Evoluce Schramm – Loewner - Schramm–Loewner evolution

Schramm-Loewnerova evoluce v horní polovině roviny s barevným značením ${displaystyle log (Im (g_ {t} (z)))}$

v teorie pravděpodobnosti, Evoluce Schramm – Loewner s parametrem κ, také známý jako stochastická evoluce Loewner (SLE_κ), je rodina náhodných rovinných křivek, u nichž se prokázalo, že jsou limit škálování různých dvourozměrných mřížkových modelů v statistická mechanika. Vzhledem k parametru κ a doména v komplexní rovině U, dává rodinu náhodných křivek v U, s κ řízení toho, jak moc se křivka otočí. Existují dvě hlavní varianty SLE, chordal SLE který dává rodinu náhodných křivek ze dvou pevných hraničních bodů a radiální SLE, která dává rodinu náhodných křivek z pevného hraničního bodu do pevného vnitřního bodu. Tyto křivky jsou definovány tak, aby vyhovovaly konformní invariance a doména Majetek Markov.

Objevil jej Oded Schramm  (2000 ) jako domnělý limit škálování rovinné jednotný kostra (UST) a rovinné náhodná procházka vymazaná smyčkou (LERW) pravděpodobnostní procesy, které vyvinul společně s Greg Lawler a Wendelin Werner v sérii společných prací.

Vedle UST a LERW se o Schramm-Loewnerově evoluci předpokládá nebo je dokázáno, že ji popisuje limit škálování různých stochastických procesů v rovině, jako např kritická perkolace, kritický Isingův model, model s dvojitým stmíváním, vyhýbání se procházkám a další kritické statistická mechanika modely, které vykazují konformní invariance. Křivky SLE jsou měřítkovými limity rozhraní a jiných náhodných křivek, které se v těchto modelech samy neprotínají. Hlavní myšlenkou je, že konformní invariance a jistá Majetek Markov inherentní takovým stochastickým procesům společně umožňují kódovat tyto rovinné křivky do jednorozměrného Brownova pohybu probíhajícího na hranici domény (hnací funkce v Loewnerově diferenciální rovnici). Tímto způsobem lze mnoho důležitých otázek týkajících se rovinných modelů převést do cvičení v To je kalkul. Opravdu, několik matematicky nepodložených předpovědí fyziků teorie konformního pole pomocí této strategie bylo prokázáno.

Loewnerova rovnice

Li D je jednoduše připojeno, otevřeno komplexní doména nerovná se C, a y je jednoduchá křivka v D začínající na hranici (spojitá funkce s y(0) na hranici D a y((0, ∞)) podmnožina D), pak pro každého t ≥ 0, doplněk D_t z y([0, t]) je jednoduše připojen, a proto konformně izomorfní na D podle Riemannova věta o mapování. Li ƒ_t je vhodný normalizovaný izomorfismus z D na D_t, pak splňuje diferenciální rovnici nalezenou Loewner (1923, str. 121) ve své práci na Bieberbach dohad Někdy je vhodnější použít inverzní funkci G_t z ƒ_t, což je konformní mapování z D_t na D.

V Loewnerově rovnici z je v doméně D, t ≥ 0 a hraniční hodnoty v čase t = 0 jsou ƒ₀(z) = z nebo G₀(z) = z. Rovnice závisí na a funkce řízení ζ(t) přičemž hodnoty na hranici D. Li D je jednotkový disk a křivka y je parametrizován „kapacitou“, pak je Loewnerova rovnice

${displaystyle {frac {částečné f_ {t} (z)} {částečné t}} = - zf_ {t} ^ {prime} (z) {frac {zeta (t) + z} {zeta (t) -z} }}$ nebo ${displaystyle {dfrac {částečné g_ {t} (z)} {částečné t}} = g_ {t} (z) {dfrac {zeta (t) + g_ {t} (z)} {zeta (t) -g_ {t} (z)}}.}$

Když D je horní polovina roviny, Loewnerova rovnice se od toho liší změnami proměnné a je

${displaystyle {frac {částečné f_ {t} (z)} {částečné t}} = {frac {2f_ {t} ^ {prime} (z)} {zeta (t) -z}}}$ nebo ${displaystyle {dfrac {částečné g_ {t} (z)} {částečné t}} = {dfrac {2} {g_ {t} (z) -zeta (t)}}.}$

Jízdní funkce ζ a křivka y jsou ve vztahu

${displaystyle f_ {t} (zeta (t)) = gama (t) {ext {nebo}} zeta (t) = g_ {t} (gama (t))}$

kde ƒ_t a G_t jsou rozšířeny o kontinuitu.

Příklad

Nechat D být horní polovinou roviny a uvažovat o SLE₀, tedy funkce řízení ζ je Brownův pohyb nulové difuzivity. Funkce ζ je tedy téměř jistě nulová a

${displaystyle f_ {t} (z) = {sqrt {z ^ {2} -4t}}}$

${displaystyle g_ {t} (z) = {sqrt {z ^ {2} + 4t}}}$

${displaystyle gamma (t) = 2i {sqrt {t}}}$

${displaystyle D_ {t}}$ je horní polorovina s přímkou ​​od 0 do ${displaystyle 2i {sqrt {t}}}$ odstraněn.

Evoluce Schramm – Loewner

Schramm – Loewnerova evoluce je náhodná křivka y dané Loewnerovou rovnicí jako v předchozí části, pro jízdní funkci

${displaystyle zeta (t) = {sqrt {kappa}} B (t)}$

kde B(t) je Brownův pohyb na hranici D, zmenšen některými skutečnými κ. Jinými slovy, Schrammova-Loewnerova evoluce je míra pravděpodobnosti na rovinných křivkách, která se na této mapě uvádí jako obraz Wienerovy míry.

Obecně nemusí být křivka γ jednoduchá a doména D_t není doplňkem y([0,t]) v D, ale je místo toho neomezenou složkou doplňku.

Existují dvě verze SLE, které používají dvě rodiny křivek, každá v závislosti na nezáporném reálném parametru κ:

• Chordal SLE_κ, což souvisí s křivkami spojujícími dva body na hranici domény (obvykle horní polovina roviny, přičemž body jsou 0 a nekonečno).
• Radiální SLE_κ, která se týkala křivek spojujících bod na hranici domény s bodem v interiéru (často křivky spojující 1 a 0 na disku jednotky).

SLE závisí na volbě Brownova pohybu na hranici domény a existuje několik variací v závislosti na tom, jaký druh Brownova pohybu se používá: může například začínat v pevném bodě nebo v rovnoměrně rozloženém bodě na jednotce kruh, nebo může mít vestavěný drift atd. Parametr κ řídí rychlost difúze Brownova pohybu a chování SLE závisí kriticky na jeho hodnotě.

Dvě domény, které se nejčastěji používají v Schramm-Loewnerově evoluci, jsou horní polovina roviny a jednotkový kruh. Ačkoli Loewnerova diferenciální rovnice v těchto dvou případech vypadá jinak, jsou ekvivalentní změnám proměnných, protože jednotkový kruh a horní polovina roviny jsou konformně ekvivalentní. Konformní ekvivalence mezi nimi však nezachovává Brownův pohyb na jejich hranicích používaných k řízení Schramm-Loewnerovy evoluce.

Zvláštní hodnoty κ

• Pro 0 ≤κ ≤ 4 křivka γ (t) je jednoduchý (s pravděpodobností 1).
• Pro 4 <κ <8 křivka γ (t) protíná se a každý bod je obsažen ve smyčce, ale křivka nevyplňuje prostor (s pravděpodobností 1).
• Pro κ ≥ 8 křivka γ (t) vyplňuje prostor (s pravděpodobností 1).
• κ = 2 odpovídá náhodná procházka vymazaná smyčkou, nebo ekvivalentně, větve jednotného kostry.
• Pro κ = 8/3, SLE_κ má vlastnost omezení a předpokládá se, že je měřítkem limitu vyhýbání se náhodným procházkám. Jeho verze je vnější hranicí Brownův pohyb.
• κ = 3 je limit rozhraní pro Isingův model.
• κ = 4 odpovídá cestě harmonického průzkumníka a vrstevnic Gaussovo volné pole.
• Pro κ = 6, SLE_κ má vlastnost lokality. To vzniká v limitu škálování kritická perkolace na trojúhelníkové mřížce a hypoteticky na jiných mřížkách.
• κ = 8 odpovídá cestě oddělující jednotný spanningový strom od jeho duálního stromu.

Když SLE odpovídá nějaké konformní teorii pole, parametr κ souvisí s centrální poplatek Cteorie konformního pole podle

${displaystyle c = {frac {(8-3kappa) (kappa -6)} {2kappa}}.}$

Každá hodnota C <1 odpovídá dvěma hodnotám κ, jedna hodnota κ mezi 0 a 4 a „dvojí“ hodnota 16 /κ větší než 4.

Beffara (2008) ukázal, že Hausdorffova dimenze cest (s pravděpodobností 1) se rovná min (2, 1 +κ/8).

Pravděpodobnostní vzorce levého průchodu pro SLE_κ

Pravděpodobnost chordálního SLE_κ y být nalevo od pevného bodu ${displaystyle x_ {0} + iy_ {0} = z_ {0} v mathbb {H}}$ byl vypočítán uživatelem Schramm (2001) chyba harvtxt: více cílů (2 ×): CITEREFSchramm2001 (Pomoc)^[1]

${displaystyle mathbb {P} [gamma {ext {přechází doleva}} z_ {0}] = {frac {1} {2}} + {frac {gamma ({frac {4} {kappa}})}} {sqrt {pi}}, Gamma ({frac {8-kappa} {2kappa}})}}} {frac {x_ {0}} {y_ {0}}}, _ {2} F_ {1} vlevo ({ frac {1} {2}}, {frac {4} {kappa}}, {frac {3} {2}}, - vlevo ({frac {x_ {0}} {y_ {0}}} vpravo) ^ {2} hned)}$

kde ${displaystyle Gamma}$ je Funkce gama a ${displaystyle _ {2} F_ {1} (a, b, c, d)}$ je hypergeometrická funkce. To bylo odvozeno pomocí martingale vlastnosti

${displaystyle h (x, y): = mathbb {P} [gamma {ext {přechází doleva}} x + iy]}$

a Itôovo lemma získat následující parciální diferenciální rovnici pro ${displaystyle w: = {frac {x} {y}}}$

${displaystyle {frac {kappa} {2}} částečný _ {ww} h (w) + {frac {4w} {w ^ {2} +1}} částečný _ {w} h = 0.}$

Pro κ = 4, RHS je ${displaystyle 1- {frac {1} {pi}} arg (z_ {0})}$, který byl použit při konstrukci harmonického průzkumníka,^[2] a pro κ = 6, získáme Cardyho vzorec, který použil Smirnov k prokázání konformní invariance v perkolace.^[3]

Aplikace

Lawler, Schramm & Werner (2001) chyba harvtxt: více cílů (2 ×): CITEREFLawlerSchrammWerner2001 (Pomoc) použitý SLE₆ dokázat domněnku Mandelbrot (1982) že hranice rovinného Brownova pohybu má fraktální dimenze 4/3.

Kritický perkolace na trojúhelníková mříž bylo prokázáno, že souvisí se SLE₆ podle Stanislava Smirnova.^[4] V kombinaci s dřívější prací Harry Kesten,^[5] to vedlo k odhodlání mnoha z kritické exponenty pro prosakování.^[6] Tento průlom zase umožnil další analýzu mnoha aspektů tohoto modelu.^[7][8]

Náhodná vymazaná smyčka bylo prokázáno, že konvergují k SLE₂ Lawler, Schramm a Werner.^[9] To umožnilo odvození mnoha kvantitativních vlastností smyčky vymazané náhodné chůze (z nichž některé byly odvozeny dříve Richard Kenyon^[10]). Související náhodné Peanoova křivka popisující jednotný kostra bylo prokázáno, že konvergují k SLE₈.^[9]

Rohde a Schramm to ukázali κ souvisí s fraktální dimenze křivky následujícím vztahem

${displaystyle d = 1 + {frac {kappa} {8}}.}$

Simulace

Počítačové programy (Matlab) jsou prezentovány v toto úložiště GitHub simulovat rovinné křivky Schramm Loewner Evolution.

Reference

Další čtení

externí odkazy

• Lawler; Schramm; Werner (2001), Výukový program: SLE, Lawrence Hall of Science, University of California, Berkeley (video z MSRI přednášky)
• Schramm, Oded (2001), Konformně neměnné limity škálování a SLE, MSRI (Prezentace z přednášky.)