Heath – Jarrow – Mortonův rámec - Heath–Jarrow–Morton framework
The Heath – Jarrow – Morton (HJM) rámec je obecný rámec pro modelování vývoje úroková sazba křivky - okamžité křivky forwardové rychlosti zejména (na rozdíl od jednoduchých forwardové sazby ). Když se předpokládá volatilita a drift okamžité forwardové rychlosti deterministický, toto je známé jako Gaussian Heath – Jarrow – Morton (HJM) model forwardových sazeb.[1]:394 Pro přímé modelování jednoduchých forwardových sazeb Model Brace – Gatarek – Musiela představuje příklad.
Rámec HJM pochází z práce David Heath, Robert A. Jarrow, a Andrew Morton zejména na konci 80. let Ceny dluhopisů a termínová struktura úrokových sazeb: nová metodika (1987) - pracovní dokument, Cornell University, a Ceny dluhopisů a termínová struktura úrokových sazeb: nová metodika (1989) - pracovní dokument (přepracované vydání), Cornell University. Má však své kritiky Paul Wilmott popisovat to jako "... ve skutečnosti jen velký koberec pro [chyby], které mají být zameteny".[2][3]
Rámec
Klíčem k těmto technikám je poznání, že závěry žádná arbitráž vývoj určitých proměnných lze vyjádřit jako funkce jejich volatility a vzájemných korelací. Jinými slovy, není potřeba žádný odhad driftu.
Modely vyvinuté podle rámce HJM se liší od tzv modely s krátkou sazbou v tom smyslu, že modely typu HJM zachycují plnou dynamiku celku křivka forwardové sazby, zatímco modely s krátkou rychlostí zachycují pouze dynamiku bodu na křivce (krátká rychlost).
Modely vyvinuté podle obecného rámce HJM však často nejsouMarkovian a může mít dokonce nekonečné rozměry. Řada vědců významně přispěla k řešení tohoto problému. Ukazují, že pokud struktura volatility forwardových sazeb splňuje určité podmínky, pak může být model HJM zcela vyjádřen markovským systémem konečného stavu, což je výpočetně proveditelné. Mezi příklady patří jednofaktorový dvoustavový model (O. Cheyette, „Term Structure Dynamics and Mortgage Valuation“, Deník fixního příjmu, 1, 1992; P. Ritchken a L. Sankarasubramanian v „Strukturách volatility forwardových sazeb a dynamice termínových struktur“, Matematické finance, 5, No. 1, Jan 1995) a pozdější vícefaktorové verze.
Matematická formulace
Třída modelů vyvinutých Heathem, Jarrowem a Mortonem (1992) je založena na modelování forwardových sazeb, přesto však nezachytává všechny složitosti vyvíjející se struktury termínů.
Model začíná zavedením okamžité forwardové rychlosti , , která je definována jako rychlost spojitého složení dostupná v čase jak je vidět z času . Vztah mezi cenami dluhopisů a forwardovou sazbou je také poskytován následujícím způsobem:
Tady je cena v čase dluhopisu s nulovým kupónem, který při splatnosti platí 1 $ . Bezrizikový účet peněžního trhu je také definován jako
Tato poslední rovnice nám umožňuje definovat , bezriziková krátká sazba. Rámec HJM předpokládá, že dynamika na základě rizikově neutrálního cenového opatření jsou následující:
Kde je -dimenzionální Wienerův proces a , jsou přizpůsobené procesy. Nyní na základě této dynamiky pro , pokusíme se najít dynamiku pro a najít podmínky, které je třeba splnit podle cenových pravidel neutrálních pro riziko. Pojďme definovat následující proces:
Dynamika lze získat prostřednictvím Leibnizovo pravidlo:
Pokud definujeme , a předpokládejme, že podmínky pro Fubiniho věta jsou splněny ve vzorci pro dynamiku , dostaneme:
Podle Je to lemma, dynamika jsou pak:
Ale musí být martingale podle cenového opatření , takže to vyžadujeme . Rozlišovat to s ohledem na dostaneme:
Což nám nakonec říká, že dynamika musí mít následující formu:
Což nám umožňuje cenit dluhopisy a úrokové deriváty na základě naší volby .
Viz také
- Model Black – Derman – Toy
- Model Brace – Gatarek – Musiela
- Chen model
- Cheyette model
- Ho-Lee model
- Trup – bílý model
Externí odkazy a reference
- Poznámky
- ^ M. Musiela, M. Rutkowski: Martingaleovy metody ve finančním modelování. 2. vyd. New York: Springer-Verlag, 2004. Tisk.
- ^ Plán jednoho matematika pro reformu Wall Street, Newsweek, květen 2009
- ^ Newsweek 2009
- Primární reference
- Heath, D., Jarrow, R. a Morton, A. (1990). Ceny dluhopisů a termínová struktura úrokových sazeb: diskrétní přibližná doba. Časopis finanční a kvantitativní analýzy, 25:419-440.
- Heath, D., Jarrow, R. a Morton, A. (1991). Ocenění podmíněných pohledávek s náhodným vývojem úrokových sazeb. Recenze trhů s futures, 9:54-76.
- Heath, D., Jarrow, R. a Morton, A. (1992). Ceny dluhopisů a termínová struktura úrokových sazeb: Nová metodika oceňování podmíněných pohledávek. Econometrica, 60(1):77-105. doi:10.2307/2951677
- Robert Jarrow (2002). Modelování cenných papírů s pevným výnosem a možnosti úrokové sazby (2. vyd.). Stanfordská ekonomika a finance. ISBN 0-8047-4438-6
- Články
- Nehusté stromy pro modely Gaussian HJM a Lognormal Forward Profesor Alan Brace, University of Technology v Sydney
- Heath-Jarrow-Mortonův model časové struktury Prof. Don Chance Vysoká škola podnikání E. J. Ourso, Louisianská státní univerzita
- Rekombinace stromů pro modely s jednorozměrnou forwardovou rychlostí, Dariusz Gatarek, Wyższa Szkoła Biznesu - National-Louis University a Jaroslaw Kolakowski
- Implementace časové struktury arbitráže bez úrokové sazby v diskrétním čase, kdy jsou úrokové sazby obvykle distribuovány, Dwight M Grant a Gautam Vora. Deník fixního příjmu Březen 1999, sv. 8, č. 4: str. 85–98
- Heath – Jarrow – Mortonův model a jeho aplikace, Vladimír I. Pozdynyakov, University of Pennsylvania
- Empirická studie konvergenčních vlastností nerekombinujícího stromu forwardové sazby HJM v cenových úrokových derivátech, A.R. Radhakrishnan Newyorská univerzita
- Modelování úrokových sazeb u Heatha, Jarrowa a Mortona. Dr. Donald van Deventer, Kamakura Corporation: