14,1626K, doi:10.1063/1.1666234, PAN  0342114
• Kac, M.; Luttinger, J. M. (1974), "Bose-Einsteinova kondenzace v přítomnosti nečistot. II", J. Math. Phys., 15 (2): 183–186, Bibcode:1974JMP .... 15..183K, doi:10.1063/1.1666617, PAN  0342115
• Simon, Barry (2005), Funkční integrace a kvantová fyzika, Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN  0-8218-3582-3, PAN  2105995 Zejména kapitola 22.
• Spitzer, F. (1964), „Elektrostatická kapacita, tepelný tok a Brownův pohyb“, Teorie pravděpodobnosti a související pole, 3 (2): 110–121, doi:10.1007 / BF00535970, S2CID  198179345
• Spitzer, Frank (1976), Zásady náhodných procházek, Postgraduální texty z matematiky, 34, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, str. 40, PAN  0171290 (Dotisk vydání z roku 1964)
• Sznitman, Alain-Sol (1998), Brownův pohyb, překážky a náhodná médiaSpringer Monografie z matematiky, Berlín: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-11281-6, ISBN  3-540-64554-3, PAN  1717054 Pokročilá monografie pokrývající vídeňskou klobásu.
• Whitman, Walter William (1964), Některé silné zákony pro náhodné procházky a Brownův pohyb, Disertační práce, Cornell U.