Je to difúze - Itô diffusion

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (červenec 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika - konkrétně v stochastická analýza - an Je to difúze je řešením konkrétního typu stochastická diferenciální rovnice. Tato rovnice je podobná rovnici Langevinova rovnice použito v fyzika popsat Brownův pohyb částice vystavené potenciálu v a viskózní tekutina. Difúze Itô jsou pojmenovány po japonský matematik Kiyosi Itô.

Přehled

Tento Wienerův proces (Brownův pohyb) v trojrozměrném prostoru (je ukázána jedna vzorová cesta) je příkladem difúze Itô.

A (časově homogenní) Je to difúze v n-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ je proces X : [0, + ∞) × Ω →Rⁿ definované na a pravděpodobnostní prostor (Ω, Σ,P) a uspokojení stochastické diferenciální rovnice formy

${displaystyle mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}), mathrm {d} t + sigma (X_ {t}), mathrm {d} B_ {t},}$

kde B je m-dimenzionální Brownův pohyb a b : Rⁿ → Rⁿ a σ:Rⁿ → R^n×m uspokojit obvyklé Lipschitzova kontinuita stav

${displaystyle | b (x) -b (y) | + | sigma (x) -sigma (y) | leq C | x-y |}$

pro nějakou konstantu C a všechno X, y ∈ Rⁿ; tato podmínka zajišťuje existenci jedinečného silné řešení X k výše uvedené stochastické diferenciální rovnici. The vektorové pole b je známý jako drift součinitel z X; the maticové pole σ je známé jako difúzní koeficient z X. Je důležité si to uvědomit b a σ nezávisí na čase; kdyby měli záviset na čase, X bude označován pouze jako Proces, ne difúze. Difúze Itô mají řadu pěkných vlastností, mezi které patří

• vzorek a Kontinuita kácení;
• the Majetek Markov;
• the silný majetek Markov;
• existence nekonečně malý generátor;
• existence a charakteristický operátor;
• Dynkinův vzorec.

Zejména difúze Itô je nepřetržitý, silně markovovský proces, takže doména jeho charakteristického operátora zahrnuje vše dvakrát spojitě diferencovatelné funkce, takže je to a difúze ve smyslu definovaném Dynkinem (1965).

Kontinuita

Kontinuita vzorku

Difúze Itô X je nepřetržitý proces vzorku, tj. pro téměř všechny realizace B_t(ω) hluku, X_t(ω) je a spojitá funkce časového parametru, t. Přesněji řečeno, existuje „průběžná verze“ X, kontinuální proces Y aby

${displaystyle mathbf {P} [X_ {t} = Y_ {t}] = 1 {mbox {pro všechny}} t.}$

Vyplývá to ze standardní teorie existence a jedinečnosti pro silná řešení stochastických diferenciálních rovnic.

Kontinuita kácení

Kromě toho, že je (vzorek) kontinuální, difúze Itô X splňuje přísnější požadavek být a Fell-kontinuální proces.

Pro bod X ∈ Rⁿ, nechť P^X označují zákon z X daný počáteční údaj X₀ = Xa nechte E^X označit očekávání s ohledem na P^X.

Nechat F : Rⁿ → R být Borel -měřitelná funkce to je ohraničený níže a definovat, pro pevné t ≥ 0, u : Rⁿ → R podle

${displaystyle u (x) = mathbf {E} ^ {x} [f (X_ {t})].}$

• Nižší polokontinuita: pokud F je tedy nižší polokontinuální u je nižší polokontinuální.
• Kontinuita kácení: pokud F je tedy omezený a spojitý u je spojitý.

Chování funkce u výše, když je čas t se mění je řešeno Kolmogorovovou zpětnou rovnicí, Fokker-Planckovou rovnicí atd. (Viz níže.)

Vlastnost Markov

Vlastnost Markov

Difúze Itô X má důležitou vlastnost bytí Markovian: budoucí chování X, vzhledem k tomu, co se do určité doby stalo t, je stejné, jako kdyby byl proces spuštěn na dané pozici X_t v čase 0. Přesná matematická formulace tohoto tvrzení vyžaduje nějakou další notaci:

Nechť Σ_∗ označit přírodní filtrace z (Ω, Σ) generovaných Brownovým pohybem B: pro t ≥ 0,

${displaystyle Sigma _ {t} = Sigma _ {t} ^ {B} = sigma vlevo {B_ {s} ^ {- 1} (A) subseteq Omega: 0leq sleq t, Asubseteq mathbf {R} ^ {n} { mbox {Borel}} hned}.}$

Je snadné to ukázat X je přizpůsobeno do Σ_∗ (tj. každý X_t je Σ_t- měřitelné), takže přirozená filtrace F_∗ = F_∗^X z (Ω, Σ) generovaných X má F_t ⊆ Σ_t pro každého t ≥ 0.

Nechat F : Rⁿ → R být omezenou, Borelem měřitelnou funkcí. Pak pro všechny t a h ≥ 0, podmíněné očekávání podmíněné σ-algebra Σ_t a očekávání procesu "restartovaného" z X_t uspokojit Majetek Markov:

${displaystyle mathbf {E} ^ {x} {ig [} f (X_ {t + h}) {ig |} Sigma _ {t} {ig]} (omega) = mathbf {E} ^ {X_ {t} (omega)} [f (X_ {h})].}$

Ve skutečnosti, X je také Markovův proces s ohledem na filtraci F_∗, jak ukazuje následující:

${displaystyle {egin {aligned} mathbf {E} ^ {x} vlevo [f (X_ {t + h}) {ig |} F_ {t} ight] & = mathbf {E} ^ {x} vlevo [mathbf { E} ^ {x} vlevo [f (X_ {t + h}) {ig |} Sigma _ {t} ight] {ig |} F_ {t} ight] & = mathbf {E} ^ {x} vlevo [mathbf {E} ^ {X_ {t}} vlevo [f (X_ {h}) ight] {ig |} F_ {t} ight] & = mathbf {E} ^ {X_ {t}} vlevo [f (X_ {h}) ight] .end {zarovnáno}}}$

Silný Markovův majetek

Silná vlastnost Markov je zobecněním vlastnosti Markov výše, ve které t je nahrazen vhodným náhodným časem τ: Ω → [0, + ∞] známým jako a doba zastavení. Například například místo „restartování“ procesu X v čase t = 1, lze „restartovat“ kdykoli X nejprve dosáhne určitého bodu p z Rⁿ.

Jako předtím, pojďme F : Rⁿ → R být omezenou, Borelem měřitelnou funkcí. Nechť τ je doba zastavení s ohledem na filtraci Σ_∗ s τ <+ ∞ téměř jistě. Pak pro všechny h ≥ 0,

${displaystyle mathbf {E} ^ {x} {ig [} f (X_ {au + h}) {ig |} Sigma _ {au} {ig]} = mathbf {E} ^ {X_ {au}} {ig [} f (X_ {h}) {ig]}.}$

Generátor

Definice

S každou difúzí Itô je spojen druhý řád operátor částečného diferenciálu známý jako generátor difúze. Generátor je velmi užitečný v mnoha aplikacích a kóduje velké množství informací o procesu X. Formálně nekonečně malý generátor difúze Itô X je provozovatel A, který je definován tak, aby působil na vhodné funkce F : Rⁿ → R podle

${displaystyle Af (x) = lim _ {tdownarrow 0} {frac {mathbf {E} ^ {x} [f (X_ {t})] - f (x)} {t}}.}$

Sada všech funkcí F pro které tento limit v daném okamžiku existuje X je označen D_A(X), zatímco D_A označuje množinu všech F pro které existuje limit pro všechny X ∈ Rⁿ. Jeden může ukázat, že každý kompaktně podporováno C² (dvakrát diferencovatelné se spojitou druhou derivací) funkce F leží v D_A a to

${displaystyle Af (x) = součet _ {i} b_ {i} (x) {frac {částečné f} {částečné x_ {i}}} (x) + {frac {1} {2}} součet _ {i , j} vlevo (sigma (x) sigma (x) ^ {op} ight) _ {i, j} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x_ {i}, částečné x_ {j}}} ( X),}$

nebo, pokud jde o spád a skalární a Frobenius vnitřní výrobky,

${displaystyle Af (x) = b (x) cdot abla _ {x} f (x) + {frac {1} {2}} vlevo (sigma (x) sigma (x) ^ {op} ight): abla _ {x} abla _ {x} f (x).}$

Příklad

Generátor A pro standard n-dimenzionální Brownův pohyb B, který splňuje stochastickou diferenciální rovnici dX_t = dB_t, darováno

${displaystyle Af (x) = {frac {1} {2}} součet _ {i, j} delta _ {ij} {frac {částečný ^ {2} f} {částečný x_ {i}, částečný x_ {j} }} (x) = {frac {1} {2}} součet _ {i} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x_ {i} ^ {2}}} (x)}$,

tj., A = Δ / 2, kde Δ označuje Operátor Laplace.

Kolmogorovova a Fokker-Planckova rovnice

Generátor se používá při formulaci Kolmogorovovy zpětné rovnice. Tato rovnice nám intuitivně říká, jak se očekává očekávaná hodnota jakékoli vhodně plynulé statistiky X se vyvíjí v čase: musí řešit jisté parciální diferenciální rovnice v jakém čase t a počáteční poloha X jsou nezávislé proměnné. Přesněji řečeno, pokud F ∈ C²(Rⁿ; R) má kompaktní podporu a u : [0, +∞) × Rⁿ → R je definováno

${displaystyle u (t, x) = mathbf {E} ^ {x} [f (X_ {t})],}$

pak u(t, X) je odlišitelný s ohledem na t, u(t, ·) ∈ D_A pro všechny t, a u splňuje následující parciální diferenciální rovnice, známý jako Kolmogorovova zpětná rovnice:

${displaystyle {egin {cases} {dfrac {částečné u} {částečné t}} (t, x) = Au (t, x), & t> 0, xin mathbf {R} ^ {n}; u (0, x) = f (x), & xin mathbf {R} ^ {n} .end {cases}}}$

Fokker-Planckova rovnice (také známá jako Kolmogorovova dopředná rovnice) je v jistém smyslu „adjoint "k zpětné rovnici a řekne nám, jak funkce hustoty pravděpodobnosti z X_t vyvíjet se s časem t. Nechť ρ (t, ·) Je hustota X_t s ohledem na Lebesgueovo opatření na Rⁿ, tj. pro jakoukoli Borel-měřitelnou sadu S ⊆ Rⁿ,

${displaystyle mathbf {P} left [X_ {t} in Sight] = int _ {S} ho (t, x), mathrm {d} x.}$

Nechat A^∗ označit Hermitian adjoint z A (s respektem k L² vnitřní produkt ). Poté, vzhledem k tomu, že počáteční pozice X₀ má předepsanou hustotu ρ₀, ρ (t, X) je odlišitelný s ohledem na t, ρ (t, ·) ∈ D_A* pro všechny ta ρ splňuje následující parciální diferenciální rovnici, známou jako Fokker-Planckova rovnice:

${displaystyle {egin {cases} {dfrac {částečné ho} {částečné t}} (t, x) = A ^ {*} ho (t, x), & t> 0, xin mathbf {R} ^ {n}; ho (0, x) = ho _ {0} (x), & xin mathbf {R} ^ {n} .end {cases}}}$

Feynman – Kacův vzorec

Feynman – Kacův vzorec je užitečným zobecněním Kolmogorovovy zpětné rovnice. Znovu, F je v C²(Rⁿ; R) a má kompaktní podporu a q : Rⁿ → R je považován za spojitá funkce to je omezeno níže. Definujte funkci proti : [0, +∞) × Rⁿ → R podle

${displaystyle v (t, x) = mathbf {E} ^ {x} vlevo [exp vlevo (-int _ {0} ^ {t} q (X_ {s}), mathrm {d} zrak) f (X_ { těsný].}$

The Feynman – Kacův vzorec tvrdí, že proti splňuje parciální diferenciální rovnici

${displaystyle {egin {cases} {dfrac {částečné v} {částečné t}} (t, x) = Av (t, x) -q (x) v (t, x), & t> 0, xin mathbf {R } ^ {n}; v (0, x) = f (x), & xin mathbf {R} ^ {n} .end {cases}}}$

Navíc pokud w : [0, +∞) × Rⁿ → R je C¹ včas, C² ve vesmíru, ohraničený na K. × Rⁿ pro všechny kompaktní K., a splňuje výše uvedenou parciální diferenciální rovnici w musí být proti jak je definováno výše.

Kolmogorovova zpětná rovnice je zvláštním případem Feynman-Kacova vzorce, ve kterém q(X) = 0 pro všechny X ∈ Rⁿ.

Charakteristický operátor

Definice

Charakteristický operátor difúze Itô X je operátor částečného diferenciálu úzce spojený s generátorem, ale o něco obecnější. Je vhodnější pro určité problémy, například při řešení problému Dirichletův problém.

The charakteristický operátor ${displaystyle {mathcal {A}}}$ difúze Itô X je definováno

${displaystyle {mathcal {A}} f (x) = lim _ {Udownarrow x} {frac {mathbf {E} ^ {x} vlevo [f (X_ {au _ {U}}) vpravo] -f (x) } {mathbf {E} ^ {x} [au _ {U}]}},}$

kde jsou sady U tvoří posloupnost otevřené sady U_k ten pokles k věci X V tom smyslu, že

${displaystyle U_ {k + 1} subseteq U_ {k} {mbox {and}} igcap _ {k = 1} ^ {infty} U_ {k} = {x},}$

a

${displaystyle au _ {U} = inf {tgeq 0: X_ {t} ot v U}}$

je první čas odchodu z U pro X. ${displaystyle D_ {mathcal {A}}}$ označuje množinu všech F pro které tento limit existuje pro všechny X ∈ Rⁿ a všechny sekvence {U_k}. Li E^X[τ_U] = + ∞ pro všechny otevřené sady U obsahující X, definovat

${displaystyle {mathcal {A}} f (x) = 0.}$

Vztah s generátorem

Charakteristický operátor a infinitezimální generátor jsou velmi úzce spjaty a dokonce souhlasí s velkou třídou funkcí. Jeden to může ukázat

${displaystyle D_ {A} subseteq D_ {mathcal {A}}}$

a to

${displaystyle Af = {mathcal {A}} f {mbox {pro všechny}} fin D_ {A}.}$

Zejména generátor a charakteristický operátor souhlasí se všemi C² funkce F, v jakém případě

${displaystyle {mathcal {A}} f (x) = součet _ {i} b_ {i} (x) {frac {částečné f} {částečné x_ {i}}} (x) + {frac {1} {2 }} součet _ {i, j} vlevo (sigma (x) sigma (x) ^ {op} ight) _ {i, j} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x_ {i}, částečné x_ {j}}} (x).}$

Aplikace: Brownův pohyb na Riemannově potrubí

Charakteristickým operátorem Brownova pohybu je ½násobek Laplaceova-Beltramiho operátoru. Tady je operátor Laplace-Beltrami na 2 sféře.

Nahoře je zapnutý generátor (a tedy charakteristický operátor) Brownova pohybu Rⁿ bylo vypočteno jako ½Δ, kde Δ označuje Laplaceův operátor. Charakteristický operátor je užitečný při definování Brownova pohybu na m-dimenzionální Riemannovo potrubí (M, G): a Brownův pohyb zapnutý M je definována jako difúze na M jehož charakteristický operátor ${displaystyle {mathcal {A}}}$ v místních souřadnicích X_i, 1 ≤ i ≤ m, je dáno ½Δ_LB, kde Δ_LB je Operátor Laplace-Beltrami dané v místních souřadnicích pomocí

${displaystyle Delta _ {mathrm {LB}} = {frac {1} {sqrt {det (g)}}} součet _ {i = 1} ^ {m} {frac {částečný} {částečný x_ {i}}} left ({sqrt {det (g)}} součet _ {j = 1} ^ {m} g ^ {ij} {frac {částečný} {částečný x_ {j}}} vpravo),}$

kde [G^ij] = [G_ij]⁻¹ ve smyslu inverze čtvercové matice.

Provozovatel likvidace

Obecně generátor A difúze Itô X není ohraničený operátor. Pokud je to však kladný násobek operátora identity Já je odečteno od A pak je výsledný operátor invertibilní. Inverzi tohoto operátoru lze vyjádřit pomocí X sám pomocí rozpouštědlo operátor.

Pro α> 0 platí provozovatel resolventu R_α, působící na omezené, spojité funkce G : Rⁿ → R, je definováno

${displaystyle R_ {alpha} g (x) = mathbf {E} ^ {x} vlevo [int _ {0} ^ {infty} e ^ {- alfa t} g (X_ {t}), mathrm {d} těsný ].}$

To lze ukázat pomocí Fellerovy kontinuity difúze X, že R_αG je sama o sobě omezenou, spojitou funkcí. Taky, R_α a αJá − A jsou vzájemně inverzní operátoři:

• -li F : Rⁿ → R je C² s kompaktní podporou tedy pro všechny α> 0,

${displaystyle R_ {alpha} (alpha mathbf {I} -A) f = f;}$

• -li G : Rⁿ → R je tedy omezený a spojitý R_αG leží v D_A a pro všechna α> 0

${displaystyle (alpha mathbf {I} -A) R_ {alpha} g = g.}$

Invariantní míry

Někdy je nutné najít invariantní míra pro šíření Itô X, tj. opatření na Rⁿ to se nemění pod "tokem" z X: tj. pokud X₀ je distribuován podle takové neměnné míry μ_∞, pak X_t je také distribuován podle μ_∞ pro všechny t ≥ 0. Fokkerova-Planckova rovnice nabízí způsob, jak takové měřítko najít, alespoň pokud má funkci hustoty pravděpodobnosti ρ_∞: pokud X₀ je skutečně distribuován podle invariantní míry μ_∞ s hustotou ρ_∞, pak hustota ρ (t, ·) Ze dne X_t se nemění s t, takže ρ (t, ·) = Ρ_∞, a tak ρ_∞ musí vyřešit (časově nezávislou) parciální diferenciální rovnici

${displaystyle A ^ {*} ho _ {infty} (x) = 0, quad xin mathbf {R} ^ {n}.}$

To ilustruje jednu ze souvislostí mezi stochastickou analýzou a studiem parciálních diferenciálních rovnic. Naopak, daná lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu tvaru ΛF = 0 může být obtížné přímo vyřešit, ale pokud Λ =A^∗ pro nějakou difúzi Itô Xa neměnná míra pro X je snadné vypočítat, pak hustota tohoto opatření poskytuje řešení parciální diferenciální rovnice.

Invariantní míry pro gradientní toky

Při procesu je invariantní míra poměrně snadno vypočítatelná X je stochastický gradientní tok formy

${displaystyle mathrm {d} X_ {t} = - abla Psi (X_ {t}), mathrm {d} t + {sqrt {2 eta ^ {- 1}}}, mathrm {d} B_ {t},}$

kde β> 0 hraje roli an inverzní teplota a Ψ:Rⁿ → R je skalární potenciál uspokojující vhodné podmínky hladkosti a růstu. V tomto případě má Fokker – Planckova rovnice jedinečné stacionární řešení ρ_∞ (tj. X má jedinečnou invariantní míru μ_∞ s hustotou ρ_∞) a je dán Gibbsova distribuce:

${displaystyle ho _ {infty} (x) = Z ^ {- 1} exp (- eta Psi (x)),}$

Kde funkce oddílu Z darováno

${displaystyle Z = int _ {mathbf {R} ^ {n}} exp (- eta Psi (x)), mathrm {d} x.}$

Navíc hustota ρ_∞ uspokojuje a variační princip: minimalizuje přes všechny hustoty pravděpodobnosti ρ on Rⁿ the energie zdarma funkční F dána

${displaystyle F [ho] = E [ho] + {frac {1} {eta}} S [ho],}$

kde

${displaystyle E [ho] = int _ {mathbf {R} ^ {n}} Psi (x) ho (x), mathrm {d} x}$

hraje roli energetického funkcionálu a

${displaystyle S [ho] = int _ {mathbf {R} ^ {n}} ho (x) log ho (x), mathrm {d} x}$

je zápor funkčnosti Gibbs-Boltzmannovy entropie. I když potenciál Ψ není pro funkci oddílu dostatečně vychovaný Z a Gibbsova míra μ_∞ bude definována volná energie F[ρ (t, ·)] Stále dává smysl pokaždé t ≥ 0, za předpokladu, že počáteční podmínka má F[ρ (0, ·)] <+ ∞. Volná energie funkční F je ve skutečnosti a Lyapunovova funkce pro Fokker-Planckovu rovnici: F[ρ (t, ·)] Musí klesat jako t zvyšuje. Tím pádem, F je H-funkce pro X-dynamika.

Příklad

Zvažte Ornstein-Uhlenbeck proces X na Rⁿ uspokojení stochastické diferenciální rovnice

${displaystyle mathrm {d} X_ {t} = - kappa (X_ {t} -m), mathrm {d} t + {sqrt {2 eta ^ {- 1}}}, mathrm {d} B_ {t},}$

kde m ∈ Rⁿ a β, κ> 0 jsou dány konstanty. V tomto případě je potenciál Ψ dán vztahem

${displaystyle Psi (x) = {frac {1} {2}} kappa | x-m | ^ {2},}$

a tak invariantní míra pro X je Gaussova míra s hustotou ρ_∞ dána

${displaystyle ho _ {infty} (x) = left ({frac {eta kappa} {2pi}} ight) ^ {frac {n} {2}} exp left (- {frac {eta kappa | xm | ^ {2 }} {2}} hned)}$.

Heuristicky, pro velké t, X_t je přibližně normálně distribuováno s průměrem m a rozptyl (βκ)⁻¹. Výraz pro rozptyl lze interpretovat následovně: velké hodnoty κ znamenají, že potenciální jáma "má„ velmi strmé strany “, takže X_t je nepravděpodobné, že by se pohyboval daleko od minima Ψ at m; podobně velké hodnoty β znamenají, že systém je docela „studený“ s malým šumem, takže opět X_t je nepravděpodobné, že by se vzdálil daleko od m.

Vlastnost martingale

Obecně platí, že difúze Itô X není martingale. Nicméně pro všechny F ∈ C²(Rⁿ; R) s kompaktní podporou procesu M : [0, + ∞) × Ω →R definován

${displaystyle M_ {t} = f (X_ {t}) - int _ {0} ^ {t} Af (X_ {s}), mathrm {d} s,}$

kde A je generátor X, je martingale s ohledem na přirozenou filtraci F_∗ z (Ω, Σ) o X. Důkaz je celkem jednoduchý: vyplývá to z obvyklého vyjádření působení generátoru na dostatečně plynulé funkce F a Itôovo lemma (stochastický řetězové pravidlo ) že

${displaystyle f (X_ {t}) = f (x) + int _ {0} ^ {t} Af (X_ {s}), mathrm {d} s + int _ {0} ^ {t} abla f ( X_ {s}) ^ {op} sigma (X_ {s}), mathrm {d} B_ {s}.}$

Protože integrály Itô jsou martingales s ohledem na přirozenou filtraci Σ_∗ z (Ω, Σ) o B, pro t > s,

${displaystyle mathbf {E} ^ {x} {ig [} M_ {t} {ig |} Sigma _ {s} {ig]} = M_ {s}.}$

Proto, jak je požadováno,

${displaystyle mathbf {E} ^ {x} [M_ {t} | F_ {s}] = mathbf {E} ^ {x} vlevo [mathbf {E} ^ {x} {ig [} M_ {t} {ig |} Sigma _ {s} {ig]} {ig |} F_ {s} ight] = mathbf {E} ^ {x} {ig [} M_ {s} {ig |} F_ {s} {ig]} = M_ {s},}$

od té doby M_s je F_s-měřitelný.

Dynkinův vzorec

Dynkinův vzorec, pojmenovaný po Eugene Dynkin, dává očekávaná hodnota jakékoli vhodně plynulé statistiky difúze Itô X (s generátorem A) v době zastavení. Přesně, pokud τ je doba zastavení s E^X[τ] <+ ∞ a F : Rⁿ → R je C² tedy s kompaktní podporou

${displaystyle mathbf {E} ^ {x} [f (X_ {au})] = f (x) + mathbf {E} ^ {x} left [int _ {0} ^ {au} Af (X_ {s} ), mathrm {d} zrak].}$

Dynkinův vzorec lze použít k výpočtu mnoha užitečných statistik časů zastavení. Například kanonický Brownův pohyb po reálné linii začínající na 0 opustí interval (−R, +R) v náhodném čase τ_R s očekávanou hodnotou

${displaystyle mathbf {E} ^ {0} [au _ {R}] = R ^ {2}.}$

Dynkinův vzorec poskytuje informace o chování X v poměrně obecné době zastavení. Další informace o distribuci X v a bít čas, lze studovat harmonické opatření procesu.

Související opatření

Harmonické opatření

V mnoha situacích stačí vědět, kdy dojde k difúzi Itô X nejprve opustí a měřitelná množina H ⊆ Rⁿ. To znamená, že si člověk přeje studovat čas prvního výstupu

${displaystyle au _ {H} (omega) = inf {tgeq 0 | X_ {t} ot v H}.}$

Někdy si však také přejeme znát rozdělení bodů, ve kterých X opustí soubor. Například kanonický Brownův pohyb B na reálném řádku začínajícím na 0 opustí interval (−1, 1) při −1 s pravděpodobností ½ a při 1 s pravděpodobností ½, tak B_τ(−1, 1) je rovnoměrně rozloženo na množině {−1, 1}.

Obecně, pokud G je kompaktně zabudováno v rámci Rⁿ, pak harmonické opatření (nebo zasažení distribuce) z X na hranice ∂G z G je míra μ_G^X definován

${displaystyle mu _ {G} ^ {x} (F) = mathbf {P} ^ {x} vlevo [X_ {au _ {G}} v boji]}$

pro X ∈ G a F ⊆ ∂G.

Vrátíme-li se k dřívějšímu příkladu Brownova pohybu, můžeme ukázat, že pokud B je Brownův pohyb dovnitř Rⁿ začínající na X ∈ Rⁿ a D ⊂ Rⁿ je otevřený míč soustředěný na X, pak harmonická míra B na ∂D je neměnný pod všemi rotace z D o X a shoduje se s normalizovaným povrchová míra na ∂D.

Harmonické opatření uspokojí zajímavé vlastnost střední hodnoty: pokud F : Rⁿ → R je libovolná ohraničená, Borel-měřitelná funkce a φ je dána vztahem

${displaystyle varphi (x) = mathbf {E} ^ {x} vlevo [f (X_ {au _ {H}}) vpravo],}$

pak pro všechny sady Borel G ⊂⊂ H a všechno X ∈ G,

${displaystyle varphi (x) = int _ {částečné G} varphi (y), mathrm {d} mu _ {G} ^ {x} (y).}$

Vlastnost střední hodnoty je velmi užitečná v řešení parciálních diferenciálních rovnic pomocí stochastických procesů.

Zelená míra a zelený vzorec

Nechat A být operátorem částečného rozdílu v doméně D ⊆ Rⁿ a nechte X být šíření Itô s A jako jeho generátor. Intuitivně zelená míra sady Borel H je očekávaná doba X zůstane uvnitř H před opuštěním domény D. Toto je Zelené opatření z X s ohledem na D na X, označeno G(X, ·), Je definován pro sady Borel H ⊆ Rⁿ podle

${displaystyle G (x, H) = mathbf {E} ^ {x} vlevo [int _ {0} ^ {au _ {D}} chi _ {H} (X_ {s}), mathrm {d} zrak] ,}$

nebo pro omezené spojité funkce F : D → R podle

${displaystyle int _ {D} f (y), G (x, mathrm {d} y) = mathbf {E} ^ {x} vlevo [int _ {0} ^ {au _ {D}} f (X_ { s}), mathrm {d} zrak].}$

Název „Zelené opatření“ vychází ze skutečnosti, že pokud X je tedy Brownův pohyb

${displaystyle G (x, H) = int _ {H} G (x, y), mathrm {d} y,}$

kde G(X, y) je Greenova funkce pro provozovatele ½Δ na doméně D.

Předpokládejme to E^X[τ_D] <+ ∞ pro všechny X ∈ D. Pak Zelený vzorec platí pro všechny F ∈ C²(Rⁿ; R) s kompaktní podporou:

${displaystyle f (x) = mathbf {E} ^ {x} left [fleft (X_ {au _ {D}} ight) ight] -int _ {D} Af (y), G (x, mathrm {d} y).}$

Zejména v případě, že podpora F je kompaktně zabudováno v D,

${displaystyle f (x) = - int _ {D} Af (y), G (x, mathrm {d} y).}$

Viz také

• Difúzní proces

Reference

• Dynkin, Eugene B.; trans. J. Fabius; V. Greenberg; A. Maitra; G. Majone (1965). Markovovy procesy. Sv. I, II. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bände 121. New York: Academic Press Inc. PAN0193671
• Jordan, Richard; Kinderlehrer, David; Otto, Felixe (1998). "Variační formulace Fokker-Planckovy rovnice". SIAM J. Math. Anální. 29 (1): 1–17 (elektronický). CiteSeerX  10.1.1.6.8815. doi:10.1137 / S0036141096303359. PAN1617171
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací (Šesté vydání). Berlín: Springer. ISBN  3-540-04758-1. PAN2001996 (Viz oddíly 7, 8 a 9)