Věta o Doobově rozkladu - Doob decomposition theorem
V teorii stochastické procesy v diskrétní čas, část matematické teorie pravděpodobnost, Věta o Doobově rozkladu dává každému jedinečný rozklad přizpůsobeno a integrovatelný stochastický proces jako součet a martingale a a předvídatelný proces (nebo „drift“) počínaje nulou. Věta byla prokázána a je pojmenována pro Joseph L. Doob.[1]
Analogická věta v případě spojitého času je Věta o rozkladu Doob – Meyer.
Prohlášení
Nechat (Ω,F, ℙ) být pravděpodobnostní prostor, Já = {0, 1, 2, . . . , N} s N ∈ ℕ nebo Já = ℕ0 konečný nebo nekonečný index, (Fn)n∈Já A filtrace zF, a X = (Xn)n∈Já přizpůsobený stochastický proces s E [|Xn|] < ∞ pro všechny n ∈ Já. Pak existuje martingale M = (Mn)n∈Já a integrovatelný předvídatelný proces A = (An)n∈Já začínání s A0 = 0 takhle Xn = Mn + An pro každého n ∈ Já.Tady předvídatelné to znamená An je Fn−1-měřitelný pro každého n ∈ Já {0} .Tento rozklad je téměř jistě unikátní.[2][3][4]
Poznámka
Věta je platná slovo za slovem také pro stochastické procesy X přičemž hodnoty v d-dimenzionální Euklidovský prostor ℝd nebo složitý vektorový prostor ℂd. To vyplývá z jednorozměrné verze tím, že se jednotlivé komponenty posuzují jednotlivě.
Důkaz
Existence
Použitím podmíněná očekávání, definovat procesy A a M, pro každého n ∈ Já, výslovně od
(1)
a
(2)
kde součty pro n = 0 jsou prázdný a definováno jako nula. Tady A sečte očekávané přírůstky X, a M sčítá překvapení, tj. část každého Xk to není známo jednou dříve. Kvůli těmto definicím An+1 (li n + 1 ∈ Já) a Mn jsou Fn- měřitelné, protože proces X je přizpůsoben, E [|An|] < ∞ a E [|Mn|] < ∞ protože proces X je integrovatelný a rozklad Xn = Mn + An platí pro všechny n ∈ Já. Vlastnost martingale
- tak jako.
vyplývá také z výše uvedené definice (2), pro každého n ∈ Já {0}.
Jedinečnost
Abychom prokázali jedinečnost, pojďme X = M' + A' být dalším rozkladem. Pak proces Y := M − M' = A' − A je martingale, z čehož vyplývá, že
- tak jako.,
a také předvídatelné, z čehož vyplývá, že
- tak jako.
pro všechny n ∈ Já {0}. Od té doby Y0 = A'0 − A0 = 0 podle konvence o počátečním bodě předvídatelných procesů z toho iterativně vyplývá, že Yn = 0 téměř jistě pro všechny n ∈ Já, proto je rozklad téměř jistě jedinečný.
Důsledek
Skutečný stochastický proces X je submartingale jen a jen v případě, že má Doobův rozklad na martingal M a integrovatelný předvídatelný proces A to je téměř jisté vzrůstající.[5] Je to supermartingale, právě když A je téměř jisté klesající.
Důkaz
Li X je tedy submartingale
- tak jako.
pro všechny k ∈ Já {0}, což odpovídá tvrzení, že každý výraz v definici (1) z A je tedy téměř jistě pozitivní A téměř jistě roste. Rovnocennost pro supermartingales je prokázána obdobně.
Příklad
Nechat X = (Xn)n∈ℕ0 být posloupností v nezávislých, integrovatelných a reálných náhodných proměnných. Jsou přizpůsobeny filtraci generované sekvencí, tj. Fn = σ(X0, . . . , Xn) pro všechny n ∈ ℕ0. Podle (1) a (2), Doobův rozklad je dán vztahem
a
Pokud náhodné proměnné původní sekvenceX mají střední nulu, to se zjednodušuje na
- a
tedy oba procesy jsou (možná časově nehomogenní) náhodné procházky. Pokud sekvence X = (Xn)n∈ℕ0 se skládá ze symetrických náhodných proměnných, které hodnoty berou +1 a−1, pak X je omezený, ale martingaleM a předvídatelný procesA jsou neomezené jednoduché náhodné procházky (a ne jednotně integrovatelný ), a Doobova volitelná zastavovací věta nemusí být použitelné na martingaleM ledaže doba zastavení má konečné očekávání.
aplikace
v matematické finance, Doobova věta o rozkladu může být použita k určení největší optimální doby cvičení an Americká volba.[6][7] Nechat X = (X0, X1, . . . , XN) označit nezáporné, zlevněné výplaty americké opce v a N-dobý model finančního trhu, přizpůsobený filtraci (F0, F1, . . . , FN)a nechte ℚ označit ekvivalent martingale opatření. Nechat U = (U0, U1, . . . , UN) označit Snellova obálka zX s ohledem naℚ. Obálka Snell je nejmenší ℚ-supermartingale dominující X[8] a na úplném finančním trhu představuje minimální množství kapitálu nezbytné k zajištění americké opce až do splatnosti.[9] Nechat U = M + A označit Doobův rozklad s ohledem naℚ obálky SnellU na martingale M = (M0, M1, . . . , MN) a klesající předvídatelný proces A = (A0, A1, . . . , AN) s A0 = 0. Pak největší doba zastavení optimálně využít americkou možnost[10][11] je
Od té doby A je předvídatelný, událost {τmax = n} = {An = 0, An+1 < 0} je vFn pro každého n ∈ {0, 1, . . . , N − 1}, proto τmax je skutečně doba zastavení. Poskytuje poslední okamžik, než diskontovaná hodnota americké opce poklesne v očekávání; až do časuτmax proces diskontované hodnotyU je martingale s ohledem naℚ.
Zobecnění
Větu o rozkladu Doob lze zobecnit z prostorů pravděpodobnosti na σ-konečná míra mezery.[12]
Citace
- ^ Doob (1953), viz (Doob 1990, str. 296−298)
- ^ Durrett (2005)
- ^ (Föllmer & Schied 2011, Tvrzení 6.1)
- ^ (Williams 1991, Oddíl 12.11, část (a) Věty)
- ^ (Williams 1991, Oddíl 12.11, část (b) Věty)
- ^ (Lamberton & Lapeyre 2008, Kapitola 2: Optimální problém zastavení a americké možnosti)
- ^ (Föllmer & Schied 2011, Kapitola 6: Americké podmíněné nároky)
- ^ (Föllmer & Schied 2011, Proposition 6.10)
- ^ (Föllmer & Schied 2011, Věta 6.11)
- ^ (Lamberton & Lapeyre 2008, Návrh 2.3.2)
- ^ (Föllmer & Schied 2011, Věta 6.21)
- ^ (Schilling 2005, Problém 23.11)
Reference
- Doob, Joseph L. (1953), Stochastické procesy, New York: Wiley, ISBN 978-0-471-21813-5, PAN 0058896, Zbl 0053.26802
- Doob, Joseph L. (1990), Stochastické procesy (Wiley Classics Library ed.), New York: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-52369-0, PAN 1038526, Zbl 0696.60003
- Durrett, Rick (2010), Pravděpodobnost: teorie a příklady, Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics (4. vyd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76539-8, PAN 2722836, Zbl 1202.60001
- Föllmer, Hans; Schied, Alexander (2011), Stochastické finance: Úvod do diskrétního času, Absolvent De Gruyter (3. rev. A rozšíření ed.), Berlín, New York: De Gruyter, ISBN 978-3-11-021804-6, PAN 2779313, Zbl 1213.91006
- Lamberton, Damien; Lapeyre, Bernard (2008), Úvod do stochastického počtu aplikovaného na financeSérie finanční matematiky Chapman & Hall / CRC (2. vyd.), Boca Raton, FL: Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-626-6, PAN 2362458, Zbl 1167.60001
- Schilling, René L. (2005), Míry, integrály a Martingales, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-52185-015-5, PAN 2200059, Zbl 1084.28001
- Williams, David (1991), Pravděpodobnost u Martingales, Cambridge University Press, ISBN 0-521-40605-6, PAN 1155402, Zbl 0722.60001