Empirická míra - Empirical measure

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie pravděpodobnosti, an empirická míra je náhodné opatření vyplývající z konkrétní realizace (obvykle konečné) posloupnosti náhodné proměnné. Přesná definice je uvedena níže. Empirická opatření jsou relevantní pro matematická statistika.

Motivací ke studiu empirických měřítek je to, že je často nemožné poznat skutečný základ míra pravděpodobnosti ${displaystyle P}$. Sbíráme pozorování ${displaystyle X_ {1}, X_ {2}, tečky, X_ {n}}$ a počítat relativní frekvence. Můžeme to odhadnout ${displaystyle P}$nebo související distribuční funkce ${displaystyle F}$ pomocí empirické míry nebo empirické distribuční funkce. Jedná se o jednotně dobré odhady za určitých podmínek. Věty o oblasti empirické procesy poskytnout sazby této konvergence.

Definice

Nechat ${displaystyle X_ {1}, X_ {2}, tečky}$ být posloupností nezávislý identicky distribuován náhodné proměnné s hodnotami ve stavovém prostoru S s distribucí pravděpodobnosti P.

Definice

The empirická míra P_n je definován pro měřitelné podmnožiny S a dané

${displaystyle P_ {n} (A) = {1 nad n} součet _ {i = 1} ^ {n} I_ {A} (X_ {i}) = {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} delta _ {X_ {i}} (A)}$

kde ${displaystyle I_ {A}}$ je funkce indikátoru a ${displaystyle delta _ {X}}$ je Diracova míra.

Vlastnosti

• Pro pevnou měřitelnou sadu A, nP_n(A) je binomický náhodná veličina se střední hodnotou nP(A) a rozptyl nP(A)(1 − P(A)).
  • Zejména, P_n(A) je nezaujatý odhad z P(A).
• Pro pevné rozdělit ${displaystyle A_ {i}}$ z Snáhodné proměnné ${displaystyle X_ {i} = nP_ {n} (A_ {i})}$ formulář a multinomiální distribuce s pravděpodobnosti události ${displaystyle P (A_ {i})}$
  • The kovarianční matice této multinomické distribuce je ${displaystyle Cov (X_ {i}, X_ {j}) = nP (A_ {i}) (delta _ {ij} -P (A_ {j}))}$.

Definice

${displaystyle {igl (} P_ {n} (c) {igr)} _ {cin {mathcal {C}}}}$ je empirická míra indexováno podle ${displaystyle {mathcal {C}}}$, sbírka měřitelných podskupin S.

Chcete-li tuto představu dále zobecnit, sledujte empirickou míru ${displaystyle P_ {n}}$ mapy měřitelné funkce ${displaystyle f: S o mathbb {R}}$ jejich empirický průměr,

${displaystyle fmapsto P_ {n} f = int _ {S} f, dP_ {n} = {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} f (X_ {i})}$

Zejména empirická míra A je jednoduše empirický průměr funkce indikátoru, P_n(A) = P_n Já_A.

Pro pevnou měřitelnou funkci ${displaystyle f}$, ${displaystyle P_ {n} f}$ je náhodná proměnná se střední hodnotou ${displaystyle mathbb {E} f}$ a rozptyl ${displaystyle {frac {1} {n}} mathbb {E} (f-mathbb {E} f) ^ {2}}$.

Silnými zákon velkých čísel, P_n(A) konverguje k P(A) téměř jistě pro pevné A. Podobně ${displaystyle P_ {n} f}$ konverguje k ${displaystyle mathbb {E} f}$ téměř jistě pro pevnou měřitelnou funkci ${displaystyle f}$. Problém jednotné konvergence P_n na P byl otevřen do Vapnik a Chervonenkis vyřešil to v roce 1968.^[1]

Pokud třída ${displaystyle {mathcal {C}}}$ (nebo ${displaystyle {mathcal {F}}}$) je Glivenko – Cantelli s ohledem na P pak P_n konverguje k P rovnoměrně přes ${displaystyle cin {mathcal {C}}}$ (nebo ${displaystyle fin {mathcal {F}}}$). Jinými slovy, s pravděpodobností 1 máme

${displaystyle | P_ {n} -P | _ {mathcal {C}} = sup _ {cin {mathcal {C}}} | P_ {n} (c) -P (c) | o 0,}$

${displaystyle | P_ {n} -P | _ {mathcal {F}} = sup _ {fin {mathcal {F}}} | P_ {n} f-mathbb {E} f | o 0.}$

Empirická distribuční funkce

The empirická distribuční funkce poskytuje příklad empirických opatření. Pro skutečné hodnoty iid náhodné proměnné ${displaystyle X_ {1}, tečky, X_ {n}}$ je to dáno

${displaystyle F_ {n} (x) = P_ {n} ((- infty, x]) = P_ {n} I _ {(- infty, x]}.}$

V tomto případě jsou empirické míry indexovány třídou ${displaystyle {mathcal {C}} = {(- infty, x]: xin mathbb {R}}.}$ Bylo prokázáno, že ${displaystyle {mathcal {C}}}$ je uniforma Třída Glivenko – Cantelli, zejména,

${displaystyle sup _ {F} | F_ {n} (x) -F (x) | _ {infty} o 0}$

s pravděpodobností 1.

Viz také

• Poissonovo náhodné měřítko

Reference

Další čtení

• Billingsley, P. (1995). Pravděpodobnost a míra (Třetí vydání.). New York: John Wiley and Sons. ISBN  0-471-80478-9.
• Donsker, M. D. (1952). „Ospravedlnění a rozšíření Doobova heuristického přístupu k větám Kolmogorov – Smirnov“. Annals of Mathematical Statistics. 23 (2): 277–281. doi:10.1214 / aoms / 1177729445.
• Dudley, R. M. (1978). „Centrální limitní věty pro empirická opatření“. Annals of Probability. 6 (6): 899–929. doi:10.1214 / aop / 1176995384. JSTOR  2243028.
• Dudley, R. M. (1999). Jednotné centrální limitní věty. Cambridge studia pokročilé matematiky. 63. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN  0-521-46102-2.
• Wolfowitz, J. (1954). „Zobecnění věty o Glivenkovi – Cantelli“. Annals of Mathematical Statistics. 25 (1): 131–138. doi:10.1214 / aoms / 1177728852. JSTOR  2236518.