Girsanovova věta - Girsanov theorem

Vizualizace Girsanovovy věty - levá strana ukazuje a Wienerův proces se záporným driftem podle kanonického opatření P; na pravé straně je každá cesta procesu zbarvena podle své pravděpodobnost pod martingale opatření Q. Transformace hustoty z P na Q je dána Girsanovovou větou.

v teorie pravděpodobnosti, Girsanovova věta (pojmenoval podle Igor Vladimirovich Girsanov ) popisuje, jak dynamika stochastické procesy změnit, když originál opatření se změní na ekvivalentní míra pravděpodobnosti.^[1]^:607 Věta je obzvláště důležitá v teorii finanční matematika jak říká, jak převést z fyzické opatření, který popisuje pravděpodobnost, že an podkladový nástroj (například a podíl cena nebo úroková sazba ) vezme konkrétní hodnotu nebo hodnoty na rizikově neutrální opatření což je velmi užitečný nástroj pro stanovení cen deriváty na podkladovém nástroji.

Dějiny

Výsledky tohoto typu poprvé prokázal Cameron – Martin ve 40. letech 20. století a Girsanov v roce 1960.^[2] Byly následně rozšířeny na obecnější třídy procesu, které vyvrcholily obecnou formou Lenglart (1977).^[3]

Význam

Girsanovova věta je důležitá v obecné teorii stochastických procesů, protože umožňuje klíčový výsledek, že pokud Q je absolutně kontinuální opatření s ohledem na P pak každý P-semimartingale je Q-semimartingale.

Tvrzení

Nejprve uvedeme větu pro speciální případ, kdy je základním stochastickým procesem a Wienerův proces. Tento speciální případ je dostatečný pro rizikově neutrální stanovení cen v Black – Scholesův model a v mnoha dalších modelech (například všechny spojité modely).

Nechat ${ displaystyle {W_ {t} }}$ být procesem Wiener na Wiener pravděpodobnostní prostor ${ displaystyle { Omega, { mathcal {F}}, P }}$ . Nechat ${ displaystyle {X_ {t} }}$ být měřitelným procesem přizpůsobeno do přírodní filtrace Wienerova procesu ${ displaystyle {{ mathcal {F}} _ {t} ^ {W} }}$ s ${ displaystyle X_ {0} = 0}$ .

Definujte Doléans-Dade exponenciální ${ displaystyle { mathcal {E}} (X) _ {t}}$ z X s ohledem na Ž

{ displaystyle { mathcal {E}} (X) _ {t} = exp vlevo (X_ {t} - { frac {1} {2}} [X] _ {t} vpravo),}

kde ${ displaystyle [X] _ {t}}$ je kvadratická variace z ${ displaystyle X_ {t}}$ . Li ${ displaystyle { mathcal {E}} (X) _ {t}}$ je přísně pozitivní martingale, pravděpodobnostní opatření Q lze definovat na ${ displaystyle { Omega, { mathcal {F}} }}$ takové, které máme Derivát Radon – Nikodym

{ displaystyle { frac {dQ} {dP}} { bigg |} _ {{ mathcal {F}} _ {t}} = { mathcal {E}} (X) _ {t}}

Pak pro každého t Měření Q omezeno na neaugmentovaná pole sigma ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t} ^ {W}}$ je ekvivalentní k P omezeno na ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t} ^ {W}}$ . Kromě toho, pokud Y je místní martingale pod P, pak proces

{ displaystyle { tilde {Y}} _ {t} = Y_ {t} - vlevo [Y, X vpravo] _ {t}}

je Q místní martingale na filtrovaný pravděpodobnostní prostor ${ displaystyle { Omega, { mathcal {F}}, Q, {{ mathcal {F}} _ {t} ^ {W} } }}$ .

Důsledek

Li X je kontinuální proces a Ž je Brownův pohyb podle opatření P pak

{ displaystyle { tilde {W}} _ {t} = W_ {t} - doleva [W, X doprava] _ {t}}

je Brownův pohyb pod Q.

Skutečnost, že ${ displaystyle { tilde {W}} _ {t}}$ je spojitý je triviální; podle Girsanovovy věty je to Q místní martingale a výpočtem kvadratická variace

{ displaystyle left [{ tilde {W}} right] _ {t} = left [W_ {t}, W_ {t} right] -2 left [W_ {t}, [W, X ] _ {t} right] + left [[W, X] _ {t}, [W, X] _ {t} right] = left [W right] _ {t} = t}

následuje Lévyho charakterizace Brownova pohybu, že se jedná o Q Brownianmotion.

Komentáře

V mnoha běžných aplikacích tento proces X je definováno

{ displaystyle X_ {t} = int _ {0} ^ {t} Y_ {s} , dW_ {s}.}

Li X je této formy, pak dostatečná podmínka pro ${ displaystyle { mathcal {E}} (X)}$ být martingale je Novikovův stav, což vyžaduje

{ displaystyle E_ {P} left [ exp left ({ frac {1} {2}} int _ {0} ^ {T} Y_ {s} ^ {2} , ds right) vpravo] < infty.}

Stochastický exponenciál ${ displaystyle { mathcal {E}} (X)}$ je proces Z, který řeší stochastickou diferenciální rovnici

{ displaystyle Z_ {t} = 1 + int _ {0} ^ {t} Z_ {s} , dX_ {s}. ,}

Měření Q postavený výše není ekvivalentní P na ${ displaystyle { mathcal {F}} _ { infty}}$ , protože by tomu tak bylo pouze v případě, že by Derivát Radon – Nikodym byly rovnoměrně integrovatelné martingale, což výše popsaný exponenciální martingale není (pro ${ displaystyle lambda neq 0}$ ).

Žádost o financování

Ve financích se Girsanovova věta používá pokaždé, když potřebujete odvodit dynamiku aktiva nebo sazby podle nové míry pravděpodobnosti. Nejznámějším případem je přechod z historického opatření P na rizikově neutrální opatření Q, které se provádí —v Black – Scholesův model -přes Derivát Radon – Nikodym:

${ displaystyle { frac {dQ} {dP}} = { mathcal {E}} vlevo ( int _ {0} ^ { cdot} { frac {r- mu} { sigma}} , dW_ {s} vpravo)}$

kde ${ displaystyle r}$ označuje okamžitou bezrizikovou sazbu, ${ displaystyle mu}$ drift aktiva a ${ displaystyle sigma}$ jeho volatilita.

Dalšími klasickými aplikacemi Girsanovovy věty jsou úpravy kvanta a výpočet driftů vpřed pod Tržní model LIBOR.

Viz také

Cameron – Martinova věta

Reference

^ Musiela, M .; Rutkowski, M. (2004). Martingaleovy metody ve finančním modelování (2. vyd.). New York: Springer. ISBN 3-540-20966-2.
^ Girsanov, I. V. (1960). „O transformaci určité třídy stochastických procesů absolutním kontinuálním nahrazováním opatření“. Teorie pravděpodobnosti a její aplikace. 5 (3): 285–301. doi:10.1137/1105027.
^ Lenglart, É. (1977). "Transformation des martingales locales par changement absolument continu de probabilités". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit. 39 (1): 65–70. doi:10.1007 / BF01844873.

Calin, Ovidiu (2015). Neformální úvod do stochastického počtu s aplikacemi. Singapur: World Scientific Publishing. p. 315. ISBN 978-981-4678-93-3. (Viz kapitola 10)
Dellacherie, C .; Meyer, P.-A. (1980). Probabilités et potentiel: Théorie de Martingales: Chapitre VII (francouzsky). Paris: Hermann. ISBN 2-7056-1385-4.

externí odkazy

Poznámky ke stochastickému počtu který obsahuje jednoduchý obrysový důkaz Girsanovovy věty.
Papaioannou, Denis (14. července 2012). "Aplikovaná vícerozměrná Girsanovova věta". SSRN 1805984. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc) Obsahuje finanční aplikace Girsanovovy věty.

[1] Musiela, M .; Rutkowski, M. (2004). Martingaleovy metody ve finančním modelování (2. vyd.). New York: Springer. ISBN 3-540-20966-2.

[2] Girsanov, I. V. (1960). „O transformaci určité třídy stochastických procesů absolutním kontinuálním nahrazováním opatření“. Teorie pravděpodobnosti a její aplikace. 5 (3): 285–301. doi:10.1137/1105027.

[3] Lenglart, É. (1977). "Transformation des martingales locales par changement absolument continu de probabilités". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit. 39 (1): 65–70. doi:10.1007 / BF01844873.

[1]

[2]

[3]