v teorie důvěryhodnosti , obor v pojistněmatematická věda , Bühlmann model je model náhodných efektů (nebo "model variantních komponent" nebo hierarchický lineární model ) použité k určení vhodné pojistné pro skupinu pojistných smluv. Tento model je pojmenován po Hansi Bühlmannovi, který poprvé publikoval popis v roce 1967.[1]
Popis modelu Zvážit i rizika, která generují náhodné ztráty, pro která jsou historická data o m poslední nároky jsou k dispozici (indexováno podle) j ). Prémie pro i riziko je třeba určit na základě očekávané hodnoty škod. Hledá se lineární odhad, který minimalizuje střední kvadratickou chybu. Psát si
X ij pro j -tý nárok na i - riziko (předpokládáme, že všechny nároky na i - rizika jsou nezávislé a identicky distribuované ) X ¯ i = 1 m ∑ j = 1 m X i j {displaystyle scriptstyle {ar {X}} _ {i} = {frac {1} {m}} součet _ {j = 1} ^ {m} X_ {ij}} pro průměrnou hodnotu. Θ i {displaystyle Theta _ {i}} - parametr pro rozdělení i-tého rizika m ( ϑ ) = E [ X i j | Θ i = ϑ ] {displaystyle m (vartheta) = operatorname {E} vlevo [X_ {ij} | Theta _ {i} = vartheta ight]} Π = E ( m ( ϑ ) | X i 1 , X i 2 , . . . X i m ) {displaystyle Pi = operatorname {E} (m (vartheta) | X_ {i1}, X_ {i2}, ... X_ {im})} - prémie za i-té riziko μ = E ( m ( ϑ ) ) {displaystyle mu = operatorname {E} (m (vartheta))} s 2 ( ϑ ) = Var [ X i j | Θ i = ϑ ] {displaystyle s ^ {2} (vartheta) = operatorname {Var} vlevo [X_ {ij} | Theta _ {i} = vartheta ight]} σ 2 = E [ s 2 ( ϑ ) ] {displaystyle sigma ^ {2} = operatorname {E} vlevo [s ^ {2} (vartheta) ight]} proti 2 = Var [ m ( ϑ ) ] {displaystyle v ^ {2} = operatorname {Var} vlevo [m (vartheta) ight]} Poznámka: m ( ϑ ) {displaystyle m (vartheta)} a s 2 ( ϑ ) {displaystyle s ^ {2} (vartheta)} jsou funkce náhodného parametru ϑ {displaystyle vartheta}
Řešení problému představuje model Bühlmann:
A r G m i n A i 0 , A i 1 , . . . , A i m E [ ( A i 0 + ∑ j = 1 m A i j X i j − Π ) 2 ] {displaystyle {underset {a_ {i0}, a_ {i1}, ..., a_ {im}} {operatorname {arg, min}}} operatorname {E} left [left (a_ {i0} + sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} -Pi ight) ^ {2} ight]} kde A i 0 + ∑ j = 1 m A i j X i j {displaystyle a_ {i0} + součet _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij}} je odhad pojistného Π {displaystyle Pi} a arg min představuje hodnoty parametrů, které minimalizují výraz.
Modelové řešení Řešení problému je:
Z X ¯ i + ( 1 − Z ) μ {displaystyle Z {ar {X}} _ {i} + (1-Z) mu} kde:
Z = 1 1 + σ 2 proti 2 m {displaystyle Z = {frac {1} {1+ {frac {sigma ^ {2}} {v ^ {2} m}}}}} Můžeme dát tomuto výsledku výklad, že část Z pojistného je založena na informacích, které máme o konkrétním riziku, a část (1-Z) je založena na informacích, které máme o celé populaci.
Důkaz Následující důkaz se mírně liší od originálu. Je to také obecnější, protože bere v úvahu všechny lineární odhady, zatímco původní důkaz bere v úvahu pouze odhady založené na průměrném tvrzení.[2]
Lemma. Problém lze alternativně konstatovat jako: F = E [ ( A i 0 + ∑ j = 1 m A i j X i j − m ( ϑ ) ) 2 ] → min {displaystyle f = mathbb {E} vlevo [vlevo (a_ {i0} + součet _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} -m (vartheta) ight) ^ {2} ight] o min} Důkaz:
E [ ( A i 0 + ∑ j = 1 m A i j X i j − m ( ϑ ) ) 2 ] = E [ ( A i 0 + ∑ j = 1 m A i j X i j − Π ) 2 ] + E [ ( m ( ϑ ) − Π ) 2 ] + 2 E [ ( A i 0 + ∑ j = 1 m A i j X i j − Π ) ( m ( ϑ ) − Π ) ] = E [ ( A i 0 + ∑ j = 1 m A i j X i j − Π ) 2 ] + E [ ( m ( ϑ ) − Π ) 2 ] {displaystyle {egin {aligned} mathbb {E} vlevo [vlevo (a_ {i0} + součet _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} -m (vartheta) ight) ^ {2} ight] & = mathbb {E} vlevo [vlevo (a_ {i0} + součet _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} -Pi ight) ^ {2} ight] + mathbb {E } left [left (m (vartheta) -Pi ight) ^ {2} ight] + 2mathbb {E} left [left (a_ {i0} + sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ { ij} -Pi ight) vlevo (m (vartheta) -Pi ight) ight] & = mathbb {E} vlevo [vlevo (a_ {i0} + součet _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} -Pi ight) ^ {2} ight] + mathbb {E} vlevo [vlevo (m (vartheta) -Pi ight) ^ {2} ight] konec {zarovnáno}}} Poslední rovnice vyplývá ze skutečnosti, že
E [ ( A i 0 + ∑ j = 1 m A i j X i j − Π ) ( m ( ϑ ) − Π ) ] = E Θ [ E X [ ( A i 0 + ∑ j = 1 m A i j X i j − Π ) ( m ( ϑ ) − Π ) | X i 1 , … , X i m ] ] = E Θ [ ( A i 0 + ∑ j = 1 m A i j X i j − Π ) [ E X [ ( m ( ϑ ) − Π ) | X i 1 , … , X i m ] ] ] = 0 {displaystyle {egin {aligned} mathbb {E} vlevo [vlevo (a_ {i0} + součet _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} -Pi ight) vlevo (m (vartheta) - Pi ight) ight] & = mathbb {E} _ {Theta} left [mathbb {E} _ {X} left.left [left (a_ {i0} + sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij } X_ {ij} -Pi ight) (m (vartheta) -Pi) ight | X_ {i1}, ldots, X_ {im} ight] ight] & = mathbb {E} _ {Theta} vlevo [vlevo (a_ {i0} + součet _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} -Pi ight) vlevo [mathbb {E} _ {X} vlevo [(m (vartheta) -Pi) | X_ { i1}, ldots, X_ {im} ight] ight] ight] & = 0end {zarovnáno}}} Používáme zde zákon úplného očekávání a skutečnost, že Π = E [ m ( ϑ ) | X i 1 , … , X i m ] . {displaystyle Pi = mathbb {E} [m (vartheta) | X_ {i1}, ldots, X_ {im}].}
V naší předchozí rovnici rozložíme minimalizovanou funkci na součet dvou výrazů. Druhý výraz nezávisí na parametrech použitých při minimalizaci. Proto je minimalizace funkce stejná jako minimalizace první části součtu.
Najdeme kritické body funkce
1 2 ∂ F ∂ A 01 = E [ A i 0 + ∑ j = 1 m A i j X i j − m ( ϑ ) ] = A i 0 + ∑ j = 1 m A i j E ( X i j ) − E ( m ( ϑ ) ) = A i 0 + ( ∑ j = 1 m A i j − 1 ) μ {displaystyle {frac {1} {2}} {frac {částečné f} {částečné a_ {01}}} = mathbb {E} vlevo [a_ {i0} + součet _ {j = 1} ^ {m} a_ { ij} X_ {ij} -m (vartheta) ight] = a_ {i0} + součet _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} mathbb {E} (X_ {ij}) - mathbb {E} ( m (vartheta)) = a_ {i0} + vlevo (součet _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} -1ight) mu} A i 0 = ( 1 − ∑ j = 1 m A i j ) μ {displaystyle a_ {i0} = left (1-sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} ight) mu} Pro k ≠ 0 {displaystyle keq 0} my máme:
1 2 ∂ F ∂ A i k = E [ X i k ( A i 0 + ∑ j = 1 m A i j X i j − m ( ϑ ) ) ] = E [ X i k ] A i 0 + ∑ j = 1 , j ≠ k m A i j E [ X i k X i j ] + A i k E [ X i k 2 ] − E [ X i k m ( ϑ ) ] = 0 {displaystyle {frac {1} {2}} {frac {částečné f} {částečné a_ {ik}}} = mathbb {E} vlevo [X_ {ik} vlevo (a_ {i0} + součet _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} -m (vartheta) ight) ight] = mathbb {E} vlevo [X_ {ik} ight] a_ {i0} + součet _ {j = 1, jeq k} ^ {m} a_ {ij} mathbb {E} [X_ {ik} X_ {ij}] + a_ {ik} mathbb {E} [X_ {ik} ^ {2}] - mathbb {E} [X_ {ik} m (vartheta)] = 0} Můžeme zjednodušit derivaci s tím, že:
E [ X i j X i k ] = E [ E [ X i j X i k | ϑ ] ] = E [ cov ( X i j X i k | ϑ ) + E ( X i j | ϑ ) E ( X i k | ϑ ) ] = E [ ( m ( ϑ ) ) 2 ] = proti 2 + μ 2 E [ X i k 2 ] = E [ E [ X i k 2 | ϑ ] ] = E [ s 2 ( ϑ ) + ( m ( ϑ ) ) 2 ] = σ 2 + proti 2 + μ 2 E [ X i k m ( ϑ ) ] = E [ E [ X i k m ( ϑ ) | Θ i ] = E [ ( m ( ϑ ) ) 2 ] = proti 2 + μ 2 {displaystyle {egin {aligned} mathbb {E} [X_ {ij} X_ {ik}] & = mathbb {E} vlevo [mathbb {E} [X_ {ij} X_ {ik} | vartheta] ight] = mathbb { E} [{ext {cov}} (X_ {ij} X_ {ik} | vartheta) + mathbb {E} (X_ {ij} | vartheta) mathbb {E} (X_ {ik} | vartheta)] = mathbb { E} [(m (vartheta)) ^ {2}] = v ^ {2} + mu ^ {2} mathbb {E} [X_ {ik} ^ {2}] & = mathbb {E} vlevo [mathbb {E} [X_ {ik} ^ {2} | vartheta] ight] = mathbb {E} [s ^ {2} (vartheta) + (m (vartheta)) ^ {2}] = sigma ^ {2} + v ^ {2} + mu ^ {2} mathbb {E} [X_ {ik} m (vartheta)] & = mathbb {E} [mathbb {E} [X_ {ik} m (vartheta) | Theta _ { i}] = mathbb {E} [(m (vartheta)) ^ {2}] = v ^ {2} + mu ^ {2} konec {zarovnáno}}} Vezmeme-li výše uvedené rovnice a vložíme je do derivace, máme:
1 2 ∂ F ∂ A i k = ( 1 − ∑ j = 1 m A i j ) μ 2 + ∑ j = 1 , j ≠ k m A i j ( proti 2 + μ 2 ) + A i k ( σ 2 + proti 2 + μ 2 ) − ( proti 2 + μ 2 ) = A i k σ 2 − ( 1 − ∑ j = 1 m A i j ) proti 2 = 0 {displaystyle {frac {1} {2}} {frac {částečné f} {částečné a_ {ik}}} = vlevo (1-součet _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} přesně) mu ^ { 2} + součet _ {j = 1, jeq k} ^ {m} a_ {ij} (v ^ {2} + mu ^ {2}) + a_ {ik} (sigma ^ {2} + v ^ {2 } + mu ^ {2}) - (v ^ {2} + mu ^ {2}) = a_ {ik} sigma ^ {2} - vlevo (1-součet _ {j = 1} ^ {m} a_ { ij} ight) v ^ {2} = 0} σ 2 A i k = proti 2 ( 1 − ∑ j = 1 m A i j ) {displaystyle sigma ^ {2} a_ {ik} = v ^ {2} vlevo (1-součet _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} ight)} Pravá strana nezávisí na k . Proto všichni A i k {displaystyle a_ {ik}} jsou konstantní
A i 1 = ⋯ = A i m = proti 2 σ 2 + m proti 2 {displaystyle a_ {i1} = cdots = a_ {im} = {frac {v ^ {2}} {sigma ^ {2} + mv ^ {2}}}} Z řešení pro A i 0 {displaystyle a_ {i0}} my máme
A i 0 = ( 1 − m A i k ) μ = ( 1 − m proti 2 σ 2 + m proti 2 ) μ {displaystyle a_ {i0} = (1-ma_ {ik}) mu = vlevo (1- {frac {mv ^ {2}} {sigma ^ {2} + mv ^ {2}}} vpravo) mu} Konečně nejlepší odhad je
A i 0 + ∑ j = 1 m A i j X i j = m proti 2 σ 2 + m proti 2 X i ¯ + ( 1 − m proti 2 σ 2 + m proti 2 ) μ = Z X i ¯ + ( 1 − Z ) μ {displaystyle a_ {i0} + součet _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} = {frac {mv ^ {2}} {sigma ^ {2} + mv ^ {2}}} {ar {X_ {i}}} + vlevo (1- {frac {mv ^ {2}} {sigma ^ {2} + mv ^ {2}}} ight) mu = Z {ar {X_ {i}} } + (1-Z) mu} Reference Citace Zdroje Frees, E.W .; Young, V.R .; Luo, Y. (1999). "Longitudinální analýza dat interpretace modelů důvěryhodnosti". Pojištění: Matematika a ekonomie . 24 (3): 229–247. doi :10.1016 / S0167-6687 (98) 00055-9 .