Kvadratická variace - Quadratic variation

v matematika, kvadratická variace se používá při analýze stochastické procesy jako Brownův pohyb a další martingales. Kvadratická variace je jen jeden druh variace procesu.

Definice

Předpokládejme to X_t je stochastický proces se skutečnou hodnotou definovaný na a pravděpodobnostní prostor ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, mathbb {P})}$ as časovým indexem t pohybující se nad nezápornými reálnými čísly. Jeho kvadratickou variací je proces, psaný jako [X]_t, definováno jako

${ displaystyle [X] _ {t} = lim _ { Vert P Vert rightarrow 0} sum _ {k = 1} ^ {n} (X_ {t_ {k}} - X_ {t_ {k -1}}) ^ {2}}$

kde P pohybuje se nad oddíly intervalu [0,t] a normu oddílu P je pletivo. Tento limit, pokud existuje, je definován pomocí konvergence v pravděpodobnosti. Všimněte si, že proces může být konečné kvadratické variace ve smyslu zde uvedené definice a jeho cesty jsou nicméně téměř jistě nekonečné 1-variace pro každého t> 0 v klasickém smyslu převzetí suprema součtu přes všechny oddíly; to platí zejména pro Brownův pohyb.

Obecněji, kovariace (nebo křížový rozptyl) dvou procesů X a Y je

${ displaystyle [X, Y] _ {t} = lim _ { Vert P Vert až 0} součet _ {k = 1} ^ {n} vlevo (X_ {t_ {k}} - X_ {t_ {k-1}} right) left (Y_ {t_ {k}} - Y_ {t_ {k-1}} right).}$

Kovarianci lze zapsat pomocí kvadratické variace pomocí polarizační identita:

${ displaystyle [X, Y] _ {t} = { tfrac {1} {2}} ([X + Y] _ {t} - [X] _ {t} - [Y] _ {t}) .}$

Procesy konečných variací

Proces X se říká, že má konečná variace pokud ano ohraničená variace během každého konečného časového intervalu (s pravděpodobností 1). Takové procesy jsou velmi běžné, zejména včetně všech nepřetržitě diferencovatelných funkcí. Kvadratická variace existuje pro všechny procesy spojitých konečných variací a je nulová.

Toto tvrzení lze zobecnit na nespojité procesy. Žádný Càdlàg konečný variační proces X má kvadratickou variaci rovnou součtu čtverců skoků z X. Přesněji řečeno, levá hranice X_t s ohledem na t je označen X_t-a skok z X v čase t lze psát jako ΔX_t = X_t - X_t-. Potom je kvadratická variace dána vztahem

${ displaystyle [X] _ {t} = součet _ {0$

Důkaz, že procesy spojité konečné variace mají nulovou kvadratickou variaci, vyplývá z následující nerovnosti. Tady, P je oddíl intervalu [0,t], a PROTI_t(X) je variace X nad [0,t].

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {k = 1} ^ {n} (X_ {t_ {k}} - X_ {t_ {k-1}}) ^ {2} & leq max _ {k leq n} | X_ {t_ {k}} - X_ {t_ {k-1}} | sum _ {k = 1} ^ {n} | X_ {t_ {k}} - X_ {t_ { k-1}} | & leq max _ {| uv | leq Vert P Vert} | X_ {u} -X_ {v} | V_ {t} (X). end {zarovnáno} }}$

Kontinuitou X, to zmizí v limitu jako ${ displaystyle Vert P Vert}$ jde na nulu.

Itô procesy

Kvadratická variace standardu Brownův pohyb B existuje a je dána [B]_t = t, nicméně limit v definici je míněn ve smyslu L2 a ne pathwise. To zobecňuje na Itô procesy které lze podle definice vyjádřit pomocí Itô integrály

${ displaystyle { begin {aligned} X_ {t} & = X_ {0} + int _ {0} ^ {t} sigma _ {s} , dB_ {s} + int _ {0} ^ {t} mu _ {s} , d [B] _ {s} & = X_ {0} + int _ {0} ^ {t} sigma _ {s} , dB_ {s} + int _ {0} ^ {t} mu _ {s} , ds, end {zarovnáno}}}$

kde B je Brownův pohyb. Každý takový proces má kvadratické variace dané

${ displaystyle [X] _ {t} = int _ {0} ^ {t} sigma _ {s} ^ {2} , ds.}$

Semimartingales

Kvadratické variace a kovariance všech semimartingales lze prokázat existenci. Tvoří důležitou součást teorie stochastického počtu, která se objevuje v Itôovo lemma, což je zevšeobecnění pravidla řetězu na integrál Itô. Kvadratická kovariace se také objeví ve vzorci integrace podle částí

${ displaystyle X_ {t} Y_ {t} = X_ {0} Y_ {0} + int _ {0} ^ {t} X_ {s -} , dY_ {s} + int _ {0} ^ {t} Y_ {s -} , dX_ {s} + [X, Y] _ {t},}$

který lze použít k výpočtu [X,Y].

Alternativně to lze napsat jako stochastickou diferenciální rovnici:

${ displaystyle , d (X_ {t} Y_ {t}) = X_ {t -} , dY_ {t} + Y_ {t -} , dX_ {t} + , dX_ {t} , dY_ {t},}$

kde ${ displaystyle , dX_ {t} , dY_ {t} = , d [X, Y] _ {t}.}$

Martingales

Všechno Càdlàg martingales a místní martingales mají dobře definovanou kvadratickou variaci, což vyplývá ze skutečnosti, že tyto procesy jsou příklady semimartingales. Lze ukázat, že kvadratická variace [M] obecného místně čtvercového integrovatelného martingalu M je jedinečný pravý spojitý a rostoucí proces začínající na nule, se skoky Δ [M] = ΔM²a tak dále M² − [M] je místní martingale. Důkaz o existenci [M] (bez použití stochastického počtu) je uveden v Karandikar – Rao (2014).

Užitečný výsledek pro čtvercový integrovatelný martingales je Itô izometrie, které lze použít k výpočtu rozptylu integrálů Itô,

${ displaystyle operatorname {E} left ( left ( int _ {0} ^ {t} H , dM right) ^ {2} right) = operatorname {E} left ( int _ {0} ^ {t} H ^ {2} , d [M] vpravo).}$

Tento výsledek platí kdykoli M je integrovaný čtvercový čtvercový martingale a H je ohraničený předvídatelný proces, a často se používá při konstrukci integrálu Itô.

Dalším důležitým výsledkem je Burkholder – Davis – Gundy nerovnost. To dává hranice maxima martingalu z hlediska kvadratické variace. Pro místní martingale M začínající na nule, s maximem označeným M_t^* ≡ sup_s≤t|M_s| a jakékoli skutečné číslo p ≥ 1, nerovnost je

${ displaystyle c_ {p} operatorname {E} ([M] _ {t} ^ {p / 2}) leq operatorname {E} ((M_ {t} ^ {*}) ^ {p}) leq C_ {p} operatorname {E} ([M] _ {t} ^ {p / 2}).}$

Tady, C_p < C_p jsou konstanty v závislosti na volbě p, ale ne v závislosti na martingale M nebo čas t použitý. Li M je nepřetržitý místní martingale, potom platí pro všechny Burkholder – Davis – Gundy nerovnostp > 0.

Alternativní proces, předvídatelná kvadratická variace se někdy používá pro lokálně čtvercové integrovatelné martingales. To se píše jako <M>_t, a je definován jako jedinečný pravý spojitý a rostoucí předvídatelný proces začínající na nule tak, že M² − <M> je místní martingale. Jeho existence vyplývá z Věta o rozkladu Doob – Meyer a pro kontinuální místní martingales je to stejné jako kvadratická variace.

Viz také

• Celková variace
• Ohraničená variace

Reference

• Protter, Philip E. (2004), Stochastická integrace a diferenciální rovnice (2. vyd.), Springer, ISBN  978-3-540-00313-7
• Karandikar, Rajeeva L .; Rao, B. V. (2014). „O kvadratické variaci martingalů“. Sborník - Matematické vědy. 124 (3): 457–469. doi:10.1007 / s12044-014-0179-2.