Besselův proces - Bessel process
v matematika, a Besselův proces, pojmenoval podle Friedrich Bessel, je typ stochastický proces.
Formální definice
Besselův proces řádu n je skutečný proces X dána
kde || · || označuje Euklidovská norma v Rn a Ž je n-dimenzionální Wienerův proces (Brownův pohyb ) začalo od počátku n-dimenzionální Besselův proces je řešením stochastická diferenciální rovnice
kde Z je 1-dimenzionální Wienerův proces (Brownův pohyb ). Všimněte si, že tento SDE má smysl pro jakýkoli skutečný parametr (i když driftový člen je singulární v nule). Od té doby Ž Předpokládalo se, že byl zahájen od počátečního stavu X0 = 0.
Zápis
Zápis pro Besselův proces dimenze n začal na nule je BES0(n).
V konkrétních rozměrech
Pro n ≥ 2, n-dimenzionální proces Wiener je přechodný z jeho výchozího bodu: s pravděpodobností jedna, tj., Xt > 0 pro všechny t > 0. Je to však sousedství - opakující se pro n = 2, což znamená, že s pravděpodobností 1, pro všechny r > 0, jsou libovolně velké t s Xt < r; na druhou stranu je to skutečně přechodné n > 2, to znamená Xt ≥ r pro všechny t dostatečně velký.
Pro n ≤ 0, Besselův proces se obvykle spouští v jiných bodech než 0, protože drift na 0 je tak silný, že se proces zasekne na 0, jakmile zasáhne 0.
Vztah s Brownovým pohybem
0- a 2-dimenzionální Besselovy procesy souvisejí s místními časy Brownova pohybu prostřednictvím Ray-Knightovy věty.[1]
Zákon Brownova pohybu blízko x-extrému je zákonem trojrozměrného Besselova procesu (teorém Tanaka).
Reference
- ^ Revuz, D .; Yor, M. (1999). Kontinuální Martingales a Brownův pohyb. Berlín: Springer. ISBN 3-540-52167-4.
- Øksendal, Bernt (2003). Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací. Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
- Williams D. (1979) Diffusions, Markov Processes and Martingales, Volume 1: Foundations. Wiley. ISBN 0-471-99705-6.