Proces Ornstein – Uhlenbeck - Ornstein–Uhlenbeck process

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Ledna 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Simulace s θ = 1.0, σ = 3 a μ = (0, 0). Zpočátku v poloze (10, 10) má částice tendenci se pohybovat do centrálního bodu μ.

3D simulace s θ = 1.0, σ = 3, μ = (0, 0, 0) a počáteční poloha (10, 10, 10).

V matematice je Proces Ornstein – Uhlenbeck je stochastický proces s aplikacemi ve finanční matematice a fyzikálních vědách. Jeho původní aplikace ve fyzice byla jako model pro rychlost masy Brownova částice pod vlivem tření. Je pojmenován po Leonard Ornstein a George Eugene Uhlenbeck.

Proces Ornstein – Uhlenbeck je stacionární Gauss – Markovův proces, což znamená, že se jedná o Gaussův proces, a Markov proces, a je časově homogenní. Ve skutečnosti je to jediný netriviální proces, který splňuje tyto tři podmínky, až po umožnění lineárních transformací prostorových a časových proměnných.^[1] Postupem času má proces tendenci směřovat k jeho střední funkci: takový proces se nazývá zlý návrat.

Tento proces lze považovat za modifikaci náhodná procházka v nepřetržitý čas nebo Wienerův proces, ve kterém byly změněny vlastnosti procesu tak, že existuje tendence chůze se pohybovat zpět směrem k centrální poloze, s větší přitažlivostí, když je proces dále od centra. Proces Ornstein – Uhlenbeck lze také považovat za nepřetržitý čas analogie diskrétní čas Proces AR (1).

Definice

Proces Ornstein – Uhlenbeck ${ displaystyle x_ {t}}$ je definován následujícím stochastická diferenciální rovnice:

${ displaystyle dx_ {t} = - theta , x_ {t} , dt + sigma , dW_ {t}}$

kde ${ displaystyle theta> 0}$ a ${ displaystyle sigma> 0}$ jsou parametry a ${ displaystyle W_ {t}}$ označuje Wienerův proces.^[2][3][4]

Někdy se přidá další termín driftu:

${ displaystyle dx_ {t} = theta ( mu -x_ {t}) , dt + sigma , dW_ {t}}$

kde ${ displaystyle mu}$ je konstanta. Ve finanční matematice se tomu říká také Vasíčkův model.^[5]

Proces Ornstein – Uhlenbeck je někdy také psán jako Langevinova rovnice formuláře

${ displaystyle { frac {dx_ {t}} {dt}} = - theta , x_ {t} + sigma , eta (t)}$

kde ${ displaystyle eta (t)}$, také známý jako bílý šum, znamená domnělou derivaci ${ displaystyle dW_ {t} / dt}$ Wienerova procesu.^[6] Nicméně, ${ displaystyle dW_ {t} / dt}$ neexistuje, protože Wienerův proces není nikde diferencovatelný, a tak je Langevinova rovnice, přísně vzato, pouze heuristická.^[7] Ve fyzikálních a inženýrských oborech je běžným vyjádřením Ornstein-Uhlenbeckova procesu a podobných stochastických diferenciálních rovnic tím, že mlčky předpokládá, že termín šumu je derivací diferencovatelné (např. Fourierovy) interpolace Wienerova procesu.

Reprezentace Fokker – Planckovy rovnice

Proces Ornstein – Uhlenbeck lze také popsat pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti, ${ displaystyle P (x, t)}$, která specifikuje pravděpodobnost nalezení procesu ve stavu ${ displaystyle x}$ v čase ${ displaystyle t}$.^[8] Tato funkce vyhovuje Fokker-Planckova rovnice

${ displaystyle { frac { částečné P} { částečné t}} = theta { frac { částečné} { částečné x}} (xP) + D { frac { částečné ^ {2} P} { částečné x ^ {2}}}}$

kde ${ displaystyle D = sigma ^ {2} / 2}$. Toto je lineární parabolická parciální diferenciální rovnice což lze vyřešit řadou technik. Pravděpodobnost přechodu ${ displaystyle P (x, t mid x ', t')}$ je Gaussian se střední hodnotou ${ displaystyle x'e ^ {- theta (t-t ')}}$ a rozptyl ${ displaystyle { frac {D} { theta}} vlevo (1-e ^ {- 2 theta (t-t ')} vpravo)}$:

${ displaystyle P (x, t mid x ', t') = { sqrt { frac { theta} {2 pi D (1-e ^ {- 2 theta (t-t ')}) }}} exp left [- { frac { theta} {2D}} { frac {(x-x'e ^ {- theta (t-t ')}) ^ {2}} {1 -e ^ {- 2 theta (t-t ')}}} vpravo]}$

To dává pravděpodobnost státu ${ displaystyle x}$ vyskytující se v čase ${ displaystyle t}$ daný počáteční stav ${ displaystyle x '}$ v čase ${ displaystyle t '$. Ekvivalentně ${ displaystyle P (x, t mid x ', t')}$ je řešení Fokker-Planckovy rovnice s počáteční podmínkou ${ displaystyle P (x, t ') = delta (x-x')}$.

Matematické vlastnosti

Za předpokladu ${ displaystyle x_ {0}}$ je konstantní, střední hodnota je

${ displaystyle operatorname {E} (x_ {t}) = x_ {0} e ^ {- theta t} + mu (1-e ^ {- theta t})}$

a kovariance je

${ displaystyle operatorname {cov} (x_ {s}, x_ {t}) = { frac { sigma ^ {2}} {2 theta}} left (e ^ {- theta | ts |} -e ^ {- theta (t + s)} vpravo)}$

Proces Ornstein – Uhlenbeck je příkladem a Gaussův proces který má omezenou odchylku a připouští a stacionární rozdělení pravděpodobnosti, na rozdíl od Wienerův proces; rozdíl mezi nimi je v jejich „driftovém“ termínu. Pro Wienerův proces je driftový termín konstantní, zatímco pro Ornstein-Uhlenbeckův proces je závislý na aktuální hodnotě procesu: je-li aktuální hodnota procesu menší než (dlouhodobý) průměr, drift bude pozitivní; pokud je aktuální hodnota procesu větší než (dlouhodobý) průměr, drift bude záporný. Jinými slovy, průměr funguje jako rovnovážná úroveň procesu. To dává procesu informativní název, „Mean-Reverting“.

Vlastnosti vzorových cest

Časově homogenní proces Ornstein – Uhlenbeck lze reprezentovat jako zmenšený, časově transformovaný Wienerův proces:

${ displaystyle x_ {t} = { frac { sigma} { sqrt {2 theta}}} e ^ {- theta t} W_ {e ^ {2 theta t}}}$

kde ${ displaystyle W_ {t}}$ je standardní Wienerův proces.^[1] Ekvivalentně se změnou proměnné ${ displaystyle s = e ^ {2 theta t}}$ toto se stává

${ displaystyle W_ {s} = { frac { sqrt {2 theta}} { sigma}} s ^ {1/2} x _ {( ln s) / (2 theta)}, qquad s > 0}$

Pomocí tohoto mapování lze přeložit známé vlastnosti ${ displaystyle W_ {t}}$ do odpovídajících prohlášení pro ${ displaystyle x_ {t}}$. Například zákon iterovaného logaritmu pro ${ displaystyle W_ {t}}$ se stává^[1]

${ displaystyle lim _ {t rightarrow 0} sup { frac {x_ {t}} { sqrt {( sigma ^ {2} / theta) ln t}}} = 1, quad { text {s pravděpodobností 1.}}}$

Formální řešení

Stochastická diferenciální rovnice pro ${ displaystyle x_ {t}}$ lze formálně vyřešit pomocí variace parametrů.^[9] Psaní

${ displaystyle f (x_ {t}, t) = x_ {t} e ^ { theta t} ,}$

dostaneme

${ displaystyle { begin {zarovnané} df (x_ {t}, t) & = theta , x_ {t} , e ^ { theta t} , dt + e ^ { theta t} , dx_ {t} [6pt] & = e ^ { theta t} theta , mu , dt + sigma , e ^ { theta t} , dW_ {t}. end {zarovnáno} }}$

Integrace z ${ displaystyle 0}$ na ${ displaystyle t}$ dostaneme

${ displaystyle x_ {t} e ^ { theta t} = x_ {0} + int _ {0} ^ {t} e ^ { theta s} theta , mu , ds + int _ { 0} ^ {t} sigma , e ^ { theta s} , dW_ {s} ,}$

načež vidíme

${ displaystyle x_ {t} = x_ {0} , e ^ {- theta t} + mu , (1-e ^ {- theta t}) + sigma int _ {0} ^ { t} e ^ {- theta (ts)} , dW_ {s}. ,}$

Z této reprezentace první okamžik (tj. průměr) se ukazuje být

${ displaystyle operatorname {E} (x_ {t}) = x_ {0} e ^ {- theta t} + mu (1-e ^ {- theta t}) ! }$

za předpokladu ${ displaystyle x_ {0}}$ je konstantní. Navíc Je to izometrie lze použít k výpočtu kovarianční funkce podle

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {cov} (x_ {s}, x_ {t}) & = operatorname {E} [(x_ {s} - operatorname {E} [x_ {s}]) ) (x_ {t} - operatorname {E} [x_ {t}])] [5pt] & = operatorname {E} left [ int _ {0} ^ {s} sigma e ^ { theta (us)} , dW_ {u} int _ {0} ^ {t} sigma e ^ { theta (vt)} , dW_ {v} right] [5pt] & = sigma ^ {2} e ^ {- theta (s + t)} operatorname {E} left [ int _ {0} ^ {s} e ^ { theta u} , dW_ {u} int _ {0} ^ {t} e ^ { theta v} , dW_ {v} right] [5pt] & = { frac { sigma ^ {2}} {2 theta}} , e ^ {- theta (s + t)} (e ^ {2 theta min (s, t)} - ​​1) [5pt] & = { frac { sigma ^ {2}} {2 theta}} left (e ^ {- theta | ts |} -e ^ {- theta (t + s)} right). end {zarovnáno}}}$

Numerické vzorkování

Použitím diskrétně vzorkovaných dat v časových intervalech šířky ${ displaystyle t}$, odhady maximální pravděpodobnosti pro parametry procesu Ornstein – Uhlenbeck jsou asymptoticky normální vzhledem k jejich skutečným hodnotám.^[10] Přesněji,^{[ověření se nezdařilo ]}

${ displaystyle { sqrt {n}} left ({ begin {pmatrix} { widehat { theta}} _ {n} { widehat { mu}} _ {n} { widehat { sigma}} _ {n} end {pmatrix}} - { begin {pmatrix} theta mu sigma end {pmatrix}} right) { xrightarrow {d}} { mathcal {N}} left ({ begin {pmatrix} 0 0 0 end {pmatrix}}, { begin {pmatrix} { frac {e ^ {2t theta} -1} { t ^ {2}}} & 0 & { frac { sigma ^ {2} (e ^ {2t theta} -1-2t theta)} {t ^ {2} theta}} 0 & { frac { sigma ^ {2} left (e ^ {t theta} +1 right)} {2 left (e ^ {t theta} -1 right) theta}} & 0 { frac { sigma ^ {2} (e ^ {2t theta} -1-2t theta)} {t ^ {2} theta}} & 0 & { frac { sigma ^ {4} left [ left ( e ^ {2t theta} -1 right) ^ {2} + 2t ^ {2} theta ^ {2} left (e ^ {2t theta} +1 right) + 4t theta left ( e ^ {2t theta} -1 right) right]} {t ^ {2} left (e ^ {2t theta} -1 right) theta ^ {2}}} end {pmatrix} }že jo)}$

tři ukázkové cesty různých procesů OU s θ = 1, μ = 1.2, σ = 0.3:
modrý: počáteční hodnota A = 0 (tak jako. )
zelená: počáteční hodnota A = 2 (a.s.)
Červené: počáteční hodnota normálně distribuovaná tak, aby proces měl neměnnou míru

Interpretace limitu měřítka

Proces Ornstein – Uhlenbeck lze interpretovat jako a limit škálování diskrétního procesu, stejným způsobem Brownův pohyb je měřítko limitu náhodné procházky. Zvažte urnu obsahující ${ displaystyle n}$ modré a žluté koule. V každém kroku je náhodně vybrán míč a nahrazen míčem opačné barvy. Nechat ${ displaystyle X_ {n}}$ být počet modrých koulí v urně po ${ displaystyle n}$ kroky. Pak ${ displaystyle { frac {X _ {[nt]} - n / 2} { sqrt {n}}}}$ konverguje v právu na proces Ornstein – Uhlenbeck jako ${ displaystyle n}$ inklinuje k nekonečnu.

Aplikace

Ve fyzikálních vědách

Proces Ornstein – Uhlenbeck je prototypem hlučného relaxační proces Zvažte například a Hookeanské jaro s pružinovou konstantou ${ displaystyle k}$ jehož dynamika je vysoce přehnané s koeficientem tření ${ displaystyle gamma}$.V případě teplotních výkyvů s teplota ${ displaystyle T}$, délka ${ displaystyle x (t)}$pramene bude kolísat stochasticky kolem délky jarního odpočinku ${ displaystyle x_ {0}}$; jeho stochastická dynamika je popsána procesem Ornstein – Uhlenbeck s:

${ displaystyle { begin {seřazeno} theta & = k / gamma, mu & = x_ {0}, sigma & = { sqrt {2k_ {B} T / gamma}}, end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle sigma}$ je odvozen z Stokes – Einsteinova rovnice ${ displaystyle D = sigma ^ {2} / 2 = k_ {B} T / gamma}$ pro efektivní difúzní konstantu.

Ve fyzikálních vědách je stochastická diferenciální rovnice procesu Ornstein – Uhlenbeck přepsána jako Langevinova rovnice

${ displaystyle { dot {x}} (t) = - { frac {k} { gamma}} (x (t) -x_ {0}) + xi (t)}$

kde ${ displaystyle xi (t)}$ je bílý gaussovský šum s${ displaystyle langle xi (t_ {1}) xi (t_ {2}) rangle = 2k_ {B} T / gamma , delta (t_ {1} -t_ {2}).}$Výkyvy jsou korelovány jako

${ displaystyle langle (x (t_ {0}) - x_ {0}) (x (t_ {0} + t) -x_ {0}) rangle = { frac {k_ {B} T} {k }} exp (- | t | / tau)}$

s korelačním časem ${ displaystyle tau = gama / k}$.

V rovnováze si pružina uchovává průměrnou energii ${ displaystyle langle E rangle = k langle (x-x_ {0}) ^ {2} rangle / 2 = k_ {B} T / 2}$ v souladu s teorém ekvipartice.

Ve finanční matematice

Proces Ornstein – Uhlenbeck je jedním z několika přístupů používaných k modelování (s úpravami) úrokových sazeb, měny Směnné kurzy a ceny komodit stochasticky. Parametr ${ displaystyle mu}$ představuje rovnovážnou nebo střední hodnotu podporovanou základy; ${ displaystyle sigma}$ stupeň volatilita kolem toho způsobeno otřesy, a ${ displaystyle theta}$ rychlost, s jakou se tyto šoky rozptýlí a proměnná se vrátí k průměru. Jednou z aplikací tohoto procesu je obchodní strategie známá jako páry obchodují.^[11][12][13]

V evoluční biologii

Proces Ornstein – Uhlenbeck byl navržen jako zlepšení oproti Brownovu pohybovému modelu pro modelování změny v organismu fenotypy přesčas.^[14] Brownův pohybový model naznačuje, že fenotyp se může pohybovat bez omezení, zatímco u většiny fenotypů přirozený výběr znamená náklady na pohyb příliš daleko v obou směrech.

Zobecnění

Je možné rozšířit procesy Ornstein – Uhlenbeck na procesy, kde je proces řízení pozadí a Lévyho proces (místo jednoduchého Brownova pohybu).^{[je zapotřebí objasnění ]}

Kromě toho se ve financích používají stochastické procesy, při nichž se zvyšuje volatilita pro velké hodnoty ${ displaystyle X}$. Zejména proces CKLS (Chan – Karolyi – Longstaff – Sanders)^[15] s termínem volatility nahrazeným ${ displaystyle sigma , x ^ { gamma} , dW_ {t}}$ lze vyřešit v uzavřené formě pro ${ displaystyle gamma = 1}$, stejně jako pro ${ displaystyle gamma = 0}$, což odpovídá konvenčnímu procesu OU. Další zvláštní případ je ${ displaystyle gamma = 1/2}$, což odpovídá Cox – Ingersoll – Rossův model (Model CIR).

Vyšší rozměry

Vícerozměrná verze procesu Ornstein – Uhlenbeck, označená N-dimenzionální vektor ${ displaystyle mathbf {x} _ {t}}$, lze definovat od

${ displaystyle d mathbf {x} _ {t} = - { boldsymbol { beta}} , mathbf {x} _ {t} , dt + { boldsymbol { sigma}} , d mathbf {W} _ {t}.}$

kde ${ displaystyle mathbf {W} _ {t}}$ je N-dimenzionální Wienerův proces a ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ a ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$ jsou konstantní N×N matice.^[16] Řešení je

${ displaystyle mathbf {x} _ {t} = e ^ {- { boldsymbol { beta}} t} mathbf {x} _ {0} + int _ {0} ^ {t} e ^ { - { boldsymbol { beta}} (t-t ')} { boldsymbol { sigma}} , d mathbf {W} _ {t'}}$

a průměr je

${ displaystyle operatorname {E} ( mathbf {x} _ {t}) = e ^ {- { boldsymbol { beta}} t} operatorname {E} ( mathbf {x} _ {0}) .}$

Všimněte si, že tyto výrazy využívají exponenciální matice.

Proces lze také popsat z hlediska funkce hustoty pravděpodobnosti ${ displaystyle P ( mathbf {x}, t)}$, který splňuje Fokker-Planckovu rovnici^[17]

${ displaystyle { frac { částečné P} { částečné t}} = součet _ {i, j} beta _ {ij} { frac { částečné} { částečné x_ {i}}} (x_ {j} P) + sum _ {i, j} D_ {ij} { frac { částečné ^ {2} P} { částečné x_ {i} , částečné x_ {j}}}.}$

kde matice ${ displaystyle { boldsymbol {D}}}$ s komponenty ${ displaystyle D_ {ij}}$ je definováno ${ displaystyle { boldsymbol {D}} = { boldsymbol { sigma}} { boldsymbol { sigma}} ^ {T} / 2}$. Pokud jde o případ 1d, proces je lineární transformací Gaussových náhodných proměnných, a proto musí být sám Gaussian. Z tohoto důvodu je pravděpodobnost přechodu ${ displaystyle P ( mathbf {x}, t mid mathbf {x} ', t')}$ je Gaussian, který lze výslovně zapsat. Pokud jsou skutečné části vlastních čísel ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ jsou větší než nula, stacionární řešení ${ displaystyle P _ { text {st}} ( mathbf {x})}$ navíc existuje, dané

${ displaystyle P _ { text {st}} ( mathbf {x}) = (2 pi) ^ {- N / 2} ( det { boldsymbol { omega}}) ^ {- 1/2} exp left (- { frac {1} {2}} mathbf {x} ^ {T} { boldsymbol { omega}} ^ {- 1} mathbf {x} right)}$

kde matice ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$ je určeno z ${ displaystyle { boldsymbol { beta}} { boldsymbol { omega}} + { boldsymbol { omega}} { boldsymbol { beta}} ^ {T} = 2 { boldsymbol {D}}}$.^[18]

Viz také

• Stochastický počet
• Wienerův proces
• Gaussův proces
• Matematické finance
• The Vasíčkův model z úrokové sazby
• Model s krátkou sazbou
• Difúze
• Věta o fluktuaci a rozptylu

Poznámky

Reference

• Bibbona, E .; Panfilo, G .; Tavella, P. (2008). „Proces Ornstein-Uhlenbeck jako model nízkoprůchodového filtrovaného bílého šumu“. Metrologia. 45 (6): S117 – S126. Bibcode:2008Metro..45S.117B. doi:10.1088 / 0026-1394 / 45/6 / S17.
• Chan, K. C .; Karolyi, G. A .; Longstaff, F. A .; Sanders, A. B. (1992). „Empirické srovnání alternativních modelů krátkodobé úrokové sazby“. Journal of Finance. 47 (3): 1209–1227. doi:10.1111 / j.1540-6261.1992.tb04011.x.
• Doob, J.L. (Duben 1942). „Brownovo hnutí a stochastické rovnice“. Annals of Mathematics. 43 (2): 351–369. doi:10.2307/1968873. JSTOR  1968873.
• Gillespie, D. T. (1996). „Přesná numerická simulace procesu Ornstein – Uhlenbeck a jeho integrálu“. Phys. Rev.. 54 (2): 2084–2091. Bibcode:1996PhRvE..54.2084G. doi:10.1103 / PhysRevE.54.2084. PMID  9965289.
• Leung, Tim; Li, Xin (2015). „Optimální průměrné reverzní obchodování s transakčními náklady a ukončením Stop-Loss“. International Journal of Theoretical & Applied Finance. 18 (3): 1550020. arXiv:1411.5062. doi:10.1142 / S021902491550020X.
• Risken, H. (1989). Fokker-Planckova rovnice: metoda řešení a aplikace. New York: Springer-Verlag. ISBN  978-0387504988.
• Uhlenbeck, G. E .; Ornstein, L. S. (1930). „K teorii Brownova pohybu“. Phys. Rev. 36 (5): 823–841. Bibcode:1930PhRv ... 36..823U. doi:10.1103 / PhysRev.36.823.
• Martins, E.P. (1994). "Odhad rychlosti fenotypové evoluce ze srovnávacích údajů". Amer. Nat. 144 (2): 193–209. doi:10.1086/285670.

externí odkazy

• Přehled statistické arbitráže, kointegrace a vícerozměrné Ornstein – Uhlenbeck, Attilio Meucci
• Sada nástrojů pro stochastické procesy pro řízení rizik, Damiano Brigo, Antonio Dalessandro, Matthias Neugebauer a Fares Triki
• Simulace a kalibrace procesu Ornstein – Uhlenbeck, M. A. van den Berg
• Odhad maximální pravděpodobnosti průměrných návratových procesů, Jose Carlos Garcia Franco
• „Interaktivní webová aplikace: Stochastické procesy používané v kvantitativním financování“. Archivovány od originál dne 2015-09-20. Citováno 2015-07-03.