Klasický Wienerův prostor - Classical Wiener space

Norbert Wiener

v matematika, klasický Wienerův prostor je sbírka všech spojité funkce na dané doména (obvykle sub-interval z skutečná linie ), přičemž hodnoty v a metrický prostor (obvykle n-dimenzionální Euklidovský prostor ). Klasický Wienerův prostor je užitečný při studiu stochastické procesy jejichž vzorové cesty jsou spojité funkce. Je pojmenována po americký matematik Norbert Wiener.

Definice

Zvážit E ⊆ Rⁿ a metrický prostor (M, d). The klasický Wienerův prostor C(E; M) je prostor všech spojitých funkcí F : E → M. Tj. pro každou pevnou t v E,

${displaystyle d (f (s), f (t)) o 0}$ tak jako ${displaystyle | s-t | o 0.}$

Téměř ve všech aplikacích lze použít jeden E = [0, T] nebo [0, + ∞) a M = Rⁿ pro některé n v N. Pro stručnost napište C pro C([0, T]; Rⁿ); toto je vektorový prostor. Psát si C₀ pro lineární podprostor skládající se pouze z těch funkcí, které přebírají nulu na infimu množiny E. Mnoho autorů odkazuje C₀ jako „klasický Wienerův prostor“.

Vlastnosti klasického Wienerova prostoru

Jednotná topologie

Vektorový prostor C mohou být vybaveny jednotná norma

${displaystyle | f |: = sup _ {tin [0, T]} | f (t) |}$

přeměnit to na normovaný vektorový prostor (ve skutečnosti Banachův prostor ). Tato norma indukuje a metrický na C obvyklým způsobem: ${displaystyle d (f, g): = | f-g |}$. The topologie generované otevřené sady v této metrice je topologie jednotná konvergence dne [0, T], nebo jednotná topologie.

Přemýšlení o doméně [0, T] jako „čas“ a rozsah Rⁿ jako „prostor“, intuitivní pohled na jednotnou topologii spočívá v tom, že dvě funkce jsou „blízké“, pokud můžeme „trochu zakroutit prostorem“ a získat graf F ležet nad grafem G, při ponechání času stanoveného. Porovnejte to s Skorokhod topologie, což nám umožňuje „vrtět“ prostorem i časem.

Oddělitelnost a úplnost

S ohledem na jednotnou metriku C je oba a oddělitelný a a kompletní prostor:

• oddělitelnost je důsledkem Stone-Weierstrassova věta;
• úplnost je důsledkem skutečnosti, že jednotná mez posloupnosti spojitých funkcí je sama o sobě spojitá.

Jelikož je oddělitelný i úplný, C je Polský prostor.

Těsnost v klasickém Wienerově prostoru

Připomeňme, že modul spojitosti pro funkci F : [0, T] → Rⁿ je definováno

${displaystyle omega _ {f} (delta): = sup left {| f (s) -f (t) | left | s, tin [0, T], | s-t | leq delta ight.ight}.}$

Tato definice má smysl, i když F není kontinuální a lze to ukázat F je spojitý kdyby a jen kdyby jeho modul spojitosti má sklon k nule jako δ → 0:

${displaystyle fin Ciff omega _ {f} (delta) o 0}$ jako δ → 0.

Aplikací Věta Arzelà-Ascoli, lze ukázat, že sekvence ${displaystyle (mu _ {n}) _ {n = 1} ^ {infty}}$ z pravděpodobnostní opatření na klasickém Wienerově prostoru C je těsný pouze tehdy, jsou-li splněny obě následující podmínky:

${displaystyle lim _ {a o infty} limsup _ {n o infty} mu _ {n} {fin C || f (0) | geq a} = 0,}$ a

${displaystyle lim _ {delta o 0} limsup _ {n o infty} mu _ {n} {fin C | omega _ {f} (delta) geq varepsilon} = 0}$ pro všechna ε> 0.

Klasické Wienerovo opatření

Je zapnuto „standardní“ opatření C₀, známý jako klasické Wienerovo opatření (nebo jednoduše Wienerovo opatření). Wienerova míra má (alespoň) dvě ekvivalentní charakterizace:

Pokud jeden definuje Brownův pohyb být a Markov stochastický proces B : [0, T] × Ω → Rⁿ, počínaje počátkem, s téměř jistě spojité cesty a nezávislé přírůstky

${displaystyle B_ {t} -B_ {s} sim mathrm {Normal} vlevo (0, | t-s | ight),}$

pak klasická Wienerova míra γ je zákon procesu B.

Alternativně lze použít abstraktní Wienerův prostor konstrukce, ve které je klasická Wienerova míra γ radonifikace z kanonická Gaussova válcová sada opatření na Cameron-Martin Hilbertův prostor souhlasí s C₀.

Klasické Wienerovo opatření je a Gaussova míra: zejména se jedná o a přísně pozitivní míra pravděpodobnosti.

Vzhledem k tomu, že klasické Wienerovo měření je zapnuto C₀, míra produktu yⁿ × γ je míra pravděpodobnosti na C, kde γⁿ označuje standard Gaussova míra na Rⁿ.

Viz také

• Skorokhod prostor, zobecnění klasického Wienerova prostoru, který umožňuje diskontinuitu funkcí
• Abstraktní Wienerův prostor
• Wienerův proces