Náhodný dynamický systém - Random dynamical system
![]() | tento článek poskytuje nedostatečný kontext pro ty, kteří danému tématu nejsou obeznámeni.Srpna 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
V matematický pole dynamické systémy, a náhodný dynamický systém je dynamický systém, ve kterém pohybové rovnice mít pro ně prvek náhodnosti. Náhodné dynamické systémy se vyznačují a státní prostor S, a soubor z mapy z S do sebe, o kterém lze uvažovat jako o souboru všech možných pohybových rovnic, a rozdělení pravděpodobnosti Q na scéně který představuje náhodný výběr mapy. Pohyb v náhodném dynamickém systému lze neformálně považovat za stav vyvíjející se podle posloupnosti map náhodně vybraných podle distribuce Q.[1]
Příkladem náhodného dynamického systému je a stochastická diferenciální rovnice; v tomto případě je distribuce Q obvykle určena hlukové podmínky. Skládá se z a základní tok „šum“ a a cocycle dynamický systém na „fyzickém“ fázový prostor. Dalším příkladem je náhodný dynamický systém s diskrétním stavem; jsou diskutovány některé základní rozpory mezi Markovovým řetězcem a popisy náhodných dynamických systémů stochastické dynamiky.[2]
Motivace 1: Řešení stochastické diferenciální rovnice
Nechat být -dimenzionální vektorové pole a nechte . Předpokládejme, že řešení na stochastickou diferenciální rovnici
existuje pro celý kladný čas a určitý (malý) interval záporného času závislý na , kde označuje a -dimenzionální Wienerův proces (Brownův pohyb ). Toto prohlášení implicitně používá klasický Wiener pravděpodobnostní prostor
V této souvislosti je proces Wiener procesem souřadnic.
Nyní definujte a vývojová mapa nebo (operátor řešení) podle
(kdykoli je pravá strana dobře definované ). Pak (nebo přesněji pár ) je (lokální, levostranný) náhodný dynamický systém. Proces generování „toku“ z řešení stochastické diferenciální rovnice nás vede ke studiu vhodně definovaných „toků“ samostatně. Tyto „toky“ jsou náhodné dynamické systémy.
Motivace 2: Připojení k Markovskému řetězci
Náhodný dynamický systém i.i.d v diskrétním prostoru je popsán tripletem .
- je státní prostor, .
- je rodina map . Každá taková mapa má a maticová reprezentace, tzv deterministická přechodová matice. Je to binární matice, ale má přesně jednu položku 1 v každém řádku a jinak 0s.
- je míra pravděpodobnosti - pole .
Diskrétní náhodný dynamický systém přichází následovně,
- Systém je v nějakém stavu v , mapa v je vybrán podle míry pravděpodobnosti a systém se přesune do stavu v kroku 1.
- Nezávisle na předchozích mapách, další mapa je vybrán podle míry pravděpodobnosti a systém se přesune do stavu .
- Postup se opakuje.
Náhodná proměnná je konstruováno pomocí složení nezávislých náhodných map, . Jasně, je Markovův řetězec.
Naopak, může a jak může být daný MC zastoupen kompozicemi i.i.d. náhodné transformace? Ano, může, ale ne ojedinělé. Důkaz existence je podobný jako u věty Birkhoff – von Neumann pro dvojnásobně stochastická matice.
Zde je příklad, který ilustruje existenci a nejedinečnost.
Příklad: Pokud je stavový prostor a množina transformací vyjádřeno jako deterministické přechodové matice. Pak Markovova přechodová matice