Proces narození - Birth process

v teorie pravděpodobnosti, a proces narození nebo a čistý proces porodu[1] je speciální případ a Markovův proces v nepřetržitém čase a zobecnění a Poissonův proces. Definuje nepřetržitý proces, který přijímá hodnoty v přirozená čísla a může se zvýšit pouze o jeden („narození“) nebo zůstat beze změny. Toto je typ proces narození a smrti bez úmrtí. Míra porodů je dána vztahem exponenciální náhodná proměnná jehož parametr závisí pouze na aktuální hodnotě procesu
Definice
Definice porodnosti
Proces porodu s porodností a počáteční hodnota je minimální pravý kontinuální proces takhle a časy mezipřistání jsou nezávislé exponenciální náhodné proměnné s parametrem .[2]
Infinitezimální definice
Proces narození s sazbami a počáteční hodnota je proces takové, že:
- je nezávislý na
(Použití třetí a čtvrté podmínky malý o notace.)
Tyto podmínky zajišťují, že proces začíná v , neklesá a má nezávislé samostatné porody nepřetržitě rychlostí , když má proces hodnotu .[3]
Definice Markovova řetězce kontinuálního času
Proces narození lze definovat jako a Markovův proces v nepřetržitém čase (CTMC) s nenulovými položkami Q-matice a počáteční distribuce (náhodná proměnná, která má hodnotu s pravděpodobností 1).[4]
Variace
Někteří autoři vyžadují, aby proces narození začínal od 0, tj. Od toho ,[3] zatímco jiné umožňují, aby počáteční hodnota byla dána a rozdělení pravděpodobnosti na přirozených číslech.[2] The státní prostor může zahrnovat nekonečno v případě výbušného procesu porodu.[2] Míra porodnosti se také nazývá intenzita.[3]
Vlastnosti
Pokud jde o CTMC, proces narození má Majetek Markov. Definice CTMC pro komunikaci tříd, neredukovatelnost atd. Platí pro procesy narození. Podle podmínek opakování a pomíjivosti a proces narození a smrti,[5] jakýkoli proces porodu je přechodný. Přechodové matice procesu narození uspokojit Kolmogorovova rovnice vpřed a vzad.
Zpětné rovnice jsou:[6]
- (pro )
Dopředné rovnice jsou:[7]
- (pro )
- (pro )
Z dopředných rovnic vyplývá, že:[7]
- (pro )
- (pro )
Na rozdíl od Poissonova procesu může mít proces narození nekonečně mnoho porodů v konečném čase. Definujeme a řekněte, že proces narození exploduje, pokud je konečný. Li pak je proces výbušný s pravděpodobností 1; jinak je nevýbušný s pravděpodobností 1 („čestný“).[8][9]
Příklady

A Poissonův proces je proces porodu, kde je porodnost konstantní, tj. pro některé .[3]
Jednoduchý proces porodu

A jednoduchý proces porodu je proces narození s sazbami .[10] Modeluje populaci, ve které každý jedinec porodí opakovaně a nezávisle tempem . Udny Yule studoval procesy, aby mohly být známé jako Yule procesy.[11]
Počet narozených v čase z jednoduchého procesu narození populace darováno:[3]
Přesnou formou je počet narozených negativní binomické rozdělení s parametry a . Pro zvláštní případ , to je geometrické rozdělení s úspěšností .[12]
The očekávání procesu roste exponenciálně; konkrétně pokud pak .[10]
Jednoduchý proces narození s imigrací je modifikací tohoto procesu s sazbami . To modeluje populaci s narozením každého člena populace navíc ke konstantní míře imigrace do systému.[3]
Poznámky
- ^ Upton & Cook (2014), proces narození a smrti.
- ^ A b C Norris (1997), str. 81.
- ^ A b C d E F Grimmett & Stirzaker (1992), str. 232.
- ^ Norris (1997), str. 81–82.
- ^ Karlin & McGregor (1957).
- ^ Ross (2010), str. 386.
- ^ A b Ross (2010), str. 389.
- ^ Norris (1997), str. 83.
- ^ Grimmett & Stirzaker (1992), str. 234.
- ^ A b Norris (1997), str. 82.
- ^ Ross (2010), str. 375.
- ^ Ross (2010), str. 383.
Reference
- Grimmett, G. R.; Stirzaker, D. R. (1992). Pravděpodobnost a náhodné procesy (druhé vydání). Oxford University Press. ISBN 0198572220.
- Karlin, Samuel; McGregor, James (1957). „Klasifikace procesů narození a smrti“ (PDF). Transakce Americké matematické společnosti. 86 (2): 366–400.
- Norris, J. R. (1997). Markovovy řetězy. Cambridge University Press. ISBN 9780511810633.
- Ross, Sheldon M. (2010). Úvod do pravděpodobnostních modelů (desáté vydání). Akademický tisk. ISBN 9780123756862.
- Upton, G .; Cook, I. (2014). Statistický slovník (třetí vydání). ISBN 9780191758317.