Postupně měřitelný proces - Progressively measurable process

v matematika, progresivní měřitelnost je vlastnost v teorii stochastické procesy. Postupně měřitelný proces, i když je definován zcela technicky, je důležitý, protože implikuje zastavil proces je měřitelný. Být progresivně měřitelný je přísně silnější vlastnost než představa o bytí přizpůsobený proces.^[1] V teorii jsou důležité progresivně měřitelné procesy Itô integrály.

Definice

Nechat

${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, mathbb {P})}$ být pravděpodobnostní prostor;
${displaystyle (mathbb {X}, {mathcal {A}})}$ být měřitelný prostor, státní prostor;
${displaystyle {{mathcal {F}} _ {t} mid tgeq 0}}$ být filtrace z sigma algebra ${displaystyle {mathcal {F}}}$ ;
${displaystyle X: [0, infty) imes Omega o mathbb {X}}$ být stochastický proces (sada indexů může být ${displaystyle [0, T]}$ nebo ${displaystyle mathbb {N} _ {0}}$ namísto ${displaystyle [0, infty)}$ );
${displaystyle mathrm {Borel} ([0, t])}$ být Borel sigma algebra na ${displaystyle [0, t]}$ .

Proces ${displaystyle X}$ se říká, že je postupně měřitelné^[2] (nebo jednoduše progresivní) pokud pokaždé ${displaystyle t}$ , mapa ${displaystyle [0, t] imes Omega o mathbb {X}}$ definován ${displaystyle (s, omega) mapsto X_ {s} (omega)}$ je ${displaystyle mathrm {Borel} ([0, t]) častěji {mathcal {F}} _ {t}}$ -měřitelný. To z toho vyplývá ${displaystyle X}$ je ${displaystyle {mathcal {F}} _ {t}}$ - přizpůsobeno.^[1]

Podmnožina ${displaystyle Psubseteq [0, infty) imes Omega}$ se říká, že je postupně měřitelné pokud proces ${displaystyle X_ {s} (omega): = chi _ {P} (s, omega)}$ je postupně měřitelná ve smyslu definovaném výše, kde ${displaystyle chi _ {P}}$ je funkce indikátoru z ${displaystyle P}$ . Sada všech těchto podmnožin ${displaystyle P}$ tvoří sigma algebru na ${displaystyle [0, infty) imes Omega}$ , označeno ${displaystyle mathrm {Prog}}$ a proces ${displaystyle X}$ je postupně měřitelný ve smyslu předchozího odstavce tehdy a jen tehdy, je-li ${displaystyle mathrm {Prog}}$ -měřitelný.

Vlastnosti

Může se to ukázat^[1] že ${displaystyle L ^ {2} (B)}$ , prostor stochastických procesů ${displaystyle X: [0, T] imes Omega o mathbb {R} ^ {n}}$ pro které Je to integrální

{displaystyle int _ {0} ^ {T} X_ {t}, mathrm {d} B_ {t}}

s ohledem na Brownův pohyb

{displaystyle B}

je definována, je množina třídy ekvivalence z

{displaystyle mathrm {Prog}}

-měřitelné procesy v

{displaystyle L ^ {2} ([0, T] imes Omega; mathbb {R} ^ {n})}

.

Každý přizpůsobený proces s levým nebo pravý spojitý cesty je postupně měřitelná. V důsledku toho každý přizpůsobený proces s Càdlàg cesty je postupně měřitelná.^[1]
Každý měřitelný a přizpůsobený proces má postupně měřitelnou modifikaci.^[1]

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991). Brownův pohyb a stochastický počet (2. vyd.). Springer. s. 4–5. ISBN 0-387-97655-8.
^ Pascucci, Andrea (2011) Metody PDE a Martingale při stanovení cen opcí. Berlín: Springer^{[stránka potřebná ]}

Tento pravděpodobnost související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[Karatzas-1] A ^b ^C ^d ^E Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991). Brownův pohyb a stochastický počet (2. vyd.). Springer. s. 4–5. ISBN 0-387-97655-8.

[Pasc-2] Pascucci, Andrea (2011) Metody PDE a Martingale při stanovení cen opcí. Berlín: Springer^{[stránka potřebná ]}

[1]

[2]