Dynkinsův vzorec - Dynkins formula - Wikipedia

v matematika - konkrétně v stochastická analýza — Dynkinův vzorec je věta dávající očekávaná hodnota jakékoli vhodně plynulé statistiky Je to šíření v a doba zastavení. Lze to považovat za stochastické zobecnění (druhého) základní věta o počtu. Je pojmenována po ruština matematik Eugene Dynkin.

Výrok věty

Nechat X být Rⁿ-hodnocení difúze Itō řešící stochastická diferenciální rovnice

${ displaystyle mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}) , mathrm {d} t + sigma (X_ {t}) , mathrm {d} B_ {t}.}$

Pro bod X ∈ Rⁿ, nechť P^X označují zákon z X daný počáteční údaj X₀ = Xa nechte E^X označit očekávání s ohledem na P^X.

Nechat A být nekonečně malý generátor z X, definovaný jeho akcí na kompaktně podporováno C² (dvakrát diferencovatelné se spojitou druhou derivací) funkce F : Rⁿ → R tak jako

${ displaystyle Af (x) = lim _ {t downarrow 0} { frac { mathbf {E} ^ {x} [f (X_ {t})] - f (x)} {t}}}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle Af (x) = součet _ {i} b_ {i} (x) { frac { částečné f} { částečné x_ {i}}} (x) + { frac {1} {2 }} sum _ {i, j} { big (} sigma sigma ^ { top} { big)} _ {i, j} (x) { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x_ {i} , částečné x_ {j}}} (x).}$

Nechat τ být zastávkou s E^X[τ] <+ ∞, a nechte F být C² s kompaktní podporou. Pak Dynkinův vzorec drží:

${ displaystyle mathbf {E} ^ {x} [f (X _ { tau})] = f (x) + mathbf {E} ^ {x} left [ int _ {0} ^ { tau } Af (X_ {s}) , mathrm {d} s vpravo].}$

Ve skutečnosti, pokud τ je první čas výstupu pro a ohraničená množina B ⊂ Rⁿ s E^X[τ] <+ ∞, potom Dynkinův vzorec platí pro všechny C² funkce F, bez předpokladu kompaktní podpory.

Příklad

Dynkinův vzorec lze použít k nalezení očekávaného času prvního výstupu τ_K. z Brownův pohyb B z uzavřená koule

${ displaystyle K = K_ {R} = {x v mathbf {R} ^ {n} | , | x | leq R },}$

který, když B začíná v bodě A v interiér z K., darováno

${ displaystyle mathbf {E} ^ {a} [ tau _ {K}] = { frac {1} {n}} { big (} R ^ {2} - | a | ^ {2} { big)}.}$

Vyberte celé číslo j. Strategií je použít Dynkinův vzorec X = B, τ = σ_j = min (j, τ_K.) a kompaktně podporované C² F s F(X) = |X|² na K.. Generátor Brownova pohybu je Δ / 2, kde Δ označuje Laplaciánský operátor. Proto podle Dynkinova vzorce

${ displaystyle mathbf {E} ^ {a} vlevo [f { big (} B _ { sigma _ {j}} { big)} vpravo]}$

${ displaystyle = f (a) + mathbf {E} ^ {a} vlevo [ int _ {0} ^ { sigma _ {j}} { frac {1} {2}} Delta f ( B_ {s}) , mathrm {d} s doprava]}$

${ displaystyle = | a | ^ {2} + mathbf {E} ^ {a} left [ int _ {0} ^ { sigma _ {j}} n , mathrm {d} s right ]}$

${ displaystyle = | a | ^ {2} + n mathbf {E} ^ {a} [ sigma _ {j}].}$

Proto pro všechny j,

${ displaystyle mathbf {E} ^ {a} [ sigma _ {j}] leq { frac {1} {n}} { big (} R ^ {2} - | a | ^ {2} { big)}.}$

Tak teď j → + ∞ k závěru, že τ_K. = lim_j→+∞σ_j < +∞ téměř jistě a

${ displaystyle mathbf {E} ^ {a} [ tau _ {K}] = { frac {1} {n}} { big (} R ^ {2} - | a | ^ {2} { big)},}$

jak tvrdí.

Reference

• Dynkin, Eugene B.; trans. J. Fabius; V. Greenberg; A. Maitra; G. Majone (1965). Markovovy procesy. Sv. I, II. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bände 121. New York: Academic Press Inc. (Viz sv. I, s. 133)
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací (Šesté vydání). Berlín: Springer. ISBN  3-540-04758-1. (Viz část 7.4)