Empirický proces - Empirical process

v teorie pravděpodobnosti, an empirický proces je stochastický proces který popisuje podíl objektů v systému v daném stavu. Pro proces v diskrétním stavovém prostoru a populační kontinuální čas Markovův řetězec^[1][2] nebo Markovský populační model^[3] je proces, který počítá počet objektů v daném stavu (bez změny měřítka) střední teorie pole, jsou zohledněny limitní věty (protože počet objektů se zvětší) a zobecňují teorém centrálního limitu pro empirická opatření. Aplikace teorie empirických procesů vznikají v neparametrické statistiky.^[4]

Definice

Pro X₁, X₂, ... X_n nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné v R se společným kumulativní distribuční funkce F(X), empirická distribuční funkce je definována

${displaystyle F_ {n} (x) = {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} I _ {(- infty, x]} (X_ {i}),}$

kde já_C je funkce indikátoru sady C.

Za každou (pevnou) X, F_n(X) je posloupnost náhodných proměnných, které konvergují k F(X) téměř jistě silnými zákon velkých čísel. To znamená F_n konverguje k F bodově. Glivenko a Cantelli tento výsledek posílili prokázáním jednotná konvergence z F_n na F podle Glivenkova – Cantelliho věta.^[5]

Centrovanou a škálovanou verzí empirického opatření je podepsané opatření

${displaystyle G_ {n} (A) = {sqrt {n}} (P_ {n} (A) -P (A))}$

Indukuje mapu měřitelných funkcí F dána

${displaystyle fmapsto G_ {n} f = {sqrt {n}} (P_ {n} -P) f = {sqrt {n}} vlevo ({frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} f (X_ {i}) - mathbb {E} boj)}$

Podle teorém centrálního limitu, ${displaystyle G_ {n} (A)}$ konverguje v distribuci do a normální náhodná proměnná N(0, P(A)(1 − P(A))) pro pevnou měřitelnou množinu A. Podobně pro pevnou funkci F, ${displaystyle G_ {n} f}$ konverguje v distribuci na normální náhodnou proměnnou ${displaystyle N (0, mathbb {E} (f-mathbb {E} f) ^ {2})}$, za předpokladu, že ${displaystyle mathbb {E} f}$ a ${displaystyle mathbb {E} f ^ {2}}$ existovat.

Definice

${displaystyle {igl (} G_ {n} (c) {igr)} _ {cin {mathcal {C}}}}$ se nazývá empirický proces indexováno podle ${displaystyle {mathcal {C}}}$, sbírka měřitelných podskupin S.

${displaystyle {igl (} G_ {n} f {igr)} _ {fin {mathcal {F}}}}$ se nazývá empirický proces indexováno podle ${displaystyle {mathcal {F}}}$, sbírka měřitelných funkcí od S na ${displaystyle mathbb {R}}$.

Významným výsledkem v oblasti empirických procesů je Donskerova věta. Vedlo to ke studiu Donskerovy třídy: sady funkcí s užitečnou vlastností, že empirické procesy indexované těmito třídami slabě konvergovat do jisté míry Gaussův proces. I když je možné ukázat, že Donskerovy třídy jsou Třídy Glivenko – Cantelli, konverzace není obecně platná.

Příklad

Jako příklad zvažte empirické distribuční funkce. Pro skutečné hodnoty iid náhodné proměnné X₁, X₂, ..., X_n jsou dány

${displaystyle F_ {n} (x) = P_ {n} ((- infty, x]) = P_ {n} I _ {(- infty, x]}.}$

V tomto případě jsou empirické procesy indexovány třídou ${displaystyle {mathcal {C}} = {(- infty, x]: xin mathbb {R}}.}$ Bylo prokázáno, že ${displaystyle {mathcal {C}}}$ je zejména Donskerova třída,

${displaystyle {sqrt {n}} (F_ {n} (x) -F (x))}$ konverguje slabě v ${displaystyle ell ^ {infty} (mathbb {R})}$ do a Brownův most B(F(X)) .

Viz také

• Khmaladze transformace
• Slabá konvergence opatření
• Glivenkova – Cantelliho věta

Reference

Další čtení

• Billingsley, P. (1995). Pravděpodobnost a míra (Třetí vydání.). New York: John Wiley and Sons. ISBN  0471007102.
• Donsker, M. D. (1952). „Ospravedlnění a rozšíření Doobova heuristického přístupu k větám Kolmogorov-Smirnov“. Annals of Mathematical Statistics. 23 (2): 277–281. doi:10.1214 / aoms / 1177729445.
• Dudley, R. M. (1978). „Centrální limitní věty pro empirická opatření“. Letopisy pravděpodobnosti. 6 (6): 899–929. doi:10.1214 / aop / 1176995384.
• Dudley, R. M. (1999). Jednotné centrální limitní věty. Cambridge studia pokročilé matematiky. 63. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press.
• Kosorok, M. R. (2008). Úvod do empirických procesů a semiparametrické inference. Springerova řada ve statistice. doi:10.1007/978-0-387-74978-5. ISBN  978-0-387-74977-8.
• Shorack, G. R .; Wellner, J. A. (2009). Empirické procesy s aplikacemi pro statistiku. doi:10.1137/1.9780898719017. ISBN  978-0-89871-684-9.
• van der Vaart, Aad W.; Wellner, Jon A. (2000). Slabá konvergence a empirické procesy: s aplikacemi pro statistiku (2. vyd.). Springer. ISBN  978-0-387-94640-5.
• Dzhaparidze, K. O .; Nikulin, M. S. (1982). "Pravděpodobnostní distribuce Kolmogorovovy a omega-kvadratické statistiky pro kontinuální distribuce s parametry posunu a měřítka". Journal of Soviet Mathematics. 20 (3): 2147. doi:10.1007 / BF01239992.

externí odkazy

• Empirické procesy: teorie a aplikace „David Pollard, učebnice dostupná online.
• Úvod do empirických procesů a semiparametrické inference, Michael Kosorok, další učebnice dostupná online.