Engelbert – Schmidtův zákon nuly jedna - Engelbert–Schmidt zero–one law

The Engelbert – Schmidtův zákon nuly jedna je věta, která dává matematické kritérium pro to, aby událost spojená s kontinuální, neklesající aditivní funkcí Brownova pohybu měla pravděpodobnost buď 0 nebo 1, bez možnosti střední hodnoty. Tento zákon nula jedna se používá při studiu otázek konečnosti a asymptotického chování pro stochastické diferenciální rovnice.^[1] (A Wienerův proces je matematická formalizace Brownova pohybu použitá ve větě věty.) Tento zákon 0-1, publikovaný v roce 1981, je pojmenován po Hans-Jürgenovi Engelbertovi^[2] a pravděpodobný Wolfgang Schmidt^[3] (nezaměňovat s teoretikem čísel Wolfgang M. Schmidt ).

Zákon Engelbert – Schmidt 0–1

Nechat ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ být σ-algebra a nechte ${ displaystyle F = ({ mathcal {F}} _ {t}) _ {t geq 0}}$ být rostoucí rodinou podřízenýchσ-algebry z ${ displaystyle { mathcal {F}}}$. Nechat ${ displaystyle (W, F)}$ být Wienerův proces na pravděpodobnostní prostor ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$Předpokládejme, že ${ displaystyle f}$ je Borel měřitelný funkce reálné čáry do [0, ∞]. Pak jsou následující tři tvrzení ekvivalentní:

(i) ${ displaystyle P { Big (} int _ {0} ^ {t} f (W_ {s}) , mathrm {d} s < infty { text {pro všechny}} t geq 0 { Big)}> 0}$.

ii) ${ displaystyle P { Big (} int _ {0} ^ {t} f (W_ {s}) , mathrm {d} s < infty { text {pro všechny}} t geq 0 { Big)} = 1}$.

(iii) ${ displaystyle int _ {K} f (y) , mathrm {d} y < infty ,}$ pro všechny kompaktní podmnožiny ${ displaystyle K}$ skutečné linie.^[4]

Rozšíření na stabilní procesy

V roce 1997 Pio Andrea Zanzotto prokázal následující rozšíření zákona nula jedna Engelbert – Schmidt. Obsahuje výsledek Engelberta a Schmidta jako speciální případ, protože Wienerův proces má skutečnou hodnotu stabilní proces indexu ${ displaystyle alpha = 2}$.

Nechat ${ displaystyle X}$ být ${ displaystyle mathbb {R}}$-hodnota stabilní proces indexu ${ displaystyle alpha in (1,2]}$ na filtrovaném pravděpodobnostní prostor ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, ({ mathcal {F}} _ {t}), P)}$Předpokládejme, že ${ displaystyle f: mathbb {R} až [0, infty]}$ je Borel měřitelný Následující tři tvrzení jsou ekvivalentní:

(i) ${ displaystyle P { Big (} int _ {0} ^ {t} f (X_ {s}) , mathrm {d} s < infty { text {pro všechny}} t geq 0 { Big)}> 0}$.

ii) ${ displaystyle P { Big (} int _ {0} ^ {t} f (X_ {s}) , mathrm {d} s < infty { text {pro všechny}} t geq 0 { Big)} = 1}$.

(iii) ${ displaystyle int _ {K} f (y) , mathrm {d} y < infty ,}$ pro všechny kompaktní podmnožiny ${ displaystyle K}$ skutečné linie.^[5]

Důkaz výsledku Zanzotto je téměř totožný s důkazem zákona Engelbert – Schmidt s nulovou jednotkou. Klíčovým objektem v důkazu je místní čas proces spojený se stabilními procesy indexu ${ displaystyle alpha in (1,2]}$, o kterém je známo, že je spojitý.^[6]

Viz také

• zákon nula jedna

Reference