Ergodická teorie - Ergodic theory

Ergodická teorie (řecký: ἔργον ergon "práce", ὁδός Hodos "cesta") je pobočka matematika který studuje statistické vlastnosti deterministické dynamické systémy; je to studie o ergodicita. V této souvislosti se statistickými vlastnostmi rozumí vlastnosti, které jsou vyjádřeny chováním časových průměrů různých funkcí podél trajektorií dynamických systémů. Pojem deterministických dynamických systémů předpokládá, že rovnice určující dynamiku neobsahují žádné náhodné poruchy, šum atd. Statistiky, kterých se to týká, jsou tedy vlastnostmi dynamiky.

Ergodická teorie, stejně jako teorie pravděpodobnosti, je založena na obecných pojmech opatření teorie. Jeho počáteční vývoj byl motivován problémy statistická fyzika.

Ústředním zájmem ergodické teorie je chování a dynamický systém když je povoleno běhat po dlouhou dobu. Prvním výsledkem v tomto směru je Poincarého věta o rekurenci, který to tvrdí téměř všechny bodů v jakékoli podskupině souboru fázový prostor nakonec sadu znovu navštívit. Systémy, pro které platí Poincaréova věta o rekurenci, jsou konzervativní systémy; tedy všechny ergodické systémy jsou konzervativní.

Přesnější informace poskytují různé ergodické věty kteří tvrdí, že za určitých podmínek existuje časový průměr funkce podél trajektorií téměř všude a souvisí s vesmírným průměrem. Dvě z nejdůležitějších vět jsou Birkhoff (1931) a von Neumann které prosazují existenci časového průměru podél každé trajektorie. Pro speciální třídu ergodické systémy, tento časový průměr je stejný pro téměř všechny počáteční body: statisticky vzato systém, který se dlouhodobě vyvíjí, „zapomíná“ na svůj počáteční stav. Silnější vlastnosti, jako např míchání a ekvidistribuce, byly také rozsáhle studovány.

Problém metrické klasifikace systémů je další důležitou součástí abstraktní ergodické teorie. Vynikající role v ergodické teorii a jejích aplikacích pro stochastické procesy se hraje různými pojmy entropie pro dynamické systémy.

Koncepty ergodicita a ergodická hypotéza jsou ústřední pro aplikace ergodické teorie. Základní myšlenkou je, že pro určité systémy se časový průměr jejich vlastností rovná průměru v celém prostoru. Aplikace ergodické teorie na jiné části matematiky obvykle zahrnují stanovení vlastností ergodicity pro systémy zvláštního druhu. v geometrie, metody ergodické teorie byly použity ke studiu geodetický tok na Riemannovy rozdělovače, počínaje výsledky Eberhard Hopf pro Riemannovy povrchy záporného zakřivení. Markovovy řetězy tvoří společný kontext pro aplikace v teorie pravděpodobnosti. Ergodická teorie má plodné souvislosti harmonická analýza, Teorie lži (teorie reprezentace, mříže v algebraické skupiny ), a teorie čísel (teorie diophantine aproximace, L-funkce ).

Ergodické transformace

Ergodická teorie se často zabývá ergodické transformace. Intuice za takovými transformacemi, které působí na danou sadu, spočívá v tom, že provádějí důkladnou práci „mícháním“ prvků této sady (např. Pokud je sada množstvím horkých ovesných vloček v misce a pokud je lžičkou sirupu spadne do mísy, pak iterace inverze ergodické transformace ovesných vloček nedovolí sirupu zůstat v místní podoblasti ovesných vloček, ale bude sirup rovnoměrně distribuovat po celém povrchu. Tyto iterace zároveň nebudou komprimují nebo dilatují jakoukoli část ovesných vloček: zachovávají míru hustoty.) Zde je formální definice.

Nechat T : X → X být transformace zachovávající opatření na změřte prostor (X, Σ, μ), s μ(X) = 1. Pak T je ergodický pokud pro každého E v Σ s T⁻¹(E) = E, buď μ(E) = 0 nebo μ(E) = 1.

Příklady

Vývoj souboru klasických systémů ve fázovém prostoru (nahoře). Systémy jsou masivní částice v jednorozměrné potenciálové jámě (červená křivka, spodní obrázek). Zpočátku kompaktní celek se postupem času víří a rozkládá se kolem fázového prostoru. To je však ne ergodické chování, protože systémy dobře nenavštěvují levostranný potenciál.

• An iracionální rotace z kruh R/Z, T: X → X + θ, kde θ je iracionální, je ergodický. Tato transformace má ještě silnější vlastnosti jedinečná ergodicita, minimalita, a ekvidistribuce. Naproti tomu, pokud θ = p/q je tedy racionální (v nejnižším vyjádření) T je periodický, s tečkou q, a proto nemohou být ergodické: pro jakýkoli interval Já délky A, 0 < A < 1/q, jeho oběžná dráha pod T (tj. svazek Já, T(Já), ..., T^q−1(Já), který obsahuje obrázek Já pod libovolným počtem aplikací T) je T-invariant mod 0 set, který je sjednocením q intervaly délky A, proto má míru qa přísně mezi 0 a 1.
• Nechat G být kompaktní abelianská skupina, μ normalizovaný Haarovo opatření, a T A skupinový automorfismus z G. Nechat G* být Pontryagin dual skupina, skládající se z kontinuální postavy z G, a T* být odpovídajícím adjungovaným automorfismem G*. Automorfismus T je ergodický právě tehdy, když rovnost (T*)ⁿ(χ) = χ je možné pouze tehdy, když n = 0 nebo χ je triviální charakter z G. Zejména pokud G je n-dimenzionální torus a automorfismus T je reprezentován a unimodulární matice A pak T je ergodický právě tehdy, když ne vlastní číslo z A je kořen jednoty.
• A Bernoulliho posun je ergodický. Obecněji řečeno, ergodicita transformace posunu spojená se sekvencí i.i.d. náhodné proměnné a některé obecnější stacionární procesy vyplývá z Kolmogorovův zákon nula jedna.
• Ergodicita a spojitý dynamický systém znamená, že jeho trajektorie se „šíří“ kolem fázový prostor. Systém s kompaktním fázovým prostorem, který má nekonstantní první integrál, nemůže být ergodický. To platí zejména pro Hamiltonovské systémy s prvním integrálem Já funkčně nezávislý na Hamiltonově funkci H a kompaktní sadu úrovní X = {(p,q): H(p,q) = E} konstantní energie. Liouvilleova věta implikuje existenci konečné invariantní míry na X, ale dynamika systému je omezena na sady úrovní Já na X, tedy systém má neměnné množiny kladných, ale méně než úplných opatření. Vlastnost spojitých dynamických systémů, která je opakem ergodicity, je úplná integrovatelnost.

Ergodické věty

Nechat T: X → X být transformace zachovávající opatření na změřte prostor (X, Σ, μ) a předpokládejme, že ƒ je a μ- integrovatelná funkce, tj. ƒ ƒ L¹(μ). Poté definujeme následující průměry:

Časový průměr: To je definováno jako průměr (pokud existuje) z iterací T počínaje od počátečního bodu X:

${ displaystyle { hat {f}} (x) = lim _ {n rightarrow infty} ; { frac {1} {n}} součet _ {k = 0} ^ {n-1} f (T ^ {k} x).}$

Průměr prostoru: Li μ(X) je konečný a nenulový, můžeme uvažovat prostor nebo fáze průměr ƒ:

${ displaystyle { bar {f}} = { frac {1} { mu (X)}} int f , d mu. quad { text {(pro pravděpodobnostní prostor,}} mu (X) = 1.)}$

Obecně se časový průměr a průměr prostoru mohou lišit. Pokud je však transformace ergodická a míra je neměnná, pak se časový průměr rovná průměru prostoru téměř všude. Toto je slavná ergodická věta, v abstraktní formě kvůli George David Birkhoff. (Ve skutečnosti Birkhoffova práce nebere v úvahu abstraktní obecný případ, ale pouze případ dynamických systémů vznikajících z diferenciálních rovnic na plynulém potrubí.) věta o ekvidistribuci je speciální případ ergodické věty, zabývající se konkrétně distribucí pravděpodobností na jednotkovém intervalu.

Přesněji řečeno bodově nebo silná ergodická věta uvádí, že limit v definici časového průměru ƒ existuje téměř pro všechny X a že (téměř všude definovaná) limitní funkce ƒ̂ je integrovatelná:

${ displaystyle { hat {f}} v L ^ {1} ( mu). ,}$

Dále ${ displaystyle { hat {f}}}$ je T-invariant, to znamená

${ displaystyle { hat {f}} circ T = { hat {f}} ,}$

drží téměř všude, a pokud μ(X) je konečný, pak je normalizace stejná:

${ displaystyle int { hat {f}} , d mu = int f , d mu.}$

Zejména pokud T je ergodická, pak ƒ̂ musí být konstanta (téměř všude), a tak to člověk má

${ displaystyle { bar {f}} = { hat {f}} ,}$

téměř všude. Spojení prvního a posledního nároku a za předpokladu, že μ(X) je konečný a nenulový, jeden to má

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} ; { frac {1} {n}} součet _ {k = 0} ^ {n-1} f (T ^ {k} x) = { frac {1} { mu (X)}} int f , d mu}$

pro téměř všechny X, tj. pro všechny X kromě sady opatření nula.

U ergodické transformace se časový průměr téměř jistě rovná průměrnému prostoru.

Jako příklad předpokládejme, že měřicí prostor (X, Σ, μ) modeluje částice plynu, jak je uvedeno výše, a nechme ƒ (X) označují rychlost částice v poloze X. Potom bodové ergodické věty říkají, že průměrná rychlost všech částic v daném čase se rovná průměrné rychlosti jedné částice v čase.

Zobecnění Birkhoffovy věty je Kingmanova subadditivní ergodická věta.

Pravděpodobnostní formulace: Birkhoff – Khinchinova věta

Birkhoff – Khinchinova věta. Nechť ƒ je měřitelný, E(| ƒ |) <∞ a T být mapou zachovávající opatření. Pak s pravděpodobností 1:

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} ; { frac {1} {n}} součet _ {k = 0} ^ {n-1} f (T ^ {k} x) = E (f mid { mathcal {C}}) (x),}$

kde ${ displaystyle E (f | { mathcal {C}})}$ je podmíněné očekávání vzhledem k σ-algebře ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ neměnných sad T.

Důsledek (Bodová ergodická věta): Zejména pokud T je tedy také ergodický ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je triviální σ-algebra, a tedy s pravděpodobností 1:

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} ; { frac {1} {n}} součet _ {k = 0} ^ {n-1} f (T ^ {k} x) = E (F).}$

Střední ergodická věta

Von Neumannova střední ergodická věta, drží v Hilbertových prostorech.^[1]

Nechat U být nečleněný operátor na Hilbertův prostor H; obecněji izometrický lineární operátor (tj. ne nutně surjektivní lineární operátor splňující ‖Ux‖ = ‖X‖ pro všechny X v Hnebo rovnocenně uspokojující U*U = Já, ale ne nutně U U* = I). Nechat P být ortogonální projekce na {ψ ∈ H | Uψ = ψ} = ker (Já − U).

Pak pro všechny X v H, my máme:

${ displaystyle lim _ {N až infty} {1 nad N} součet _ {n = 0} ^ {N-1} U ^ {n} x = Px,}$

kde je limit vzhledem k normě na H. Jinými slovy posloupnost průměrů

${ displaystyle { frac {1} {N}} součet _ {n = 0} ^ {N-1} U ^ {n}}$

konverguje k P v silná topologie operátora.

V tomto případě skutečně není těžké vidět, že vůbec ${ displaystyle x v H}$ připouští ortogonální rozklad na části z ${ displaystyle ker (I-U)}$ a ${ displaystyle { overline { operatorname {ran} (I-U)}}}$ resp. První část je neměnná ve všech dílčích částkách jako ${ displaystyle N}$ roste, zatímco pro druhou část, z teleskopická řada jeden by měl:

${ displaystyle lim _ {N to infty} {1 nad N} součet _ {n = 0} ^ {N-1} U ^ {n} (IU) = lim _ {N to infty} {1 over N} (IU ^ {N}) = 0}$

Tato věta se specializuje na případ, ve kterém je Hilbertův prostor H skládá se z L² funkce na měrném prostoru a U je operátorem formuláře

${ displaystyle Uf (x) = f (Tx) ,}$

kde T je endomorfismus zachovávající míru X, o kterém se v aplikacích uvažuje jako o časovém kroku diskrétního dynamického systému.^[2] Ergodická věta poté tvrdí, že průměrné chování funkce ƒ v dostatečně velkých časových měřítcích je aproximováno ortogonální složkou ƒ, která je časově neměnná.

V jiné formě střední ergodické věty, pojďme U_t být silně spojitý skupina s jedním parametrem unitárních operátorů na H. Pak operátor

${ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} U_ {t} , dt}$

konverguje v silné operátorské topologii jako T → ∞. Ve skutečnosti se tento výsledek vztahuje i na případ silně spojitého jednoparametrická poloskupina smluvních operátorů v reflexním prostoru.

Poznámka: Nějakou intuici pro střední ergodickou větu lze vyvinout na základě zvážení případu, kdy jsou komplexní čísla délky jednotek považována za jednotné transformace v komplexní rovině (pomocí násobení vlevo). Vybereme-li jeden komplexní počet jednotek délky (o kterých si myslíme, že jsou U), je intuitivní, že jeho síly vyplní kruh. Protože kružnice je symetrická kolem 0, dává smysl, že průměry sil U bude konvergovat k 0. Také 0 je jediný pevný bod U, a tak projekce do prostoru pevných bodů musí být nulovým operátorem (což souhlasí s právě popsaným limitem).

Konvergence ergodických prostředků v L^p normy

Nechť (X, Σ, μ) být jako výše pravděpodobnostní prostor s mírou zachovávající transformaci T, a nechť 1 ≤ p ≤ ∞. Podmíněné očekávání vzhledem k sub-σ-algebře Σ_T z T-variantní sady je lineární projektor E_T normy 1 Banachova prostoru L^p(X, Σ, μ) do svého uzavřeného podprostoru L^p(X, Σ_T, μ) Ten druhý lze také charakterizovat jako prostor všech T-invariantní L^p-funkce zapnuta X. Ergodické prostředky, jako lineární operátory L^p(X, Σ, μ) mají také normu provozovatele jednotky; a jako jednoduchý důsledek Birkhoff – Khinchinovy ​​věty konvergují k projektoru E_T v silná topologie operátora z L^p pokud 1 ≤ p ≤ ∞ a v slabá topologie operátora -li p = ∞. Více platí, pokud 1 < p ≤ ∞ pak věta o konvergenci dominující ergodické víře Wiener – Yoshida – Kakutani uvádí, že ergodické prostředky ƒ ∈ L^p dominuje v L^p; pokud však ƒ ∈ L¹, nemusí být ergodické prostředky ekvidominovány L^p. Nakonec, pokud se předpokládá, že ƒ je ve třídě Zygmund, je to | ƒ | log⁺(| ƒ |) je integrovatelný, pak v něm dokonce dominují ergodické prostředky L¹.

Pobytový čas

Nechť (X, Σ, μ) být takovým měřícím prostorem μ(X) je konečný a nenulový. Čas strávený v měřitelné sadě A se nazývá strávit čas. Okamžitým důsledkem ergodické věty je, že v ergodickém systému je relativní míra A se rovná střední doba pobytu:

${ displaystyle { frac { mu (A)} { mu (X)}} = { frac {1} { mu (X)}} int chi _ {A} , d mu = lim _ {n rightarrow infty} ; { frac {1} {n}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} chi _ {A} (T ^ {k} x) }$

pro všechny X kromě sady opatření nula, kde χ_A je funkce indikátoru z A.

The doby výskytu měřitelné množiny A je definována jako množina k₁, k₂, k₃, ..., časů k takhle T^k(X) je v A, seřazeno vzestupně. Rozdíly mezi časy po sobě jdoucích výskytů R_i = k_i − k_i−1 se nazývají doby opakování z A. Dalším důsledkem ergodické věty je, že průměrná doba rekurence A je nepřímo úměrný míře A, za předpokladu^{[je zapotřebí objasnění ]} že počáteční bod X je v A, aby k₀ = 0.

${ displaystyle { frac {R_ {1} + cdots + R_ {n}} {n}} rightarrow { frac { mu (X)} { mu (A)}} quad { text { (téměř jistě)}}}$

(Vidět téměř jistě.) To znamená, že menší A je, čím déle trvá návrat k němu.

Ergodické toky na potrubích

Ergodicita geodetický tok na kompaktní Riemannovy povrchy proměnné záporné zakřivení a na kompaktní potrubí s konstantním záporným zakřivením jakékoli dimenze bylo prokázáno Eberhard Hopf v roce 1939, ačkoli zvláštní případy byly studovány dříve: viz například Hadamardův kulečník (1898) a Artin kulečník (1924). Vztah mezi geodetickými proudy na Riemannově povrchu a zapnutými podskupinami s jedním parametrem SL (2, R) byl popsán v roce 1952 autorem S. V. Fomin a I. M. Gelfand. Článek o Anosov teče poskytuje příklad ergodických toků na SL (2, R) a na Riemannově povrchu záporného zakřivení. Velká část zde popsaného vývoje zobecňuje hyperbolické varietá, protože je lze považovat za kvocienty hyperbolický prostor podle akce a mříž v polojednodušé Lieově skupině SO (n, 1). Ergodicita geodetického toku zapnuta Riemannovy symetrické prostory bylo prokázáno F. I. Mautner v roce 1957. V roce 1967 D. V. Anosov a Ya. G. Sinaj prokázala ergodicitu geodetického toku na kompaktních varietách s variabilním záporem řezové zakřivení. Jednoduché kritérium pro ergodicitu homogenního toku na a homogenní prostor a napůl jednoduchá Lieova skupina byl dán Calvin C. Moore v roce 1966. Mnohé z vět a výsledků z této oblasti studia jsou typické pro teorie tuhosti.

Ve 30. letech G. A. Hedlund prokázal, že tok horocyklu na kompaktním hyperbolickém povrchu je minimální a ergodický. Jedinečnou ergodicitu toku stanovil Hillel Furstenberg v roce 1972. Ratnerovy věty poskytují hlavní zobecnění ergodicity pro unipotentní toky v homogenních prostorech formy Γ G, kde G je Lež skupina a Γ je mřížka vG.

V posledních 20 letech bylo mnoho prací, které se snažily najít větu o klasifikaci míry podobnou Ratner Věty, ale pro diagonalizovatelné akce, motivované domněnkami Furstenberga a Margulis. Důležitý dílčí výsledek (řešení těchto domněnek s extra předpokladem pozitivní entropie) prokázal Elon Lindenstrauss, a byl oceněn Polní medaile v roce 2010 pro tento výsledek.

Viz také

• Teorie chaosu
• Ergodická hypotéza
• Ergodický proces
• Lyapunov čas - časový limit do předvídatelnost systému
• Maximální ergodická věta
• Věta o izomorfismu Ornstein
• Statistická mechanika
• Symbolická dynamika
• Lindyho efekt

Reference

Historické odkazy

• Birkhoff, George David (1931), „Důkaz ergodické věty“, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 17 (12): 656–660, Bibcode:1931PNAS ... 17..656B, doi:10.1073 / pnas.17.12.656, PMC  1076138, PMID  16577406.
• Birkhoff, George David (1942), „Co je to ergodická věta?“, Amer. Matematika. Měsíční, 49 (4): 222–226, doi:10.2307/2303229, JSTOR  2303229.
• von Neumann, John (1932), „Důkaz kvazi-ergodické hypotézy“, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 18 (1): 70–82, Bibcode:1932PNAS ... 18 ... 70N, doi:10.1073 / pnas.18.1.70, PMC  1076162, PMID  16577432.
• von Neumann, John (1932), „Fyzikální aplikace ergodické hypotézy“, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 18 (3): 263–266, Bibcode:1932PNAS ... 18..263N, doi:10.1073 / pnas.18.3.263, JSTOR  86260, PMC  1076204, PMID  16587674.
• Hopf, Eberhard (1939), „Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung“, Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss., 91: 261–304.
• Fomin, Sergej V.; Gelfand, I. M. (1952), „Geodetické toky na potrubích s konstantním záporným zakřivením“, Uspekhi Mat. Nauk, 7 (1): 118–137.
• Mautner, F. I. (1957), „Geodetické toky na symetrických Riemannově prostoru“, Ann. Matematika., 65 (3): 416–431, doi:10.2307/1970054, JSTOR  1970054.
• Moore, C. C. (1966), „Ergodicita toků v homogenních prostorech“, Amer. J. Math., 88 (1): 154–178, doi:10.2307/2373052, JSTOR  2373052.

Moderní reference

• D.V. Anosov (2001) [1994], „Ergodická teorie“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Tento článek obsahuje materiál z ergodické věty PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.
• Vladimir Igorevich Arnol'd a André Avez, Ergodické problémy klasické mechaniky. New York: W.A. Benjamin. 1968.
• Leo Breiman, Pravděpodobnost. Původní vydání vydané Addison – Wesley, 1968; přetištěno společností pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, 1992. ISBN  0-89871-296-3. (Viz kapitola 6.)
• Walters, Peter (1982), Úvod do ergodické teorie, Postgraduální texty z matematiky, 79, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95152-0, Zbl  0475.28009
• Tim Bedford; Michael Keane; Caroline Series, eds. (1991), Ergodická teorie, symbolická dynamika a hyperbolické prostory, Oxford University Press, ISBN  0-19-853390-X (Přehled témat v ergodické teorii; s cvičeními.)
• Karl Petersen. Ergodická teorie (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). Cambridge: Cambridge University Press. 1990.
• Joseph M. Rosenblatt a Máté Weirdl, Bodové ergodické věty pomocí harmonické analýzy, (1993) objevující se v Ergodická teorie a její souvislosti s harmonickou analýzou, sborník z Alexandrijské konference z roku 1993, (1995) Karl E. Petersen a Ibrahim A. Salama, eds., Cambridge University Press, Cambridge, ISBN  0-521-45999-0. (Rozsáhlý průzkum ergodických vlastností zevšeobecnění věta o ekvidistribuci z směnové mapy na jednotkový interval. Zaměřuje se na metody vyvinuté Bourgainem.)
• A. N. Shiryaev, Pravděpodobnost, 2. vyd., Springer 1996, Sec. V.3. ISBN  0-387-94549-0.
• Joseph D. Zund (2002), "George David Birkhoff a John von Neumann: Otázka priority a Ergodické věty, 1931–1932", Historia Mathematica, 29 (2): 138–156, doi:10.1006 / hmat.2001.2338 (Podrobná diskuse o prioritě objevu a zveřejnění ergodických vět od Birkhoffa a von Neumanna na základě jejich dopisu jeho příteli Howardovi Percymu Robertsonovi.)
• Andrzej Lasota, Michael C. Mackey, Chaos, fraktály a hluk: Stochastické aspekty dynamiky. Druhé vydání, Springer, 1994.

externí odkazy

• Ergodická teorie (16. června 2015) Poznámky Cosmy Rohilla Shalizi
• Ergodická věta projde testem Ze světa fyziky