Vasíčkův model - Vasicek model

v finance, Vasíčkův model je matematický model popisující vývoj úrokové sazby. Je to typ jednoho faktoru model s krátkou sazbou jak popisuje pohyby úrokových sazeb jako poháněné pouze jedním zdrojem tržní riziko. Tento model lze použít při oceňování úrokové deriváty, a byl také upraven pro úvěrové trhy. To bylo představeno v roce 1977 Oldřich Vašíček,[1] a může být také viděn jako stochastický investiční model.
Detaily
Model určuje, že okamžitá úroková sazba následuje stochastická diferenciální rovnice:
kde Žt je Wienerův proces v rámci rizikově neutrálního rámce modelování náhodného tržního rizikového faktoru tím, že modeluje nepřetržitý příliv náhodnosti do systému. The standardní odchylka parametr, , určuje volatilita úrokové sazby a určitým způsobem charakterizuje amplitudu okamžitého přílivu náhodnosti. Typické parametry a , spolu s počáteční podmínkou , zcela charakterizovat dynamiku, a lze ji rychle charakterizovat následujícím způsobem, za předpokladu nezáporné:
- : "dlouhodobá střední úroveň". Všechny budoucí trajektorie z dlouhodobého hlediska se bude vyvíjet kolem střední úrovně b;
- : "rychlost zpětného chodu". charakterizuje rychlost, s jakou se takové trajektorie přeskupí včas;
- : "okamžitá volatilita", měří okamžitou amplitudu náhodnosti vstupující do systému. Vyšší znamená větší náhodnost
Zajímavé je také následující odvozené množství,
- : "dlouhodobá odchylka". Všechny budoucí trajektorie se po dlouhé době přeskupí kolem dlouhodobého průměru s takovým rozptylem.
a mají tendenci se stavět proti sobě: vzrůstá zvyšuje množství náhodnosti vstupujících do systému, ale zároveň se zvyšuje se rovná zvýšení rychlosti, při které se systém statisticky stabilizuje kolem dlouhodobého průměru s koridorem odchylky určeným také . To je jasné při pohledu na dlouhodobou odchylku,
který se zvyšuje s ale klesá s .
Tento model je Stochastický proces Ornstein – Uhlenbeck. Z dlouhodobého hlediska je stochastická pro další SDE zjednodušená verze koinlace SDE.[2]
Diskuse
Jako první zachytil Vasíčkův model průměrná reverze, základní charakteristika úrokové sazby, která ji odlišuje od ostatních finančních cen. Tedy na rozdíl od skladem ceny například úrokové sazby nemohou růst donekonečna. Důvodem je to, že na velmi vysokých úrovních by brzdily ekonomickou aktivitu a vedly ke snížení úrokových sazeb. Podobně úrokové sazby obvykle neklesají pod 0. Výsledkem je, že úrokové sazby se pohybují v omezeném rozsahu a vykazují tendenci k návratu k dlouhodobé hodnotě.
Faktor posunu představuje očekávanou okamžitou změnu úrokové sazby v čase t. Parametr b představuje dlouhý běh rovnováha hodnota, ke které se úroková sazba vrací. Při absenci otřesů (), úroková sazba zůstává konstantní, když rt = b. Parametr A, určující rychlost přizpůsobení, musí být pozitivní, aby bylo zajištěno stabilita kolem dlouhodobé hodnoty. Například když rt je níže b, driftový termín se stává pozitivním pro pozitivní A, generující tendenci k pohybu úrokové sazby nahoru (směrem k rovnováze).
Hlavní nevýhodou je, že podle Vasíčkova modelu je teoreticky možné, aby úroková sazba byla záporná, což je v předkrizových předpokladech nežádoucí rys. Tento nedostatek byl opraven v Cox – Ingersoll – Rossův model, exponenciální model Vasicek, Model Black – Derman – Toy a Černý – Karasinski model, mezi mnoha jinými. Model Vasicek byl dále rozšířen v Trup – bílý model. Model Vasicek je také kanonickým příkladem model struktury afinních termínů, spolu s Cox – Ingersoll – Rossův model.
Asymptotický průměr a rozptyl
Řešíme stochastickou diferenciální rovnici, abychom ji získali
Pomocí podobných technik, jaké se používají v Ornstein – Uhlenbeck stochastický proces dostaneme, že stavová proměnná je distribuována normálně se střední hodnotou
a rozptyl
V důsledku toho máme
a
Viz také
Reference
- ^ Vasicek, O. (1977). Msgstr "Rovnovážná charakterizace pojmu struktura". Journal of Financial Economics. 5 (2): 177–188. CiteSeerX 10.1.1.164.447. doi:10.1016 / 0304-405X (77) 90016-2.
- ^ Mahdavi Damghani B. (2013). „Nezavádějící hodnota odvozené korelace: Úvod do modelu koinlace“. Wilmott Magazine. 2013 (67): 50–61. doi:10,1002 / wilm.10252.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
- Hull, John C. (2003). Opce, futures a další deriváty. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-009056-0.
- Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). Modely úrokových sazeb - teorie a praxe s úsměvem, inflací a úvěrem (2. vydání, vydání z roku 2006). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
- Jessica James, Nick Webber (2000). Modelování úrokových sazeb. Wiley. ISBN 978-0-471-97523-6.
externí odkazy
- Cena dluhopisu s nulovým kupónem podle modelu Vasicek, Online kalkulačka zdarma, QuantCalc
- Model Vasicek, Bjørn Eraker, Wisconsin School of Business
- Odhad a predikce výnosové křivky s modelem Vasicek, D. Bayazit, Technická univerzita na Středním východě
- Knihovna otevřeného zdroje implementující model Vasicek v pythonu