Náhodné pole - Random field - Wikipedia

v fyzika a matematika, a náhodné pole je náhodná funkce nad libovolnou doménou (obvykle vícerozměrný prostor jako např ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ ). To znamená, že je to funkce ${ displaystyle f (x)}$ který v každém bodě získá náhodnou hodnotu ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {n}}$ (nebo nějaká jiná doména). To je také někdy považováno za synonymum pro stochastický proces s určitým omezením na jeho indexu.^[1] To znamená, že podle moderních definic je náhodné pole zobecněním a stochastický proces kde již nemusí být základní parametr nemovitý nebo celé číslo „čas“, ale místo toho může nabývat vícerozměrných hodnot vektory nebo ukazuje na některé potrubí.^[2]

Formální definice

Vzhledem k tomu, pravděpodobnostní prostor ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ , an X-valued random field is a collection of X-hodnota náhodné proměnné indexovány prvky v a topologický prostor T. To znamená náhodné pole F je sbírka

{ displaystyle {F_ {t}: t v T }}

kde každý ${ displaystyle F_ {t}}$ je X-hodná náhodná proměnná.

Příklady

Ve své diskrétní verzi je náhodné pole seznam náhodných čísel, jejichž indexy jsou identifikovány diskrétní sadou bodů v prostoru (například n-dimenzionální Euklidovský prostor ). Obecněji lze hodnoty definovat v souvislé doméně a náhodné pole lze považovat za náhodnou proměnnou s „hodnotou funkce“, jak je popsáno výše. v kvantová teorie pole pojem je dokonce zobecněn na náhodný funkční, který přebírá náhodnou hodnotu přes a prostor funkcí (vidět Feynmanův integrál ). Existuje několik druhů náhodných polí, mezi nimi i Markovovo náhodné pole (MRF), Gibbsovo náhodné pole, podmíněné náhodné pole (CRF) a Gaussovo náhodné pole. MRF vystavuje Majetek Markov

{ displaystyle P (X_ {i} = x_ {i} | X_ {j} = x_ {j}, i neq j) = P (X_ {i} = x_ {i} | X_ {j} = x_ { j}, j in částečné _ {i}), ,}

pro každou volbu hodnot ${ displaystyle (x_ {j}) _ {j}}$ . A každý ${ displaystyle částečné _ {i}}$ je soubor sousedů ${ displaystyle i}$ . Jinými slovy, pravděpodobnost, že náhodná proměnná převezme hodnotu, závisí na jejích bezprostředních sousedních náhodných proměnných. Pravděpodobnost náhodné proměnné v MRF je dána vztahem

{ displaystyle P (X_ {i} = x_ {i} | částečné _ {i}) = { frac {P (X_ {i} = x_ {i}, částečné _ {i})}} { součet _ {k} P (X_ {i} = k, částečné _ {i})}}}}

kde součet (může být integrál) přesahuje možné hodnoty k. Někdy je obtížné přesně vypočítat toto množství. V roce 1974 Julian Besag navrhl metodu aproximace opírající se o vztah mezi MRF a Gibbsovými RF.^{[Citace je zapotřebí ]}

Aplikace

Při použití v přírodní vědy, hodnoty v náhodném poli jsou často prostorově korelované. Například sousední hodnoty (tj. Hodnoty se sousedními indexy) se neliší natolik jako hodnoty, které jsou dále od sebe. Toto je příklad a kovariance struktura, jejíž mnoho různých typů lze modelovat v náhodném poli. Jedním z příkladů je Isingův model kde někdy jsou interakce nejbližších sousedů zahrnuty pouze jako zjednodušení pro lepší pochopení modelu.

Běžné použití náhodných polí je při generování počítačové grafiky, zejména těch, které napodobují přirozené povrchy, jako jsou voda a Země.

v neurovědy, zejména v funkční zobrazování mozku související s úkolem studie využívající PET nebo fMRI, statistická analýza náhodných polí je jednou běžnou alternativou k oprava pro více srovnání najít regiony s skutečně významná aktivace.^[3]

Používají se také v strojové učení aplikace (viz grafické modely ).

Náhodná pole s hodnotou tenzoru

Náhodná pole jsou velmi užitečná při studiu přírodních procesů metodou Metoda Monte Carlo ve kterém náhodná pole odpovídají přirozeně prostorově se měnícím vlastnostem. To vede k náhodným polím s hodnotou tenzoru, ve kterých klíčovou roli hraje prvek statistického objemu (SVE); když se SVE dostatečně zvětší, jeho vlastnosti se stanou deterministickými a člověk získá reprezentativní objemový prvek (RVE) deterministické fyziky kontinua. Druhým typem náhodných polí, která se objevují v teoriích kontinua, jsou pole závislých veličin (teplota, posunutí, rychlost, deformace, rotace, síly těla a povrchu, napětí atd.).^[4]

Viz také

Reference

^ „Náhodná pole“ (PDF).
^ Vanmarcke, Erik (2010). Náhodná pole: analýza a syntéza. Světová vědecká nakladatelská společnost. ISBN 978-9812563538.
^ Worsley, K. J .; Evans, A. C .; Marrett, S .; Neelin, P. (listopad 1992). „Trojrozměrná statistická analýza pro studie aktivace CBF v lidském mozku“. Journal of Cerebral Blood Flow & Metabolism. 12 (6): 900–918. doi:10.1038 / jcbfm.1992.127. ISSN 0271-678X. PMID 1400644.
^ Malyarenko, Anatolij; Ostoja-Starzewski, Martin (2019). Náhodná pole s tenzorem pro fyziku kontinua. Cambridge University Press. ISBN 9781108429856.

Další čtení

Adler, R. J. & Taylor, Jonathan (2007). Náhodná pole a geometrie. Springer. ISBN 978-0-387-48112-8.
Besag, J. E. (1974). "Prostorová interakce a statistická analýza mřížových systémů". Journal of the Royal Statistical Society. Řada B. 36 (2): 192–236. doi:10.1111 / j.2517-6161.1974.tb00999.x.
Griffeath, David (1976). "Náhodná pole". v Kemeny, John G.; Snell, Laurie; Knapp, Anthony W. (eds.). Nespočetné Markovovy řetězy (2. vyd.). Springer. ISBN 0-387-90177-9.
Khoshnevisan (2002). Procesy s více parametry: Úvod do náhodných polí. Springer. ISBN 0-387-95459-7.

[1] „Náhodná pole“ (PDF).

[2] Vanmarcke, Erik (2010). Náhodná pole: analýza a syntéza. Světová vědecká nakladatelská společnost. ISBN 978-9812563538.

[3] Worsley, K. J .; Evans, A. C .; Marrett, S .; Neelin, P. (listopad 1992). „Trojrozměrná statistická analýza pro studie aktivace CBF v lidském mozku“. Journal of Cerebral Blood Flow & Metabolism. 12 (6): 900–918. doi:10.1038 / jcbfm.1992.127. ISSN 0271-678X. PMID 1400644.

[4] Malyarenko, Anatolij; Ostoja-Starzewski, Martin (2019). Náhodná pole s tenzorem pro fyziku kontinua. Cambridge University Press. ISBN 9781108429856.

[1]

[2]

[3]

[4]

Stochastické procesy
Diskrétní čas	Bernoulliho proces Proces větvení Proces čínské restaurace Galton – Watsonův proces Nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné Markovův řetězec Moranský proces Náhodná procházka Smyčka vymazána Vyhýbání se sobě Předpojatý Maximální entropie
Nepřetržitý čas	Aditivní proces Besselův proces Proces narození - smrti čistý porod Brownův pohyb Most Výlet Frakční Geometrický Meandr Cauchyho proces Kontaktní proces Náhodná chůze v nepřetržitém čase Coxův proces Difúzní proces Empirický proces Fellerův proces Fleming – Viotův proces Proces gama Geometrický proces Proces lovu Interakční částicové systémy Je to difúze Proces Skoková difúze Proces skoku Lévyho proces Místní čas Markovův aditivní proces McKean – Vlasov proces Proces Ornstein – Uhlenbeck Poissonův proces Sloučenina Nehomogenní Evoluce Schramm – Loewner Semimartingale Sigma-martingale Stabilní proces Superproces Telegrafický proces Variační gama proces Wienerův proces Vídeňská klobása
Oba	Proces větvení Galves – Löcherbachův model Gaussův proces Skrytý Markovův model (HMM) Markov proces Martingale Rozdíly Místní Sub- Super- Náhodný dynamický systém Regenerativní proces Proces obnovy Stochastické řetězce s pamětí proměnné délky bílý šum
Pole a další	Dirichletův proces Gaussovo náhodné pole Gibbsova míra Hopfieldův model Isingův model Pottsův model Booleovská síť Markovovo náhodné pole Perkolace Pitman – Yorův proces Bodový proces Kormidelník jed Náhodné pole Náhodný graf
Modely časových řad	Autoregresní model podmíněné heteroskedasticity (ARCH) Autoregresní model integrovaného klouzavého průměru (ARIMA) Autoregresní (AR) model Autoregresní model s klouzavým průměrem (ARMA) Zobecněný model autoregresní podmíněné heteroskedasticity (GARCH) Model s klouzavým průměrem (MA)
Finanční modely	Cenový model binomických opcí Black – Derman – Toy Černá - Karasinski Black – Scholes Chen Konstantní pružnost odchylky (CEV) Cox – Ingersoll – Ross (CIR) Garman – Kohlhagen Heath – Jarrow – Morton (HJM) Hestone Ho-Lee Trup – bílý LIBOR trh Rendleman – Bartter Volatilita SABR Vašíček Wilkie
Pojistně-matematické modely	Bühlmann Cramér – Lundberg Proces rizika Sparre – Anderson
Řazení modelů	Hromadně Tekutina Zobecněná síť front M / G / 1 M / M / 1 M / M / c
Vlastnosti	Càdlàg cesty Kontinuální Kontinuální cesty Ergodický Vyměnitelné Feller kontinuální Gauss – Markov Markov Míchání Po částech deterministický Předvídatelný Postupně měřitelné Self-podobné Stacionární Časově reverzibilní
Limitní věty	Teorém centrálního limitu Donskerova věta Doobovy věty o konverzi martingale Ergodická věta Věta Fisher – Tippett – Gnedenko Princip velké odchylky Zákon velkých čísel (slabý / silný) Zákon iterovaného logaritmu Maximální ergodická věta Sanovova věta Nulové zákony (Blumenthal, Borel – Cantelli, Engelbert – Schmidt, Hewitt – Savage, Kolmogorov, Lévy )
Nerovnosti	Burkholder – Davis – Gundy Doobův martingale Doob je upcrossing Kunita – Watanabe
Nástroje	Cameron – Martinův vzorec Konvergence náhodných proměnných Doléans-Dade exponenciální Věta o Doobově rozkladu Věta o rozkladu Doob – Meyer Doobova volitelná zastavovací věta Dynkinův vzorec Feynman – Kacův vzorec Filtrace Girsanovova věta Infinitezimální generátor Je to integrální Itôovo lemma Karhunen – Loève_theorem Kolmogorovova věta o spojitosti Kolmogorovova věta o rozšíření Lévy – Prochorovova metrika Malliavinův počet Martingaleova věta o reprezentaci Volitelná zastavovací věta Prochorovova věta Kvadratická variace Princip reflexe Skorokhod integrál Skorokhodova věta o reprezentaci Skorokhod prostor Snell obálka Stochastická diferenciální rovnice Tanaka Čas zastavení Stratonovichův integrál Jednotná integrovatelnost Obvyklé hypotézy Wienerův prostor Klasický Abstraktní
Disciplíny	Pojistněmatematická matematika Teorie řízení Ekonometrie Ergodická teorie Teorie extrémních hodnot (EVT) Teorie velkých odchylek Matematické finance Matematická statistika Teorie pravděpodobnosti Teorie řazení Teorie obnovy Teorie ruin Zpracování signálu Statistika Systém na čipu design Stochastická analýza Analýza časových řad Strojové učení
Seznam témat Kategorie