Měřitelný prostor - Measurable space

v matematika, a měřitelný prostor nebo Borelův prostor^[1] je základní objekt v teorie míry. Skládá se z a soubor a a σ-algebra, který definuje podmnožiny to bude měřeno.

Definice

Zvažte sadu ${ displaystyle X}$ a a σ-algebra ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ na ${ displaystyle X}$ . Pak n-tice ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$ se nazývá měřitelný prostor.^[2]

Na rozdíl od a změřte prostor, Ne opatření je potřebný pro měřitelný prostor.

Příklad

Podívejte se na sadu

{ displaystyle X = {1,2,3 }.}

Jeden možný ${ displaystyle sigma}$ -algebra by byla

{ displaystyle { mathcal {A}} _ {1} = {X, emptyset }.}

Pak ${ displaystyle (X, { mathcal {A}} _ {1})}$ je měřitelný prostor. Další možný ${ displaystyle sigma}$ -algebra by byla napájecí sada na ${ displaystyle X}$ :

{ displaystyle { mathcal {A}} _ {2} = { mathcal {P}} (X).}

S tímto je na scéně druhý měřitelný prostor ${ displaystyle X}$ je dána ${ displaystyle (X, { mathcal {A}} _ {2})}$ .

Společné měřitelné prostory

Li ${ displaystyle X}$ je konečný nebo spočetně nekonečný, ${ displaystyle sigma}$ -algebra je většinou časem napájecí sada na ${ displaystyle X}$ , tak ${ displaystyle { mathcal {A}} = { mathcal {P}} (X)}$ . To vede k měřitelnému prostoru ${ displaystyle (X, { mathcal {P}} (X))}$ .

Li ${ displaystyle X}$ je topologický prostor, ${ displaystyle sigma}$ -algebra je nejčastěji Borel ${ displaystyle sigma}$ -algebra ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ , tak ${ displaystyle { mathcal {A}} = { mathcal {B}} (X)}$ . To vede k měřitelnému prostoru ${ displaystyle (X, { mathcal {B}} (X))}$ to je společné pro všechny topologické prostory, jako jsou reálná čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ .

Nejednoznačnost s Borelovými prostory

Termín Borelův prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů. Může odkazovat na

jakýkoli měřitelný prostor, takže je synonymem pro měřitelný prostor, jak je definován výše ^[1]
měřitelný prostor, který je Borel izomorfní na měřitelnou podmnožinu reálných čísel (opět u Borela ${ displaystyle sigma}$ -algebra)^[3]

Reference

^ ^A ^b Sazonov, V.V. (2001) [1994], "Měřitelný prostor", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
^ Klenke, Achim (2008). Teorie pravděpodobnosti. Berlín: Springer. p.18. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Teorie pravděpodobnosti a stochastické modelování. 77. Švýcarsko: Springer. p. 15. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[eommeasurablespace-1] A ^b Sazonov, V.V. (2001) [1994], "Měřitelný prostor", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

[Klenke18-2] Klenke, Achim (2008). Teorie pravděpodobnosti. Berlín: Springer. p.18. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kallenberg15-3] Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Teorie pravděpodobnosti a stochastické modelování. 77. Švýcarsko: Springer. p. 15. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[1]

[2]

[3]