Telegrafický proces - Telegraph process

v teorie pravděpodobnosti, telegrafní proces je bez paměti nepřetržitý čas stochastický proces který ukazuje dvě odlišné hodnoty. To modeluje prasknutí hluku (také nazývaný šum popcornu nebo náhodný telegrafní signál). Pokud jsou dvě možné hodnoty, které a náhodná proměnná může brát ${displaystyle c_ {1}}$ a ${displaystyle c_ {2}}$, potom lze postup popsat následujícím způsobem zvládnout rovnice:

${displaystyle partial _ {t} P (c_ {1}, t | x, t_ {0}) = - lambda _ {1} P (c_ {1}, t | x, t_ {0}) + lambda _ { 2} P (c_ {2}, t | x, t_ {0})}$

a

${displaystyle partial _ {t} P (c_ {2}, t | x, t_ {0}) = lambda _ {1} P (c_ {1}, t | x, t_ {0}) - lambda _ {2 } P (c_ {2}, t | x, t_ {0}).}$

kde ${displaystyle lambda _ {1}}$ je míra přechodu na přechod ze státu ${displaystyle c_ {1}}$ do stavu ${displaystyle c_ {2}}$ a ${displaystyle lambda _ {2}}$ je míra přechodu z přechodu ze stavu ${displaystyle c_ {2}}$ do stavu ${displaystyle c_ {1}}$. Proces je také známý pod jmény KAC proces (po matematikovi Mark Kac ),^[1] a dichotomický náhodný proces.^[2]

Řešení

Hlavní rovnice je kompaktně zapsána do maticového tvaru zavedením vektoru ${displaystyle mathbf {P} = [P (c_ {1}, t | x, t_ {0}), P (c_ {2}, t | x, t_ {0})]}$,

${displaystyle {frac {dmathbf {P}} {dt}} = Wmathbf {P}}$

kde

${displaystyle W = {egin {pmatrix} -lambda _ {1} & lambda _ {1} lambda _ {2} & - lambda _ {2} end {pmatrix}}}$

je matice přechodové rychlosti. Formální řešení je konstruováno z počáteční podmínky ${displaystyle mathbf {P} (0)}$ (to definuje v ${displaystyle t = t_ {0}}$, stát je ${displaystyle x}$) od

${displaystyle mathbf {P} (t) = e ^ {Wt} mathbf {P} (0)}$.

To lze ukázat^[3]

${displaystyle e ^ {Wt} = I + W {frac {(1-e ^ {- 2lambda t})} {2lambda}}}$

kde ${displaystyle I}$ je matice identity a ${displaystyle lambda = (lambda _ {1} + lambda _ {2}) / 2}$ je průměrná míra přechodu. Tak jako ${displaystyle tightarrow infty}$řešení se blíží stacionární distribuci ${displaystyle mathbf {P} (tightarrow infty) = mathbf {P} _ {s}}$ dána

${displaystyle mathbf {P} _ {s} = {frac {1} {2lambda}} {egin {pmatrix} lambda _ {2} lambda _ {1} end {pmatrix}}}$

Vlastnosti

Znalost počátečního stavu se exponenciálně rozpadá. Proto na nějaký čas ${displaystyle tgg (2lambda) ^ {- 1}}$, proces dosáhne následujících stacionárních hodnot, označených indexem s:

Znamenat:

${displaystyle langle Xangle _ {s} = {frac {c_ {1} lambda _ {2} + c_ {2} lambda _ {1}} {lambda _ {1} + lambda _ {2}}}.}$

Varianta:

${displaystyle operatorname {var} {X} _ {s} = {frac {(c_ {1} -c_ {2}) ^ {2} lambda _ {1} lambda _ {2}} {(lambda _ {1} + lambda _ {2}) ^ {2}}}.}$

Lze také vypočítat a korelační funkce:

${displaystyle langle X (t), X (u) angle _ {s} = e ^ {- 2lambda | t-u |} operatorname {var} {X} _ {s}.}$

aplikace

Tento náhodný proces najde široké uplatnění při vytváření modelů:

• v fyzika, spin systémy a fluorescence přerušovanost vykazují dichotomické vlastnosti. Ale zejména v experimenty s jednou molekulou rozdělení pravděpodobnosti představovat algebraické ocasy se používají místo exponenciální rozdělení předpokládá ve všech výše uvedených vzorcích.
• v finance za popis skladem ceny^[1]
• v biologie za popis transkripční faktor závazné a nezávazné.

Viz také

• Markovův řetězec
• Seznam témat stochastických procesů
• Náhodný telegrafní signál

Reference