The proces narození a smrti (nebo proces narození a smrti) je zvláštní případ kontinuální Markovův proces kde přechody stavu jsou pouze dvou typů: „narození“, která zvyšují stavovou proměnnou o jednu, a „úmrtí“, která snižují stav o jednu. Název modelu pochází z běžné aplikace, kdy použití těchto modelů představuje aktuální velikost populace, kde přechody jsou doslovné zrození a úmrtí. Procesy narození a smrti mají mnoho aplikací demografie, teorie front, výkonové inženýrství, epidemiologie, biologie a další oblasti. Mohou být použity například ke studiu vývoje bakterie, počet lidí s onemocněním v populaci nebo počet zákazníků v řadě v supermarketu.
Když dojde k porodu, proces přejde ze stavu n na n + 1. Když dojde k úmrtí, proces přejde ze stavu n do stavun - 1. Proces je určen mírou porodnosti a úmrtnost .
Opakování a pomíjivost v Markovových procesech viz oddíl 5.3 z Markovův řetězec.
Podmínky pro opakování a pomíjivost
Podmínky pro opakování a pomíjivost byly stanoveny Samuel Karlin a James McGregor.[1]
Proces narození a smrti je opakující se kdyby a jen kdyby
Proces narození a smrti je ergodický kdyby a jen kdyby
Proces narození a smrti je null-opakující se kdyby a jen kdyby
Používáním Rozšířený Bertrandův test (viz část 4.1.4 z Poměrový test ) podmínky pro opakování, pomíjivost, ergodicitu a nulovou recidivu lze odvodit ve více explicitní podobě.[2]
Poté jsou podmínky pro opakování a pomíjivost procesu narození a smrti následující.
Proces narození a smrti je přechodný, pokud existuje a takové, že pro všechny
kde je prázdná částka pro se předpokládá, že je 0.
Proces narození a smrti se opakuje, pokud existují a takové, že pro všechny
aplikace
Zvážit jednorozměrnýnáhodná procházka to je definováno následovně. Nechat , a kde bere hodnoty a distribuce je definován následujícími podmínkami:
kde podmínku splnit .
Náhodná procházka popsaná zde je a diskrétní čas analogie procesu narození a smrti (viz Markovův řetězec ) s mírou porodnosti
a míra úmrtnosti
.
Opakování nebo pomíjivost náhodného pochodu je tedy spojena s opakováním nebo pomíjivostí procesu narození a smrti.[2]
Náhodná procházka je přechodná, pokud existuje , a takové, že pro všechny
kde je prázdná částka pro se předpokládá, že je nula.
Náhodná procházka se opakuje, pokud existuje a takové, že pro všechny
Stacionární řešení
Pokud je proces narození a smrti ergodický, pak existuje ustálený stav pravděpodobnosti kde je pravděpodobnost, že proces narození a smrti je ve stavu v čase Limit existuje, nezávisle na počátečních hodnotách a počítá se podle vztahů:
Tyto omezující pravděpodobnosti jsou získány z nekonečného systému diferenciální rovnice pro
a počáteční stav
Na druhé straně, poslední systém diferenciální rovnice je odvozen ze systému rozdílové rovnice který popisuje dynamiku systému v krátkém čase . Během této malé doby pouze tři typy přechodů jsou považovány za jedno úmrtí nebo jedno narození, nebo žádné narození ani smrt. Pravděpodobnost prvních dvou z těchto přechodů je pořadí. Další přechody během tohoto malého intervalu jako více než jedno narozenínebo více než jedna smrtnebo alespoň jedno narození a alespoň jedno úmrtí mít pravděpodobnosti, které jsou menší objednávky než, a proto jsou v derivacích zanedbatelné. Pokud je systém ve stavu k, pak pravděpodobnost narození během intervalu je , pravděpodobnost smrti je a pravděpodobnost, že nedojde k narození ani k úmrtí, je . Pro populační proces je „zrození“ přechodem ke zvyšování velikost populace o 1, zatímco "smrt" je přechod ke snížení velikost populace o 1.
Ve frontové teorii je proces narození - smrt nejzákladnějším příkladem a model řazení do fronty, M / M / C / K // FIFO (v úplnosti Kendallova notace ) fronta. Toto je fronta s Poisson příjezdy, čerpané z nekonečné populace, a C servery s exponenciálně distribuováno servisní časy s K. místa ve frontě. Přes předpoklad nekonečné populace je tento model dobrým modelem pro různé telekomunikační systémy.
The M / M / 1 je fronta pro jeden server s nekonečnou velikostí vyrovnávací paměti. V nenáhodném prostředí bývá proces narození-úmrtí v modelech zařazování do fronty dlouhodobými průměry, takže průměrná míra příjezdu je uvedena jako a průměrná doba služby jako . Proces narození a smrti je fronta M / M / 1, když
Fronta M / M / 1 / K je fronta pro jeden server s velikostí vyrovnávací paměti K.. Tato fronta má aplikace v telekomunikacích i v biologii, když má populace kapacitní limit. V telekomunikacích opět používáme parametry z fronty M / M / 1 s,
V biologii, zejména v růstu bakterií, když je populace nulová, neexistuje schopnost růstu,
Navíc pokud kapacita představuje limit, kdy jednotlivec umírá na více obyvatel,
Diferenciální rovnice pro pravděpodobnost, že je systém ve stavu k v čase t jsou
Latouche, G .; Ramaswami, V. (1999). „Procesy kvazi-narození a smrti“. Úvod do maticových analytických metod ve stochastickém modelování (1. vyd.). ASA SIAM. ISBN0-89871-425-7.
Nowak, M. A. (2006). Evoluční dynamika: Zkoumání životních rovnic. Harvard University Press. ISBN0-674-02338-2.