Semimartingale - Semimartingale - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, skutečná hodnota stochastický proces X se nazývá a semimartingale pokud to lze rozložit jako součet a místní martingale a přizpůsobený proces konečných variací. Semimartingales jsou „dobří integrátoři“ a tvoří největší třídu procesů, ve vztahu k nimž Je to integrální a Stratonovichův integrál lze definovat.

Třída semimartingales je poměrně velká (včetně například všech průběžně diferencovatelných procesů, Brownův pohyb a Poissonovy procesy ). Submartingales a supermartingales společně představují podmnožinu semimartingales.

Definice

Skutečně cenný proces X definované na filtrovaný pravděpodobnostní prostor (Ω,F,(F_t)_t ≥ 0, P) se nazývá a semimartingale pokud to lze rozložit jako

${ displaystyle X_ {t} = M_ {t} + A_ {t}}$

kde M je místní martingale a A je Càdlàg přizpůsobený proces místně ohraničená variace.

An Rⁿ-hodnotený proces X = (X¹,…,Xⁿ) je semimartingale, pokud každá z jeho složek Xⁱ je semimartingale.

Alternativní definice

Nejprve jednoduché předvídatelné procesy jsou definovány jako lineární kombinace procesů formuláře H_t = A1_{{t > T}} pro zastavovací časy T a F_T -měřitelné náhodné proměnné A. Integrál H · X pro každý takový jednoduchý předvídatelný proces H a skutečně ceněný proces X je

${ displaystyle H cdot X_ {t} equiv 1 _ { {t> T }} A (X_ {t} -X_ {T}).}$

Toto je rozšířeno na všechny jednoduché předvídatelné procesy o linearitu H · X v H.

Skutečně cenný proces X je semimartingale, pokud je càdlàg, přizpůsobený a pro každého t ≥ 0,

${ displaystyle left {H cdot X_ {t}: H { rm { je jednoduché předvídatelné a }} | H | leq 1 right }}$

je omezena v pravděpodobnosti. Bichteler-Dellacherieova věta uvádí, že tyto dvě definice jsou ekvivalentní (Protter 2004, str. 144).

Příklady

• Přizpůsobené a průběžně diferencovatelné procesy jsou procesy konečné variace, a proto jsou semimartingales.
• Brownův pohyb je semimartingale.
• Všechny càdlàg martingales, submartingales a supermartingales jsou semimartingales.
• Zpracovává to, které splňují stochastickou diferenciální rovnici formy dX = σdW + μdt jsou semimartingales. Tady, Ž je Brownův pohyb a σ, μ jsou přizpůsobené procesy.
• Každý Lévyho proces je semimartingale.

Ačkoli většina kontinuálních a adaptovaných procesů studovaných v literatuře jsou semimartingales, není tomu tak vždy.

• Frakční Brownův pohyb s parametrem Hurst H ≠ 1/2 není semimartingale.

Vlastnosti

• Semimartingales tvoří největší třídu procesů, pro které Je to integrální lze definovat.
• Lineární kombinace semimartingales jsou semimartingales.
• Produkty semimartingales jsou semimartingales, což je důsledek integrace podle části vzorce pro Je to integrální.
• The kvadratická variace existuje pro každý semimartingale.
• Třída semimartingales je uzavřena pod volitelné zastavení, lokalizace, změna času a naprosto kontinuální změna opatření.
• Li X je R^m ceněný semimartingale a F je dvakrát nepřetržitě odlišitelná funkce od R^m na Rⁿ, pak F(X) je semimartingale. To je důsledek Je to lemma.
• Vlastnost být semimartingale je zachována při zmenšování filtrace. Přesněji řečeno, pokud X je semimartingale s ohledem na filtraci F_ta je upraven s ohledem na subfiltraci G_t, pak X je G_t-semimartingale.
• (Jacod's Countable Expansion) Vlastnost být semimartingale je zachována při zvětšení filtrace o spočetnou sadu disjunktních sad. Předpokládejme to F_t je filtrace a G_t je filtrace generovaná F_t a spočetnou sadu nesouvislých měřitelných sad. Pak každý F_t-semimartingale je také a G_t-semimartingale. (Protter 2004, str. 53)

Semimartingale rozklady

Podle definice je každý semimartingale součtem místního martingalu a procesu konečných variací. Tento rozklad však není jedinečný.

Kontinuální semimartingales

Kontinuální semimartingale se jedinečně rozkládá jako X = M + A kde M je nepřetržitý místní martingale a A je spojitý proces konečné variace začínající na nule. (Rogers & Williams 1987, str. 358)

Například pokud X je proces Itō uspokojující stochastickou diferenciální rovnici dX_t = σ_t dŽ_t + b_t dt, tedy

${ displaystyle M_ {t} = X_ {0} + int _ {0} ^ {t} sigma _ {s} , dW_ {s}, A_ {t} = int _ {0} ^ { t} b_ {s} , ds.}$

Speciální semimartingales

Speciální semimartingale je proces skutečně ceněný X s rozkladem X = M + A, kde M je místní martingale a A je předvídatelný proces konečné variace začínající na nule. Pokud tento rozklad existuje, je jedinečný až do množiny P-null.

Každý speciální semimartingale je semimartingale. Naopak semimartingale je speciální semimartingale právě tehdy, pokud jde o proces X_t^* ≡ sup_s ≤ t | X_s| je místně integrovatelný (Protter 2004, str. 130).

Například každý nepřetržitý semimartingale je speciální semimartingale, v takovém případě M a A jsou oba kontinuální procesy.

Čistě diskontinuální semimartingales

Semimartingale se nazývá čistě diskontinuální, pokud má kvadratickou variaciX] je čistý skokový proces,

${ displaystyle [X] _ {t} = součet _ {s leq t} Delta X_ {s} ^ {2}}$.

Každý přizpůsobený proces konečných variací je čistě diskontinuální semimartingale. Kontinuální proces je čistě diskontinuální semimartingale právě tehdy, pokud se jedná o přizpůsobený proces konečných variací.

Pak má každý semimartingale jedinečný rozklad X = M + A kde M je nepřetržitý místní martingale a A je čistě diskontinuální semimartingale začínající na nule. Místní martingale M - M₀ se nazývá kontinuální martingale část Xa napsáno jako X^C (On, Wang & Yan 1992, str. 209; Kallenberg 2002, str. 527).

Zejména pokud X je tedy spojitý M a A jsou spojité.

Semimartingales na rozmanitém

Koncept semimartingales a související teorie stochastického počtu se rozšiřuje na procesy, které berou hodnoty v diferencovatelné potrubí. Proces X na potrubí M je semimartingale pokud F(X) je semimartingale pro každou hladkou funkci F z M na R. (Rogers 1987, str. 24) chyba harv: žádný cíl: CITEREFRogers1987 (Pomoc) Stochastický počet pro semimartingales na obecných varietách vyžaduje použití Stratonovichův integrál.

Viz také

• Sigma-martingale

Reference

• On, Sheng-wu; Wang, Jia-gang; Yan, Jia-an (1992), Semimartingaleova teorie a stochastický počet, Science Press, CRC Press Inc., ISBN  0-8493-7715-3
• Kallenberg, Olav (2002), Základy moderní pravděpodobnosti (2. vyd.), Springer, ISBN  0-387-95313-2
• Protter, Philip E. (2004), Stochastická integrace a diferenciální rovnice (2. vyd.), Springer, ISBN  3-540-00313-4
• Rogers, L.C.G .; Williams, David (1987), Diffusions, Markov Processes, and Martingales, 2, John Wiley & Sons Ltd, ISBN  0-471-91482-7
• Karandikar, Rajeeva L .; Rao, B.V. (2018), Úvod do stochastického počtu, Springer Ltd, ISBN  978-981-10-8317-4