Kolmogorovův zákon nula jedna - Kolmogorovs zero–one law - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Kolmogorovův zákon nula jedna, pojmenovaný na počest Andrey Nikolaevich Kolmogorov, určuje, že určitý typ událost, nazvaný a ocasní událost, buď téměř jistě stát se nebo téměř jistě ne; toto je pravděpodobnost takové události, která nastane, je nula nebo jedna.

Ocasní události jsou definovány jako nekonečné sekvence z náhodné proměnné. Předpokládat

{ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, dots}

je nekonečná posloupnost nezávislý náhodné proměnné (nemusí být nutně identicky distribuovány). Nechat ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ být σ-algebra generované ${ displaystyle X_ {i}}$ . Pak ocasní událost ${ displaystyle F v { mathcal {F}}}$ je událost, která je pravděpodobnostně nezávislý každé konečné podmnožiny těchto náhodných proměnných. (Poznámka: ${ displaystyle F}$ patřící ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ znamená, že členství v ${ displaystyle F}$ je jednoznačně určeno hodnotami ${ displaystyle X_ {i}}$ druhá podmínka je však přísně slabší a nestačí k prokázání zákona nula jedna.) Například událost konvergující posloupnost a událost konvergující její součet jsou události ocasu. V nekonečném sledu losování je sekvence 100 po sobě jdoucích hlav vyskytujících se nekonečně mnohokrát událostí ocasu.

Ocasní události jsou přesně ty události, jejichž výskyt lze stále určit, pokud jde o libovolně velký, ale konečný počáteční segment ${ displaystyle X_ {i}}$ je odebrán.

V mnoha situacích může být snadné použít Kolmogorovův zákon nuly k prokázání, že některá událost má pravděpodobnost 0 nebo 1, ale překvapivě těžké ji určit který z těchto dvou extrémních hodnot je správná.

Formulace

Obecnější tvrzení Kolmogorovova zákona nula jedna platí pro sekvence nezávislých σ-algeber. Nechť (Ω,F,P) být a pravděpodobnostní prostor a nechte F_n být posloupnost vzájemně nezávislých σ-algeber obsažených v F. Nechat

{ displaystyle G_ {n} = sigma { bigg (} bigcup _ {k = n} ^ { infty} F_ {k} { bigg)}}

být nejmenší σ-algebra obsahující F_n, F_n+1,…. Kolmogorovův zákon nula jedna to pak tvrdí pro každou událost

{ displaystyle F in bigcap _ {n = 1} ^ { infty} G_ {n}}

jeden má buď P(F) = 0 nebo 1.

Prohlášení o zákoně, pokud jde o náhodné proměnné, se získá z druhé z nich, když vezmeme každou F_n být σ-algebra generovaná náhodnou proměnnou X_n. Ocasní událost je pak podle definice událost, která je měřitelná vzhledem k σ-algebře generované všemi X_n, ale který je nezávislý na konečném počtu X_n. To znamená, že událost ocasu je přesně prvkem křižovatky ${ displaystyle textstyle { bigcap _ {n = 1} ^ { infty} G_ {n}}}$ .

Příklady

An invertibilní transformace zachovávající opatření na standardní pravděpodobnostní prostor který se řídí zákonem 0-1, se nazývá a Kolmogorovův automorfismus.^{[je zapotřebí objasnění ]} Všechno Bernoulliho automorfismy jsou Kolmogorovovy automorfismy, ale nejsou naopak.

Viz také

Reference

Stroock, Daniel (1999). Teorie pravděpodobnosti: Analytický pohled (přepracované vydání). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66349-6..
Brzezniak, Zdzislaw; Zastawniak, Thomasz (2000). Základní stochastické procesy. Springer. ISBN 3-540-76175-6.
Rosenthal, Jeffrey S. (2006). První pohled na přísnou teorii pravděpodobnosti. Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. str.37. ISBN 978-981-270-371-2.

externí odkazy

Dědictví Andreje Nikolajeviče Kolmogorov Životopis a biografie. Kolmogorovova škola. Ph.D. studenti a potomci A. N. Kolmogorova. A. N. Kolmogorov pracuje, knihy, noviny, články. Fotografie a portréty A. N. Kolmogorova.